第四节角分垂等腰归Word格式文档下载.docx

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EA＝EB.

图1-4-2

【条件分析】由条件CD平分∠ACB，AD⊥CD，想到∠1＝∠2，∠ADC＝90°

，可考虑延长AD交BC于点F，构造两个全等的直角三角形求解.由DE∥BC想到利用平行线分线段成比例定理证题.

【思路建立】欲证EA＝EB，由DE∥BC想到只需证出点D是某条线段的中点即可.于是延长AD交BC于点F，由已知条件CD平分∠ACB，AD⊥CD，易得△ADC≌△FDC，得出AD＝DF，利用平行线分线段成比例定理得解.

【证明】如图1-4-2，延长AD交BC于点F.

∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2.

又AD⊥CD，CD＝CD，∴△ADC≌△FDC，∴AD＝FD.

又∵DE∥BC，∴

，∴EA＝EB.

思考：

如果将条件DE∥BC换成EA＝EB，证题结论换成DE∥BC，应怎样证明？

提示：

作出如例1同样的辅助线，证出点D是AF的中点，根据三角形中位线定理得证.

方法技巧

当遇到与角平分线垂直的线段时，一定要把这条线段延长后与角的另一条边相交，构造等腰三角形和两个

解决问题.具体思路有：

（1）作△ABD关于直线AD对称的△AED（如图1-4-5），证明DM＝

EC后使用等量代换可得结论；

（2）将要证明的结论转化为2AM＝AB＋AC，作出△ACM关于直线CM对称的△FCM后证明DF＝CF（如图1-4-6）；

（3）作△ACM关于直线AD对称的△ANM（如图1-4-7），证明BP＝

BN后使用等量代换可得结论.

【证法1】如图1-4-5，作△ABD关于直线AD对称的△AED，则AE＝AB＝AD，∠B＝∠ADB＝∠ADE＝∠AED.

取DC中点N，连接MN并延长交AC于F.

在Rt△DMC中，DN＝MN＝CN，

所以∠NMD＝∠NDM＝∠ADB＝∠ADE，

所以MF∥DE，所以AM＝AF，所以DM＝EF＝FC＝

EC.

故AM＝AD＋DM＝

（AB＋AE）＋

EC＝

（AB＋AC）.

图1-4-5

【证法2】如图1-4-6，作△ACM关于直线CM对称的△FCM.

因为△FCM≌△ACM，所以∠F＝∠CAM，FC＝AC，AF＝2AM.

而∠B＝∠FCD，又∠B＝∠ADB＝∠FDC，

即∠FCD＝∠FDC，所以FC＝FD.

故2AM＝AF＝AD＋DF＝AB＋CF＝AB＋AC.

所以AM＝

（AB＋AC）.

图1-4-6

【证法3】如图1-4-7，延长CM交AB延长线于点N，作MP∥BC交BN于点P.

因为CM⊥AD，∠1＝∠2，所以AN＝AC，NM＝CM.

又因为MP∥BC，AB＝AD，所以BP＝PN＝

BN，∠5＝∠3＝∠4＝∠6.

所以AP＝AM，所以

（AB＋AC）＝

（AB＋AN）＝

（AB＋AP＋PN）＝

（AB＋AP＋BP）＝

（AB＋BP＋AP）＝

×

2AP＝AP＝AM，

即AM＝

图1-4-7

规律总结

但三角形中存在与角平分线垂直的线段时，首先考虑到用垂直关系（延长与角平分线垂直的线段），构造出全等的直角三角形，进而得出线段或角的相等关系，以便进行等线段或等角的转化.

名师点拨

证法1应用了翻折法构造等腰三角形；

证法2也是应用了翻折法，构造出2AM，只需证明2AM＝AB＋AC即可；

证法3通过补形法构造等腰三角形.

发散思维

3.已知：

如图1-4-8，∠BAD＝∠CAD，AB＞AC，CD⊥AD于点D，H是BC的中点.求证：

DH＝

（AB-AC）.

图1-4-8

附：

发散思维答案与解析

1.条件分析：

已知条件中有AD平分∠BAC，BD⊥AD，可延长BD与AC的延长线相交.构造两个全等的直角三角形，由BE＝AE可得到点E为AB的中点.

思路建立：

欲证DE∥AC，由BE＝AE想到构造三角形中位线证明结论，所以延长BD交AC的延长线于点F，只需证明点D是BF的中点即可.

证明：

如图1-4-9，延长BD交AB的延长线于点F，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠FAD.

∵∠ADB＝∠ADF＝90°

，AD＝AD，∴△ABD≌△AFD，∴BD＝DF.

∵BE＝AE，

∴DE∥AC.

图1-4-9

2.条件分析：

由条件AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE于点E，可延长CE与AB相交，构造两个全等的直角三角形.

欲求DE的长，又知点D为BC的中点，可联想证DE为某三角形的中位线即可，由已知AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE，可通过延长CE交AB于F，通过证明△ACE≌△AFE得出E是CF的中点，AF＝AC＝3，进而求得BF的长，于是可求出DE的长.

解：

延长CE交AB于F，如图1-4-10，

∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠FAE.

又∠AEC＝∠AEF＝90°

，AE＝AE，∴△AEC≌△AEF，

∴CE＝EF，AF＝AC＝3.

又∵D为BC的中点，∴DE为△CBF的中位线.∴DE＝

BF.

又∵BF＝AB-AF＝5-3＝2，∴DE＝

2＝1.

图1-4-10

3.条件分析：

由∠BAD＝∠CAD，CD⊥AD，可想到通过延长CD与AB相交，构造两个全等的直角三角形，由点H是BC的中点想到利用三角形中位线定理求解.

欲证DH＝

（AB-AC）可考虑证明DH为某三角形的中位线，利用中位线定理和相关线段的转化进行求证.已知∠BAD＝∠CAD，CD⊥AD，故延长CD交AB于点E，可证得△AED≌△ACD，则AE＝AC，ED＝CD，可得DH是△CBE的中位线.又BE＝AB-AE＝AB-AC，即可得证.

如图1-4-11，延长CD交AB于点E.

∵∠BAD＝∠CAD，CD⊥AD，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC，

∴AE＝AC，ED＝CD.

∵H是BC的中点，

∴DE＝

BE＝

（AB-AE）＝

（AB-AC）.

图1-4-11