1、EAEB.图1-4-2 【条件分析】由条件CD平分ACB,ADCD,想到12,ADC90,可考虑延长AD交BC于点F,构造两个全等的直角三角形求解. 由DEBC想到利用平行线分线段成比例定理证题. 【思路建立】欲证EAEB,由DEBC想到只需证出点D是某条线段的中点即可. 于是延长AD交BC于点F,由已知条件CD平分ACB,ADCD,易得ADC FDC,得出ADDF,利用平行线分线段成比例定理得解. 【证明】如图1-4-2,延长AD交BC于点F.CD平分ACB,12. 又ADCD,CD CD,ADC FDC,AD FD.又DEBC,EAEB.思考:如果将条件DEBC换成EAEB,证题结论换成D
2、EBC,应怎样证明?提示:作出如例1同样的辅助线,证出点D是AF的中点,根据三角形中位线定理得证.方法技巧 当遇到与角平分线垂直的线段时,一定要把这条线段延长后与角的另一条边相交,构造等腰三角形和两个解决问题. 具体思路有: (1)作ABD关于直线AD对称的AED(如图1-4-5),证明DM EC后使用等量代换可得结论; (2)将要证明的结论转化为2AM ABAC,作出ACM关于直线CM对称的FCM后证明DFCF(如图1-4-6);(3)作ACM关于直线AD对称的ANM(如图1-4-7),证明BP BN后使用等量代换可得结论.【证法1】如图1-4-5,作ABD关于直线AD对称的AED,则AEA
3、BAD,BADBADEAED.取DC中点N,连接MN并延长交AC于F.在RtDMC中,DNMNCN,所以NMDNDMADBADE,所以MFDE,所以AMAF,所以DMEFFCEC.故AM ADDM (ABAE) EC (ABAC).图1-4-5【证法2】如图1-4-6,作ACM关于直线CM对称的FCM. 因为FCM ACM,所以FCAM,FCAC,AF2AM. 而B FCD,又B ADB FDC,即FCD FDC,所以FCFD.故2AMAFADDFABCFABAC.所以AM (ABAC) .图1-4-6【证法3】如图1-4-7,延长CM交AB延长线于点N,作MPBC交BN于点P. 因为CMAD
4、,12,所以ANAC,NMCM.又因为MPBC,AB AD,所以BPPNBN,5346. 所以AP AM,所以(ABAC) (ABAN) (ABAPPN) (ABAPBP) (ABBPAP) 2 AP AP AM,即AM 图1-4-7规律总结但三角形中存在与角平分线垂直的线段时,首先考虑到用垂直关系(延长与角平分线垂直的线段),构造出全等的直角三角形,进而得出线段或角的相等关系,以便进行等线段或等角的转化.名师点拨证法1应用了翻折法构造等腰三角形;证法2也是应用了翻折法,构造出2AM,只需证明2AM ABAC即可;证法3通过补形法构造等腰三角形.发散思维3. 已知:如图1-4-8,BAD CA
5、D,ABAC,CDAD于点D,H是BC的中点. 求证:DH (AB-AC) .图1-4-8附:发散思维答案与解析1. 条件分析:已知条件中有AD平分BAC,BDAD,可延长BD与AC的延长线相交. 构造两个全等的直角三角形,由BEAE可得到点E为AB的中点. 思路建立:欲证DEAC,由BEAE想到构造三角形中位线证明结论,所以延长BD交AC的延长线于点F,只需证明点D是BF的中点即可.证明:如图1-4-9,延长BD交AB的延长线于点F,AD平分BAC,BAD FAD.ADB ADF 90,ADAD,ABD AFD,BDDF.BEAE,DEAC.图1-4-92. 条件分析:由条件AE是BAC的平
6、分线,CEAE于点E,可延长CE与AB相交,构造两个全等的直角三角形.欲求DE的长,又知点D为BC的中点,可联想证DE为某三角形的中位线即可,由已知AE是BAC的平分线,且CEAE,可通过延长CE交AB于F,通过证明ACE AFE得出E是CF的中点,AFAC3,进而求得BF的长,于是可求出DE的长.解:延长CE交AB于F,如图1-4-10,AE是BAC的平分线,CAE FAE.又AEC AEF 90,AEAE,AEC AEF,CEEF,AFAC3.又D为BC的中点,DE为CBF的中位线. DEBF.又BFAB-AF5-32,DE 21.图1-4-103. 条件分析:由BAD CAD,CDAD,可想到通过延长CD与AB相交,构造两个全等的直角三角形,由点H是BC的中点想到利用三角形中位线定理求解.欲证DH (AB-AC)可考虑证明DH为某三角形的中位线,利用中位线定理和相关线段的转化进行求证. 已知BAD CAD,CDAD,故延长CD交AB于点E,可证得AED ACD,则AEAC,EDCD,可得DH是CBE的中位线. 又BEAB-AEAB-AC,即可得证.如图1-4-11,延长CD交AB于点E.BAD CAD,CDAD,ADAD,ADE ADC,AEAC,EDCD.H是BC的中点,DEBE(AB-AE) (AB-AC).图1-4-11
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