1、 D、154解析:D 等差数列的求和公式为等差数列的和=(首项+末项)/2*项数。经过观察,可以发现是等差数列的和,这个等差数列的公差是2,在此题中每一项比前一项多2,从首项4到末项24共增加了24-4=20,也就是10个2,因此数列共有10+1=11项,由此我们抽象出等差数列项数的计算公式:项数=(末项-首项)/公差+1,所以4+6+8+10+20+22+24=(4+24)/2X11=154例题3 计算从1至100内(包括100)能被5整除的所有数的和。A、1050 B、1100 C、1150 D、1200 1至100内能被5整除的数是5,10,15,20,85,90,95,100,它们的和
2、是5+10+15+85+90+95+100=5 X(1+2+3+18+19+20)=5 X(1+20)X20/2=1050所以A项为正确选项。2)作商比较法:A、B为任意两个正数时: A/B1AB3)中间值法(选取参照数):AB,BCAC(B为选取的中间值)4)通分比较法:分母相同,分子越大,数越大;分子相同,分母越大,数越小。5)利用关系:1/n+(n-1)/n=1;n越大,则1/n越小,(n-1)/n越大;n越小,则1/n越大,(n-1)/n越小;如:1/31/341/2008,2/333/3442/431427/1428B、1427/1428579/58042/43 C、1427/142
3、8579/580D、579/5801427/142842/43B 由于579/580=1-1/580, 42/43=1-1/43, 1427/1428=1-1/1428,所以,比较三数579/580,42/43,1427/1428的大小,就是比较1/580,1/43,1/1428的大小。显然,1/43大于1/580,1/580大于1/1428因而,题中三个分数按照从大到小的顺序可以排列为:42/43。=甲乙速度和*相遇时间相遇问题的核心是速度和问题(2)追及问题追及路程=甲走的路程乙走的路程=甲的速度*追及时间-乙的速度*追及时间=甲乙速度差*追及时间追及问题的核心是速度差问题(3)流水问题顺
4、水速度=船速+水速 逆水速度=船速水速 因此: 船速=(顺水速度+逆水速度)/2水速= (顺水速度逆水速度)/2一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港,然后调头逆流向上到达中游的乙港,共用了12小时。已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍,水流速度是每小时2千米,从甲港到乙港相距18千米。则甲、丙两港间的距离为( )A、44千米 B、48千米 C、30千米 D、36千米顺流速度-逆流速度=2水流速度,又顺流速度=2逆流速度,可知顺流速度=4水流速度=8千米/时,逆流速度=2水流速度=4千米/时。设甲、丙两港间距离为X千米,可列方程X8+(X-18)4=12 解得X=44。甲、乙两人联系跑步,
5、若让乙先跑12米,则甲经6秒追上乙,若乙比甲先跑2秒,则甲要5秒追上乙,如果乙先跑9秒,甲再追乙,那么10秒后,两人相距多少米?A、15 B、20 C、25 D、30C。 甲乙的速度差为12/6=2米/秒,则乙的速度为25/2=5米/秒,如果乙先跑9秒,甲再追乙,那么10秒后,两人相距59-210=25米。甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米。问他走后一半路程用了( )分钟。A、43 B、48.5 C、42.5 D、44 全程的平均速度是每分钟(80+70)/2=75米,走完全程的时间是6000/75=80分钟,走前一半路程速度
6、一定是80米,时间是3000/80=37.5分钟,后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟例题4:一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候,恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时,恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了( )分钟。A、41 B、40 C、42 D、43骑车人一共看到12辆车,他出发时看到的是15分钟前发的车,此时第4辆车正从甲发出。骑车中,甲站发出第4到第12辆车,共9辆,有8个5分钟的间隔,时间是5X8=40(分
7、钟)。3)比例问题-求比值和比例分配按比例关系确定份数,解题较快;搞清“谁比谁”。预资问题可用比例问题方法解决。一体育俱乐部赠给其成员的票,如按人均算,每个成员可得92张,实际上每个女成员得84张,每个男成员得96张,问该俱乐部男女成员间的比例是多少?()A、1:1 B、1:2 C、1:3 D、2:1设男女成员的人数分别为x,y,那么96x+84y=92(x+y),解得x:y=2:1,得到答案:D4)利润问题总利润=总收益-总成本=销售价销售量-成本价销售量利润销售价成本利润率利润/成本(销售价成本)/成本销售价/成本1销售价成本(1+利润率)成本销售价/(1+利润率)某商品按20%的利润定价
8、,又按八折出售,结果亏损4元钱。这件商品的成本是多少元?A、80 B、100 C、120 D、150现在的价格为(1+20%)80%=96%,故成本为4(196%)=100元。某商品按定价出售,每个可以获得45元的利润,现在按定价的八五折出售8个,按定价每个减价35元出售12个,所能获得的利润一样。这种商品每个定价多少元?() A、100 B、120 C、180 D、200 每个减价35元出售可获得利润(4535)12=120元,则如按八五折出售的话,每件商品可获得利润1208=15元,少获得4515=30元,故每个定价为30(185%)=200元。一种商品,甲店进货价比乙店便宜12%,两店同
9、样按20%的利润定价,这样1件商品乙店比甲店多收入24元,甲店的定价是多少元?A、1000 B、1024 C、1056 D、1200 设乙店进货价为x元,可列方程20%x20%(112%)x=24,解得x=1000,故甲店定价为1000(112%)(1+20%)=1056元。某商店进了一批笔记本,按 30%的利润定价。当售出这批笔记本的 80%后,为了尽早销完,商店把这批笔记本按定价的一半出售。问销完后商店实际获得的利润百分数是()。A、12% B、18% C、20% D、17%设这批笔记本的成本是“1”。因此定价是1(1+ 30%)1.3。其中:80%的卖价是 1.380%,20%的卖价是
10、1.3220%。因此全部卖价是:1.380% +1.3 220% 1.17。实际获得利润的百分数是:1.171 0.1717%。5)植树问题-路线是否封闭及端点是否植树(1)不封闭路线(a)两端植树颗数=段数+1=全长/株距+1(b)一端植树,则颗数与段数相等颗数=段数=全长/株距(c)两端不植树,则颗数比段数少1。颗数=段数-1=全长/株距-1(2)封闭路线在圆形花坛周围种树,已知花坛周长50米,若每隔5米种一棵树,一共可种多少?( )A、9 B、10 C、11 D、12按照上面的(2),选B在长450米的公路两旁,每隔15米种柳树一棵,在每相邻两棵柳树之间又种槐树一棵。则共种槐树多少棵?A
11、、62 B、60 C、58 D、30 按照上面的(1),两端植树,总共种柳树31棵,则种槐树31-1=30棵;但是题目里面是“公路两旁”,所以答案应该是60棵6)方阵问题N阶方阵,去掉一行(或一列),少N个人;去掉一行一列,少2N-1个人;去掉两行一列(或两列一行),少3N-2个人;去掉两行两列(或周围一圈),少4N-4个人。例1 学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人,问这个方阵共有学生多少人? A、256人 B、250人 C、225人 D、196人 (2002年A类真题) 方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知:每边人数=四周人数4+1,可以求出方阵最外层
12、每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。方阵最外层每边人数:604+1=16(人) 整个方阵共有学生人数:1616=256(人)。所以,正确答案为A。7)年龄问题-年龄差不变,但倍数关系发生变化。方法1:利用倍数差和年龄差解题小年龄=年龄差/倍数差 大年龄=小年龄+年龄差若上述年龄为几年前或几年后的,则现在的实际年龄为上述年龄加几年或减几年即可。方法2:一元一次方程解法 方法3:结果代入法,此乃最优方法今年哥弟两人的岁数加起来是55岁,曾经有一年,哥哥的岁数是今年弟弟的岁数,那时哥哥的岁数恰好是弟弟的两倍,问哥哥今年年龄是多大?A、33 B、22 C、11 D、44A 设今年哥哥X岁,则
13、今年弟弟是55-X岁,过去某年哥哥岁数是55-X岁,那是在X-(55-X)即2X-55年前,当时弟弟岁数是(55-X)-(2X-55)即110-3X。列方程为 55-X=2(110-3X)55-X=220-6X6X- X=220-555X=165X=33爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥的3倍时,妹妹是9岁;当哥哥的年龄是妹妹的2倍时,爸爸34岁。现在爸爸的年龄是多少岁?A、34 B、39 C、40 D、42解法一:用代入法逐项代入验证。解法二,利用“年龄差”是不变的,列方程求解。设爸爸、哥哥和妹妹的现在年龄分别为:x、y和z。那么可得下列三元一次方程:x+y+z=64;
14、x-(z-9)=3y-(z-9);y-(x-34)=2z-(x-34)。可求得x=40。1998年,甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年,甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?A、34岁,12岁 B、32岁,8岁 C、36岁,12岁 D、34岁,10岁抓住年龄问题的关键即年龄差,1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍,则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄,2002年,甲的年龄是乙的年龄的3倍,此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄,根据年龄差不变可得31998年乙的年龄=22002年乙的年龄;(1998年乙的年龄+4);1998年乙的年龄=8岁;则2000年乙的年龄为10岁。10年前
15、田壮的年龄是她女儿的7倍,15年后田壮的年龄是她女儿的2倍,问女儿现在的年龄是多少岁?A、45 B、15 C、30 D、1015年后田靶的年龄是女儿的2倍,即两人年龄的差等于女儿当时的年龄,所以,两人年龄的差等于女儿10年前的年龄加25。10年前田靶年龄是女儿的7倍,所以两人年龄的差等于女儿当时年龄的6(=7-1)倍。由于年龄的差是不变的,所以女儿10年前的年龄的5(=6-1)倍等于25,女儿当时的年龄为:25/5=5(岁)。8)日历问题-同余问题同余问题,余数相同则性质相同,类似高次方的尾数确定。一周七天,周期为七。除以七看余数。9)鸡兔同笼问题设头数为a,足数是b。孙子算经解法:则b/2-
16、a是兔数,a-(b/2-a)是鸡数。丁巨算法解法:鸡数=(4a-b)/2 ;兔数=(b-2a)/2 。10)平均问题-搞清总量与总份数平均速度=总路程/总时间平均数=所有数之和/数的个数 在前面3场击球游戏中,某人的得分分别为130、143、144。为使4场游戏得分的平均数为145,第四场他应得多少分?4场游戏得分平均数为145,则总分为1454=580,故第四场应的580130143144=163分。11)时钟问题-实质为路程问题中的追及问题,为新考点。时针速度=5/60=1/12(1小时走5小格或1分钟走1/12小格)分针速度=60/60=1(1小时走60小格,1分钟走1小格)速度差=1-
17、1/12=11/12(每分钟差11/12格)时针的速度是分针速度的1/12,所以分针每分钟比时针多走11/12格。或者时针每小时走30度 ,分针每分钟走6度分针走一分钟(转6度)时,时针走0.5度,分针与时针的速度差为5.5度。从12时到13时,钟的时针与分针可成直角的机会有:A、1次 B、2次 C、3次 D、4次 时针与分针成直角,即时针与分针的角度差为90度或者270度,理论上讲应为2次,还要验证:根据角度差/速度差 =分钟数,可得 90/55= 16又4/1160,表示经过16又4/11分钟,时针与分针第一次垂直;同理,270/55 = 49又1/1160,表示经过49又1/11分钟,时
18、针与分针第二次垂直。经验证,选B可以。12)盈亏问题把一定数量(未知)的物品平均分成一定份数(未知),根据每次分的盈(或亏)数量及每份数量,确定物品的总数量和参与分配的人数。方法一:两次分配的结果差两次分配数差(每份数量差)=人数则物品总数=每份数量人数+盈(或亏) 方法二:列方程法(1)若设物品数为x,则列方程第一种分法的人数第一种分法的人数(2)若设人数为,则列方程第一种分法物品总数第一种分法物品总数方法三:利用被选答案直接快速进行试验和排除。方法四:整除试验法。备选答案减去盈数(加上亏数)应被相应的每份数量数整除。13)牛顿问题(牛吃草问题)-消长问题,既要消耗,又在生长,但消耗大于生长
19、,其差为消耗原有草量,可维持几天。实质为追及问题。(1)求出每天长草量:不同牛头数与对应天数积的差天数差(2)原有草量:(每天吃的草量-每天生长的草量)可吃天数(3)每天实际消耗原有草量(抵消生长量外所吃):每天吃的草量-每天生长的草量(4)可吃天数:原有草量每天实际消耗原有草量14)和差倍问题-已知两数的和(或差)与他们的倍数关系,求两数的大小。(1)和差问题 (和+差)2=较大数 (和-差)2=较小数较大数=较小数+差(2)差倍问题 两数差(倍数-1)=小数 小数倍数=大数 或 小数+差=大数(3)和倍问题 和(倍数+1)=小数小数倍数=大数 或 和-小数=大数15)数列问题-掌握等差数列
20、、等比数列的通项公式、求和公式等。等差数列通项公式:为公差 等差数列求和公式:等比数列通项公式:等比数列求和公式:无穷等比数列求和公式:16)几何问题(1)面积问题-解决面积问题的核心是“割、补”思维。图形多为不规则图形,不能直接计算,所以看到一个关于求解面积的问题,不要立刻套用公式去求解,否则会陷入误区。对于此类问题的通常解法是利用割、补或做辅助线、平移的方法,将图形分割或者补全为很容易求得面积的规则图形,从而快速求的面积。因此掌握一些规则图形的面积计算公式是必要的。(2)体积问题-注意正方体边长变化后体积的变化,将正方体分割为若干个小正方体后表面积的变化。注意“增加了几倍”和“增加到几倍”
21、的区别。(3)周长17)排列组合问题-搞清乘法原理、加法原理,会计算排列数和组合数。乘法原理 做一件事,完成它需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,做第步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法。加法原理 做一件事情,完成它有类办法,在第1类办法中有种不同的方法,在第二类办法中有种不同的方法,在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事情共有从1985到4891的整数中,十位数与个位数相同的数有多少个?满足“十位数与个位数相同”的数,其后两位数形式有10种:00、11、22、99。设整数如下:千位百位十位个位 为使问题简单,假设所求整数在20004999之间,千位
22、可取2、3、4中的任何一个,有3种取法;百位可取0、1、29中的任何一个,有10种取法;十位与个位可取00、11、22、99中的任何一个,有10种取法。根据乘法原理,满足条件的数有 1010=300(个)再加上1985到2000的2个(1988、1999),减去4891到4999的11个(4899、4900、49114999),可得满足题目要求的整数有291个。18)浓度问题(溶液问题)-稀释问题、不同浓度溶液混合问题等。溶液=溶质+溶剂浓度=溶质/溶液浓度为70%的酒精溶液100克与浓度为20%的酒精溶液400克混合后得到的酒精溶液的浓度是多少?A、 30% B、 32% C、 40% D、
23、 45%100克70%的酒精溶液中含酒精10070%70克;400克20%的酒精溶液中含酒精40020%80克;混合后的酒精溶液中含酒精的量70+80150克;混合后的酒精溶液的总重量100+400500克;混合后的酒精溶液的浓度150/500100%30%,选择A。从装有100克浓度为10%的盐水瓶中倒出10克盐水后,再向瓶中倒入10克清水,这样算一次操作,照这样进行下去,第三次操作完成后,瓶中盐水的浓度为()。A、 7% B、 7.12% C、 7.22% D、 7.29%每次操作从100克盐水中倒出10克盐水,剩余90克,即剩余90%。每次操作后溶液中剩余的溶质变为原来的90%,又都稀释
24、到100克,浓度变为操作前的90%。三次操作后浓度为10%(90%)的3次方)7.29%,选择D。甲容器中有浓度为4%的盐水250克,乙容器中有某种浓度的盐水若干克。现从乙中取出750克盐水,放入甲容器中混合成浓度为8%的盐水。问乙容器中的盐水浓度约是多少?A、 9.78% B、 10.14% C、 9.33% D、 11.27%甲容器中盐水溶液中含盐量2504%10克;混合后的盐水溶液的总重量250+7501000克;混合后的盐水溶液中含盐量10008%80克;乙容器中盐水溶液中含盐量80-1070克;乙容器中盐水溶液的浓度(70/750)100%9.33%。选择C。19)预资问题(预算问题
25、)-对预资问题的分析,我们会发现此类问题与比例问题是相通的。按照比例问题的解法对预资问题同样适用。20)跳井问题(爬绳问题)-关键要考虑最后一跳(或爬),即到哪个位置一次可跳出井(或爬到顶),用此位置需要跳(爬)的次数再加一次即可。即跳出井或爬至绳顶所需次数为:(井深或绳长-每次所跳或爬米数)/每次实际跳爬高度+1 21)集合问题及容斥原理S(A+B)=S(A)+S(B)-S(AB)S()=S(I)S(A+B)S(A+B+C)=S(A)+S(B)+S(C)-S(AB)-S(BC)-S(AC)+S(ABC)其中S可看作集合中元素的个数或图形面积。22)抽屉原理原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉
26、里,则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。假定一年有365天,则366人中至少有两个人的生日相同。一副扑克牌有四种花色,每种花色各有13张,现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌,才能保证有4张牌是同一种花色的?A、12B、13C、15D、16根据抽屉原理,当每次取出4张牌时,则至少可以保障每种花色一样一张,按此类推,当取出12张牌时,则至少可以保障每种花色一样三张,所以当抽取第13张牌时,无论是什么花色,都可以至少保障有4张牌是同一种花色,选B。此题没有包含大小王,若包含则需要增加两张。23)中国剩余定理(孙子定理、韩信点兵)韩信点兵:相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。刘邦茫然而不知其数。孙子算经也有类似的问题:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:三人同行七十(70)稀,五树梅花廿一(21)枝, 七子团圆正月半(15), 除百零五(105)便得知。歌诀中每一句话都是一步解法:第一句指除以3
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