坐标系与参数方程高考冲刺(文理科专用).docx

1、坐标系与参数方程要点一：向量的有关概念1极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。2极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（极点与原点重合；极轴与轴正半轴重合；长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.4. 直线的极坐标方程：过极点倾斜角为的直线：或写成及. 5. 圆的极坐标方

2、程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：. （2）若，以为直径的圆：要点二：参数方程1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 要点三：常见曲线的参数方程1直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，在下方时，)。 （2）过定点，且其斜率为的直

3、线的参数方程为：（为参数，为为常数，）； 其中的几何意义为：若是直线上一点，则。2圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）； 特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。 （2）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3. 椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。（2）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4. 双曲线的参数方程双曲线（,）的参数方程为（为参数）。 5. 抛物线的参数方程抛物线()的

4、参数方程为（是参数）。参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。典例解析类型一、 极坐标方程的综合应用例1（2016 兰州模拟）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=（）求圆C的极坐标方程；（）若0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围【思路点拨】（）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程.（）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1t2|，化为关于的三角函数求解【解析】（）C（，）的直角坐标为（1，1），圆C的直角坐标方程

5、为（x1）2+（y1）2=3化为极坐标方程是22（cos+sin）1=0 （）将代入圆C的直角坐标方程（x1）2+（y1）2=3，得（1+tcos）2+（1+tsin）2=3，即t2+2t（cos+sin）1=0t1+t2=2（cos+sin），t1t2=1|AB|=|t1t2|=20，），20，），2|AB|2即弦长|AB|的取值范围是2，2）【总结升华】极坐标问题利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即可举一反三：【变式1】在极坐标系中，则AOB的面积是_。【答案】，。【变式2】极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是（ ）A2 B C1 D【答案

6、】D 法一:在极坐标系中，两圆的圆心坐标分别为与,由此求得圆心距为.法二:将极坐标方程化成直角坐标方程x2+y2=x和x2+y2=y，它们的圆心分别是， 由此求得圆心距为.类型二 参数方程的应用例2. 已知实数x, y满足,求:（1）x2+y2的最大值；（2）x+y的最小值.【思路点拨】充分利用圆的参数方程【解析】原方程配方得，表示以为圆心，2为半径的圆.用参数方程表示为: （为参数，02）.（1）当，即时，(x2+y2)max=16.（2）当， 即时，.【总结升华】利用圆的参数方程求最值，一般来说都是先把所求的量表示成关于参数的函数，然后利用三角函数的有界性或者函数的性质求最值。举一反三：【

7、变式1】已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1）设圆的参数方程为，（2）【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_个.【答案】已知圆方程为，设其参数方程为（）则圆上的点到直线的距离为，即，或又，从而满足要求的点一共有三个.例3（2016 湖南二模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1： （t为参数），C2：（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（cos2sin）=7距离的最小值【解析】（）曲线C

8、1： （t为参数），化为（x+4）2+（y3）2=1，C1为圆心是（4，3），半径是1的圆C2：（为参数），化为C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆（）当t=时，P（4，4），Q（8cos，3sin），故M，直线C3：（cos2sin）=7化为x2y=7，M到C3的距离d=|5sin（+）+13|，从而当cossin=，sin=时，d取得最小值举一反三：【变式1】（2016 衡水校级一模）已知曲线C1：（t为参数），C2：（为参数）（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M

9、到直线C3：（t为参数）距离的最小值【解析】（）把C1，C2的参数方程消去参数，化为普通方程分别为，C1为圆心是（4，3），半径是1的圆；C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆（）当时，P（4，4），设Q（8cos，3sin），故，C3为直线x2y7=0，求得M到C3的距离=|cossin|=|sin（+）|，其中，sin=，cos=从而当sin（+）=1，即当 时，d取得最小值为 【变式2】在椭圆中作内接矩形，求内接矩形的最大面积.【答案】如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A（）（），矩形的面积是S 。，当且仅当时，。所以内接矩形的最大面积为40.例4.

10、经过点，倾斜角为的直线与圆x2+y2=25相交于B、C两点 （1）求弦BC的长； （2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程； （3）当|BC|=8时，求直线BC的方程； （4）当变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程 【思路点拨】 本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算 【解析】取AP=t为参数（P为上的动点）， 则的参数方程为， 代入x2+y2=25，整理得 =9(2cos+sin)2+550恒成立 方程必有相异两实根t1、t2，且t1+t2=3(

11、2cos+sin）， （1） （2）A为BC中点，t1+t2=0， 即2cos+sin=0，tan=2 故直线BC的方程为， 即4x+2y+15=0 （3）， (2cos+sin)2=1，cos=0或 直线BC的方程是x=3或3x+4y+15=0 举一反三：【变式1】直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ） A B C D 【答案】D，得，中点为【变式2】求直线（为参数）被双曲线截得的弦长。【答案】把直线参数方程化为标准参数方程 【变式3】过点P（3，0）且倾斜角为30的直线和曲线相交于A、B两点，求线段AB的长【答案】直线的参数方程为曲线可以化为将直线的参数方程代入上式，得设A、B对应的参数分

12、别为， AB例5（2016 鞍山一模）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为=4cos，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T（1）求点T的极坐标；（2）过点T作直线l1，若l1被曲线C截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为x24x+y2=0 将代入上式并整理得解得点T的坐标为 其极坐标为（5分）（2）设直线l的方程为由（）得曲线C是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l的距离为则，解得k=0，或直线l的方程为，或 其极坐标方程为（R）举一反三：【变式1】已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数

13、方程。（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。【答案】（1）直线的参数方程为，即 （2）把直线代入得，则点到两点的距离之积为【变式2】（2016 杭锦后旗校级二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系 （与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为=4cos（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|【解析】（I）=4cos，2=4cos，圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将代入（x2）2+y2=4整理得，即t1，t2异号|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1t2|=巩固练习17