最新高等数学下册期末考试试题含答案QO.docx
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最新高等数学下册期末考试试题含答案QO
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）
一、解答题
1．矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm,当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.
解：
设矩形对角线长为l，则
当x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1时，
（cm）
故矩形的对角线长约增加0.062cm.
2．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：
;
解：
以代入上式得，
故所求特解为.
.
解：
以x=1,y=0代入上式，得.
故所求特解为.
3．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：
（1）星形线x=acos3t，y=asin3t2ex2；
（2）双纽线r2=a22cos2θ；
（3）圆x2+y2=2ax．
解：
（1）
（2）利用极坐标与直角坐标的关系x=rcosθ，y=rsinθ得
，
从而xdy-ydx=a2cos2θdθ．
于是面积为：
（3）圆x2+y2=2ax的参数方程为
故
4．计算对坐标的曲线积分：
（1），Γ为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ封限；
（2），Γ为x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分．
解:
（1）Γ：
即
其参数方程为：
t：
0→2π
故：
（2）如图11-3所示．
图11-3
Γ=Γ1+Γ2+Γ3．
Γ1：
t：
0→，
故
又根据轮换对称性知
5．证明:
本章关于散度的基本性质
（1）~（3）.
解：
略。
6．在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：
证：
方程两端对x求导：
得
代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.
证：
方程两端对x求导：
（）
得.
（）式两端对x再求导得
将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.
7．选用适当的坐标计算下列三重积分：
（1），其中Ω为柱面及平面z=1,z=0,x=0,y=0所围成的第I卦限内的闭区域；
（2）,其中Ω是由球面所围成的闭区域;
（3）,其中Ω是由曲面及平面z=5所围成的闭区域；
（4），其中Ω由不等式所确定。
解：
（1）积分区闭Ω如图10-51所示.利用柱面坐标计算，Ω在柱面坐标系下表示为：
图10-51
0≤r≤1，0≤z≤1,故
本题也可采用直角坐标计算，在直角坐标系下，Ω可表示为：
故
（2）积分区域Ω如图10-52所示。
用球面坐标计算，在球面坐标系下Ω可表示为：
图10-52
故
（3）积分区域Ω如图10-53所示。
利用柱面坐标计算，在柱面坐标系下，Ω可表示为：
图10-53
故
（4）积分区域如图10-54所示。
利用球面坐标计算，在球面坐标系下，Ω可表示为：
图10-54
故
8．如果三重积分的被积函数f（x,y,z）是三个函数f1（x）,f2（y）,f3（z）的乘积，即f（x,y,z）=f1（x）·f2（y）·f3（z），积分区域为a≤x≤b，c≤y≤d,l≤z≤m，证明,这个三重积分等于三个单积分的乘积，即
证：
9．化三重积分为三次积分，其中积分区域Ω分别是：
（1）由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域；
（2）由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域；
（3）由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域;
（4）由曲面cz=xy（c>0），所围成的第I卦限内的闭区域。
解：
（1）积分区域Ω如图10-38所示，
图10-38
Ω可表示为：
故
（2）积分区域Ω如图10-39所示。
图10-39
Ω可表示为：
故
（3）由消去z得
即，所以Ω在xOy面的投影区域为x2+y2≤1，如图10-40所示。
图10-40
Ω可表示为：
-1≤x≤1,,x2+2y2≤z≤2-x2
故
（4）积分区域如图10-41所示。
Ω可表示为：
图10-41
故
10．计算下列二重积分：
（1）
（2）D由抛物线y2=x,直线x=0与y=1所围；
（3）D是以O（0,0），A（1，-1），B（1，1）为顶点的三角形;
（4）.
解：
（1）
（2）积分区域D如图10-12所示.
图10-12
D可表示为：
所示
（3）积分区域D如图10-13所示.
图10-13
D可表示为：
所以
11．设空间有n个点，坐标为,试在xOy面上找一点，使此点与这n个点的距离的平方和最小。
解：
设所求点为P（x,y,0），则此点与n个点的距离的平方和为
解方程组
得驻点
又在点处
Sxx=2n=A,Sxy=0=B,Syy=2n=C
B2-AC=-4n2<0,且A>0取得最小值.
故在点处，S取得最小值.
即所求点为.
12．抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：
设椭圆上的点为P（x,y,z），则
|OP|2=x2+y2+z2.
因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为
z=x2+y2，x+y+z=1
设F（x,y,z）=x2+y2+z2+λ1（z-x2-y2）+λ2（x+y+z-1）
解方程组
得
由题意知，距离|OP|有最大值和最小值，且
.
所以原点到椭圆的最长距离是，最短距离是.
13．在平面xOy上求一点，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线距离的平方之和为最小。
解：
设所求点为P（x,y），P点到x=0的距离为|x|,到y=0的距离为|y|，到直线x+2y-16=0的距离为
距离的平方和为
由
得唯一驻点,因实际问题存在最小值，故点即为所求。
14．求下各微分方程的通解：
;
解：
得相应齐次方程的通解为
令特解为,代入原方程得
解得,故,
故原方程通解为.
;
解：
对应齐次方程通解为
令,代入原方程得
比较等式两边系数得
则
故方程所求通解为.
;
解：
对应齐次方程通解为
令代入原方程得
解得
则
故所求通解为.
;
解：
相应齐次方程的通解为
令，代入原方程并整理得
得
则
故所求通解为.
;
解：
相应齐次方程通解为
令代入原方程得
得
则
故所求通解为
.
解：
对应齐次方程通解为
令代入原方程得
故原方程通解为.
15．解：
因为圆锥体的体积为
而
时，
16．一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：
（1）在各坐标轴上的投影；
（2）的模；
（3）的方向余弦；（4）方向的单位向量.
解：
（1）
（2）
（3）
.
（4）.
17．求下列函数的全微分：
（1）;
（2）;
（3）;（4）.
解：
（1）∵
∴
（2）∵
∴
（3）∵
∴
（4）∵
∴
18．设z=xln（xy），求及.
解：
19．求曲线在点（2，4，5）处的切线与正向x轴所成的倾角.
解：
设切线与正向x轴的倾角为α,
则tanα=1.故α=.
20．一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.
解：
设该动点为M（x,y,z），由题意知
化简得：
8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0
即为动点的轨迹方程.
21．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.
解：
球的半径为
设（x,y,z）为球面上任一点，则（x-1）2+（y-3）2+（z+2）2=14
即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.
22．决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：
（1）经过点（5，-4，6）；
（2）与平面2x-3y+z=0成的角.
解：
（1）因平面过点（5，-4，6）
故有5-4k-2×6=9
得k=-4.
（2）两平面的法向量分别为
n1={1,k,-2}n2={2,-3,1}
且
解得
23．求过（1,1,-1）,（-2,-2,2）和（1，-1，2）三点的平面方程.
解：
由平面的三点式方程知
代入三已知点，有
化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.
24．设平面过点（1,2,-1），而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面方程.
解：
设平面在y轴上的截距为b
则平面方程可定为
又（1,2,-1）在平面上，则有
得b=2.
故所求平面方程为
25．已知三点A（2,4,1）,B（3,7,5）,C（4,10,9），证：
此三点共线.
证明：
显然
则
故A，B，C三点共线.
26．
（1）解:
则
若共面，则有后与是垂直的.
从而反之亦成立.
（2）
由行列式性质可得:
故
27．已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求：
（1）a×b;
（2）2a×7b;
（3）7b×2a;（4）a×a.
解：
（1）
（2）
（3）
（4）.
28．已知四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量在向量上的投影.
解：
={3，-2，-6}，={6，2，3}
29．求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模，并分别用单位向量来表达向量a,b,c.
解：
30．设f具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数：
（1）
（2）
（3）
解：
（1）
（2）
（3）
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一、解答题
1．无
2．无
3．无
4．无
5．无
6．无
7．无
8．无
9．无
10．无
11．无
12．无
13．无
14．无
15．无
16．无
17．无
18．无
19．无
20．无
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无
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