坐标系与参数方程高考冲刺(文理科专用).docx

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坐标系与参数方程

要点一：

向量的有关概念

1．极坐标系

平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。

2．极坐标系内一点的极坐标

平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。

3.极坐标与直角坐标的互化

当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：

直角坐标化极坐标：

；

极坐标化直角坐标：

.

此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.

4.直线的极坐标方程：

过极点倾斜角为的直线：

或写成及.

5.圆的极坐标方程：

（1）以极点为圆心，为半径的圆：

.

（2）若，，以为直径的圆：

要点二：

参数方程

1.概念：

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：

，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.

相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。

要点三：

常见曲线的参数方程

1．直线的参数方程

（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：

（为参数）；

其中参数的几何意义：

，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。

（当在上方时，，在下方时，）。

（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：

（为参数，为为常数，）；

其中的几何意义为：

若是直线上一点，则。

2．圆的参数方程

（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：

（是参数，）；

特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。

（2）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3.椭圆的参数方程

（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。

（2）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。

椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。

4.双曲线的参数方程

双曲线（,）的参数方程为（为参数）。

5.抛物线的参数方程

抛物线（）的参数方程为（是参数）。

参数的几何意义为：

抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。

典例解析

类型一、极坐标方程的综合应用

例1（2016兰州模拟）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

【思路点拨】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程.

（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．

【解析】（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），

∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．

化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0

（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，

得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，

即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．

∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．

∴|AB|=|t1﹣t2|==2．

∵α∈[0，），∴2α∈[0，），

∴2≤|AB|＜2．

即弦长|AB|的取值范围是[2，2）

【总结升华】极坐标问题利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可．

举一反三：

【变式1】在极坐标系中，，，则△AOB的面积是________。

【答案】，

∴。

【变式2】极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是（）

A．2B．C．1D．

【答案】D

法一:

在极坐标系中，两圆的圆心坐标分别为与,由此求得圆心距为.

法二:

将极坐标方程化成直角坐标方程x2+y2=x和x2+y2=y，它们的圆心分别是，，

由此求得圆心距为.

类型二参数方程的应用

例2.已知实数x,y满足,求:

（1）x2+y2的最大值；

（2）x+y的最小值.

【思路点拨】充分利用圆的参数方程

【解析】原方程配方得，表示以为圆心，2为半径的圆.

用参数方程表示为:

（为参数，0≤＜2）.

（1）

∴当，即时，（x2+y2）max=16.

（2）

∴当，即时，.

【总结升华】利用圆的参数方程求最值，一般来说都是先把所求的量表示成关于参数的函数，然后利用三角函数的有界性或者函数的性质求最值。

举一反三：

【变式1】已知点是圆上的动点，

（1）求的取值范围；

（2）若恒成立，求实数的取值范围。

【答案】

（1）设圆的参数方程为，

（2）

【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个.

【答案】已知圆方程为，

设其参数方程为（）

则圆上的点到直线的距离为

，即，

∴或

又，∴，从而满足要求的点一共有三个.

例3（2016湖南二模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：

（t为参数），C2：

（θ为参数）．

（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：

ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．

【解析】（Ⅰ）曲线C1：

（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，

∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．

C2：

（θ为参数），化为．

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，

直线C3：

ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，

M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，

从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．

举一反三：

　【变式1】（2016衡水校级一模）已知曲线C1：

（t为参数），C2：

（θ为参数）．

（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：

（t为参数）距离的最小值．

【解析】（Ⅰ）把C1，C2的参数方程消去参数，化为普通方程分别为，

C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆；C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

（Ⅱ）当时，P（﹣4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），故，C3为直线x﹣2y﹣7=0，

求得M到C3的距离=|cosθ﹣sinθ﹣|=|sin（θ+α）﹣|，其中，sinα=，cosα=﹣．

从而当sin（θ+α）=1，即当时，d取得最小值为．

【变式2】在椭圆中作内接矩形，求内接矩形的最大面积.

【答案】如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是

A（）（），矩形的面积是S。

 ，当且仅当时，。

所以内接矩形的最大面积为40.

例4.经过点，倾斜角为的直线与圆x2+y2=25相交于B、C两点．

（1）求弦BC的长；

（2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；

（3）当|BC|=8时，求直线BC的方程；

（4）当变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程．

【思路点拨】本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦．如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算．

【解析】取AP=t为参数（P为上的动点），

则的参数方程为，

代入x2+y2=25，整理得

．

∵Δ=9（2cos+sin）2+55＞0恒成立．

∴方程必有相异两实根t1、t2，且t1+t2=3（2cos+sin），．

（1）．

（2）∵A为BC中点，∴t1+t2=0，

即2cos+sin=0，∴tan=－2．．

故直线BC的方程为，

即4x+2y+15=0．

（3）∵，

∴（2cos+sin）2=1，∴cos=0或．

∴直线BC的方程是x=－3或3x+4y+15=0．

举一反三：

【变式1】直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A．B．C．D．

【答案】D

，得，

中点为

【变式2】求直线（为参数）被双曲线截得的弦长。

【答案】把直线参数方程化为标准参数方程

【变式3】过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线相交于A、B两点，求线段AB的长．

【答案】直线的参数方程为曲线可以化为．

将直线的参数方程代入上式，得．设A、B对应的参数分别为，

∴．AB＝．

例5（2016鞍山一模）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=4cosθ，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．

（1）求点T的极坐标；

（2）过点T作直线l1，若l1被曲线C截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程．

【解析】

（1）曲线C的直角坐标方程为x2﹣4x+y2=0．

将代入上式并整理得．

解得．∴点T的坐标为．

其极坐标为…（5分）

（2）设直线l'的方程为．

由（Ⅰ）得曲线C是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l'的距离为

则，．解得k=0，或．

直线l'的方程为，或．

其极坐标方程为（ρ∈R）

举一反三：

【变式1】已知直线经过点,倾斜角，

（1）写出直线的参数方程。

（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。

【答案】

（1）直线的参数方程为，即

（2）把直线代入

得

，则点到两点的距离之积为

【变式2】（2016杭锦后旗校级二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．

【解析】（I）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，

∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．

（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将代入（x﹣2）2+y2=4整理得，

∴，即t1，t2异号．

∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．

巩固练习

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