学生微积分运算命令与例题Word格式文档下载.docx

1、例7：用差分法求出的导数。（1）建立M命令文件:x=-5:.1:5;y=（x+tan（x）.（1/2）+sin（x）.*cos（5*x）;dx=diff（x）;dy=diff（y）;disp（f（x）的导数为：）yd0=dy./dx 对符号函数求一阶导diff（f）格式：diff（f）,其中f是符号函数。例9：求Matlab 命令为：syms xr=sqrt（1+x2）;y=1/2*atan（r）+1/4*log（r+1）/（r-1）;diff（y） 对符号函数求n阶导diff（f ,n）,其中f是符号函数。例10：的一阶、二阶导数。syms a b xy=（a*x+tan（3*x）（1/2）

2、+sin（x）*cos（b*x）;y1=diff（y）;y2=diff（y,2）;一阶导数为:）, pretty（y1） 2 a + 3 + 3 tan（3 x） 1/2 - + cos（x） cos（b x） - sin（x） sin（b x） b 1/2 （a x + tan（3 x）二阶导数为:）,y2y2 =1/4/（a*x+tan（3*x）（3/2）*（a+3+3*tan（3*x）2）2+3/（a*x+tan（3*x）（1/2）*tan（3*x）*（3+3*tan（3*x）2）-sin（x）*cos（b*x）-2*cos（x）*sin（b*x）*b-sin（x）*cos（b*x）*b

3、2 （3）分析结果: 参数方程求导对参数方程所确定的函数y=f（x），根据公式，连续两次利用指令diff（f）就可求出结果。例15.求参数方程的一阶导数。解:Matlab命令: syms tx=t*（1-sin（t）;y=t*cos（t）;dx=diff（x,t）dx =1-sin（t）-t*cos（t）dy=diff（y,t）dy =cos（t）-t*sin（t）pretty（dy/dx） cos（t） - t sin（t） - 1 - sin（t） - t cos（t）6.2.2 多元函数求导 对多元函数求导diff（f ,x,n）,表示对变量x求n阶导数,其中f是符号函数,。例16：,求

4、syms a b c xy=a*sin（b*exp（c*x）+xa）*cos（c*x）;diff（y,x）例18: 对函数, 求 syms x yz=x3*y2+sin（x*y）;diff（z,x,3）6*y2-cos（x*y）*y36.2.3 隐函数求导 一元隐函数求导由方程确定的隐函数y=y（x），则例23：所确定的隐函数y=y（x）的导数。syms x yf=x*y-exp（x）+exp（y）;dfx=diff（f,x）;dfy=diff（f,y）;dyx=-dfx/dfy;pretty（dyx） -y + exp（x） - x + exp（y）结果分析： 多元隐函数求导确定的隐含数z=

5、z（x,y） ,则，例24. ，其中z=z（x,y） ,求Matlab命令syms x y zu=x2+y2+z2;dux=diff（u,x）;duy=diff（u,y）;duz=diff（u,z）;dzx=-dux/duzdzx = -x/zdzy=-duy/duzdzy =-y/z6.1 求不定积分 高等数学中求不定积分是较费时间的事情，在Matlab中，只要输入一个命令就可以快速求出不定积分来。 指令：int（f） f是被积函数，表示对默认的变量求不定积分。 int（f,v） f是被积函数，表示对变量v求不定积分例25：Matlab命令：y=1/（sin（x）2*cos（x）2）; in

6、t（y）；pretty（int（y） 1 cos（x） - - 2 - sin（x） cos（x） sin（x）例26：y=a*x b*x2;1/x sin（x）;int（y,x） 1/2*a*x2, 1/3*b*x3 log（x）, -cos（x）定积分的符号解法int（f,v,a,b） f是被积函数，表示对变量v求区间a,b上的定积分。例31：syms x af=sqrt（x2+a）;int（f,x,-2,2）;pretty（int（f,x,-2,2） 1/2 1/2 1/2 2 （4 + a） + 1/2 a log（2 + （4 + a） ） - 1/2 a log（-2 + （4 +

7、 a） ）例32:syms t xy1=exp（t2）;y2=t*y12;r1=int（y1,t,0,x）;r2=int（y2,t,0,x）;f=r12/r2;limit（f,x,0）26.4.2 广义积分指令：int（f,v,a,inf） f是被积函数，表示对变量v求区间上的定积分int（f,v,-inf,b） f是被积函数，表示对变量v求区间int（f,v,-inf,inf） f是被积函数，表示对变量v求区间例35.计算广义积分Matlab命令syms xf=1/（x4）;int（f,x,1,inf） 1/3例36:计算瑕积分f=x/sqrt（1-x2）;int（f,x,0,1） 16.4

8、.3 计算二重积分dblquad（fun,inmin, inmax, outmin, outmax）其中：例37.计算,D由y=1,x=4,x=0,y=0所围 Matlab命令为：ff=inline（x*y,xy）;dblquad（ff, 0, 4, 0, 1） 4例38.计算Matlab命令ff=inline（x.2+ydblquad（ff, 0, 1, 0, 1） 0.83336.2 函数展开成幂级数6.5.1 一元函数泰勒展开taylor（f） f是待展开的函数表达式,展开成默认变量的6阶麦克劳林公式taylor（f,n） f是待展开的函数表达式,展开成默认变量的n阶麦克劳林公式tayl

9、or（f,n,v,a） f是待展开的函数表达式,展开成变量v=a的n阶泰勒公式例39.将函数展开为x的6阶麦克劳林公式。f=x*atan（x）-log（sqrt（1+x2）;taylor（f） 1/2*x2-1/12*x4例40.将函数展开为关于（x-2）的最高次为4的幂级数。f=1/x2;taylor（f,4,x,2）;pretty（taylor（f,4,x,2） 2 3 3/4 - 1/4 x + 3/16 （x - 2） - 1/8 （x - 2）例41：用正弦函数sin x的不同Taylor展式观察函数的Taylor逼近特点。（1）建立命令文件syms xy=sin（x）;f1=tay

10、lor（y,3）;f2=taylor（y,6）;f3=taylor（y,15）;subplot（2,2,1）,ezplot（y）,axis（-6 6 -1.5 1.5）,gtext（sin（x）subplot（2,2,2）,ezplot（f1）,axis（-6 6 -1.5 1.5）,gtext（3阶泰勒展开subplot（2,2,3）,ezplot（f2）,axis（-6 6 -1.5 1.5）,gtext（6阶泰勒展开subplot（2,2,4）,ezplot（f3）,axis（-6 6 -1.5 1.5）,gtext（15阶泰勒展开（2）运行命令文件图6.8函数y=sinx与它的不同阶泰

11、勒展开式的图像6.5.2 多元函数的完全泰勒展开mtaylor（f,v） f是待展开的函数表达式，v是变量名列表。mtaylor（f,v,n） f是待展开的函数表达式，v是变量名列表，n是展开阶数。 由于mtaylor并不在Matlab符号运算工具箱中，它是Maple符号运算库中的命令。因此在 Matlab使用mtaylor的格式为：maple（readlib（mtaylor）maple（mtaylor（f,v,n）例42：在（1,0,0）处对函数进行完全泰勒展开。maple（readlib（mtaylor）mtaylor（sin（x2+y2/z）,x=1,y=0,z=0,3）sin（1）+2

12、*cos（1）*（x-1）+cos（1）*y2/z+（-2*sin（1）+cos（1）*（x-1）2-2*sin（1）*y2/z*（x-1）-1/2*sin（1）*y4/z26.3 求和、求积、级数求和6.6.1 求和sum（x） 求向量x的和或者是矩阵每一列向量的和cumsum（x） x是向量,逐项求和并用行向量显示出来;x是矩阵,则对列向量进行操作。例43：a=1:A=1 2 3;2 3 4;7 8 9;sum（a） 15cumsum（a） 1 3 6 10 15sum（A） 10 13 16cumsum（A） 1 2 3 3 5 76.6.2 求积prod（x） 求向量x的积或者是矩阵每

13、一列向量的积cumprod（x） x是向量,逐项求积并用行向量显示出来; x是矩阵,则对列向量进行操作。例44：prod（a） 120cumprod（a） 1 2 6 24 120prod（A） 14 48 108cumprod（A） 2 6 126.6.3 级数求和 symsum（s）s为求和的级数的通项表达式，对默认的变量如k求由0到k-1的有限项的和.例45：syms nf=n3;symsum（f） 1/4*n4-1/2*n3+1/4*n2 symsum（s,v）s为求和的级数的通项表达式，对变量v求由0到v-1的有限项的和.例46：f=a*n3+（a-1）*n2+b*n+2;colle

14、ct（symsum（f,n） 1/4*a*n4+（-1/3-1/6*a）*n3+（1/2-1/4*a+1/2*b）*n2+（-1/2*b+11/6+1/6*a）*n symsum（s,v,a,b）s为求和的级数的通项表达式，对变量v求由a到b的有限项的和.例47：collect（symsum（f,n,0,100） 25840850*a+5050*b-3381486.4 求函数的零点 用fzeros求函数的零点z=fzero（fun,x0,tol,trace） 其中fun是被求零点的函数文件名，x0表示在的附近找零点，tol代表精度，可以缺省。缺省时，tol=0.001.trace=1,迭代信息

15、在运算中显示,trace=0，不显示迭代信息，默认值为0。此命令不仅可以求零点，而且可以求函数等于任何常数值得点。例48：通过求的零点，综合叙述相关指令的用法。（1）建立M函数命令文件function y=gg（x）y=sin（x）.2.*exp（-0.1*x）-0.5*abs（x）;（2）建立M命令文件clfx=-10:0.01:10;y=gg（x）;plot（x,y,rhold on,plot（t,zeros（size（t）,k-xlabel（tylabel（y（t）,hold off 通过图形取点tt,yy=ginput（3）xzero1=fzero（gg,tt（1）;xzero2=fz

16、ero（,tt（2）;xzero3=fzero（,tt（3）;零点的横坐标disp（xzero1 xzero2 xzero3）hold onplot（xzero1,gg（xzero1）,bp,xzero2,gg（xzero2）,xzero3,gg（xzero3）,legend（gg（x）y=0零点（3）运行命令文件通过图形取点tt = -2.0530 -0.5960 0.5960yy = -0.0251 0.0050零点的横坐标 -2.0074 -0.5198 0.5993图 6.9 函数零点分布观察图例49：在x=2附近的零点，并画出函数的图像。function y=gg2（x）y=3*2.

17、（5*x）.*（x.2+cos（x）-40;x=-4:y=gg2（x）;xzero=fzero（gg2,-0.5）b,xzero,gg2（xzero）,rpaxis（-4 5 -100 300）f（x）xzero =0.6846图 6.10 函数零点分布观察图6.5 求函数的极值点 fminbndx=fminbnd（fun，x1，x2） %5.3版本及其以后的版本中使用 其中fun是被求零点的函数文件名，x1,x2表示在区间x1,x2内找极小值点。例50：在区间-1，1内的最小值，并画出函数的图像。x=-2:2;y=gg3（x）;xmin=fmin（gg3,-1,1）,xmin,gg3（xmi

18、n）,极小点xmin =-2.7756e-017图 6.10 函数极小点分布观察图例51：求函数y=3x4-5x2+x-1, 在-2,2的极大值、极小值和最大值、最小值。 先画出函数图形，再确定求极值的初值和命令。fplot（3*（x.4）-5*（x.2）+x-1,-2,2）, grid on图6.11函数y=3x4-5x2+x-1的图像从图中看到函数在-1和1附近有两个极小值点，在0附近有一个极大值点. 下面我们分别求之，并标在图形上。function y=ff1（x）y=3*x.4-5*x.2+x-1;clf,y=ff1（x）;xmin1=fmin（ff1,-1,0）xmin2=fmin（,0,1.2）xmaxs=fmin（-（3*（x.4）-5*（x.2）+x-1）,xmin1,ff1（xmin1）,xmin2,ff1（xmin2）,hold on,plot（xmaxs,ff1（xmaxs）,rd极大点 （3）运行命令文件xmin1 = -0.9593xmin2 = 0.8580xmaxs =0.1012图6.12函数y=3x4-5x2+x-1及其极值点的图像