MATLAB傅里叶级数.docx

1、MATLAB傅里叶级数MATLAB傅里叶级数 河南工程学院 理 学 院 MATLAB 姓名：杨标 班级：信息1241 学号：201211002126 （傅立叶级数的模拟） 实验目的： （1）用MATLAB模拟傅立叶级数 F(x)=a0/2+?(ancosnx?bnsinnx) n?1? 求a0,an,bn; （2）对矩形函数，三角函数求傅立叶级数；（作图） （3）绘制函数及其傅立叶逼近 实验分析（1）： 将F(x)=a0/2+?(ancosnx?bnsinnx) 展开为傅立叶级数，既是求 n?1? ai,bi 根据三角函数的正交性，可得： a0=1 ? an=1 ?f(x)dx; ?f(x)c

2、osnxdx; ? bn=1 ?f(x)sinnxdx应用积分求解公式int ? 源程序： clear syms x n “函数方程”） f=（ a0=int(f,x,-pi,pi)/pi an=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pi bn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi 例：求函数f(x)=x3+5 clear syms x n f=x3+5 a0=int(f,x,-pi,pi)/pi an=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pi bn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi运行后得： 实验分析（2）：其中函数为F（X）

3、=X，求解图像及其傅里叶逼近。 展开为傅里叶级数： F(x)=a0/2+?(ancosnx?bnsinnx) n?1?，先求 解其中的a0,an,bn 源程序： function y=fly(f,k,l) %f为要展开的函数，k为要展开的项数,l为函数半周期 syms x n; a0=int(f,x,-l,l)/l an=int(f*cos(n*pi*x/l),x,-l,l)/l bn=int(f*sin(n*pi*x/l),x,-l,l)/l for n=1:k a(n)=int(f*cos(n*pi*x/l),x,-l,l)/l; b(n)=int(f*sin(n*pi*x/l),x,-l

4、,l)/l; end g=0; for n=1:k s=a(n)*cos(n*pi*x/l)+b(n)*sin(n*pi*x/l); g=g+s; end y=a0/2+g 依次可以求得，1,3,5,7,10次的部分和，既可以做出图像。输入： x=-pi:0.01:pi f1=2*sin(x) f3=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x) f5=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)-1/2*sin(4*x)+2/5*sin (5*x) f7=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)-1/2*sin(4*x)+2/5*sin(5*

5、x)-1/3*sin(6*x)+2/7*sin(7*x) f10=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)-1/2*sin(4*x)+2/5*sin(5*x)-1/3*sin(6*x)+2/7*sin(7*x)-1/4*sin(8*x)+2/9*sin(9*x)-1/5*sin(10*x) plot(x,x,x,f1,x,f3,x,f5,x,f7,x,f10)即可得图像： 实验分析（3）： 求以2为周期的周期函数函数F(x)=(-1,x<0;1,x>0) 的 傅里叶系数展开，及逼近（作图） 源程序：A,B,y=fseries(f,x,n,a,b) f为待展开函数

6、，x为自变量；n为展开项数； a,b为展开区间；A,B为傅里叶系数；y为返回的展开式 （a）function A,B,F=fseries(f,x,n,a,b) if nargin=3, a=-pi; b=pi; end %若输入为3个参数表示f(x)在-pi,pi内展开 L=(b-a)/2; A=int(f,x,-L,L)/L; %f(x)在-L,L内积分 B=; F=A/2; for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; %积分求系数an bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; %积分求系数bn A=A,an; %记录所有

7、an B=B,bn; %记录所有bn F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L); %得到n阶傅里叶展开式 end （b） syms x; f=abs(x)/x; %给出待展开函数 xx=-pi:pi/200:pi; %给出所有要作图的点 xx=xx(xx=0); %去掉为0的点 yy=subs(f,x,xx); %计算f(x)的值 plot(xx,yy); %作f(x)图 hold on n1=1 n2=5 n3=7 n4=10 %给出展开的阶数 a,b,f1=fseries(f,x,n1);% 求n阶展开 y1=subs(f1,x,xx); %计算n阶展开在

8、各点的函数值 a,b,f1=fseries(f,x,n2);% 求n阶展开 y2=subs(f1,x,xx); %计算n阶展开在各点的函数值 a,b,f1=fseries(f,x,n3);% 求n阶展开 y3=subs(f1,x,xx); %计算n阶展开在各点的函数值 a,b,f1=fseries(f,x,n4);% 求n阶展开 y4=subs(f1,x,xx); %计算n阶展开在各点的函数值 plot(xx,y1,xx,y2,xx,y3,xx,y4); %作图 作图得： 实验分析（3）：以2为周期，以1为振幅的三角函数 第一步，先求其傅里叶展开;程序为：syms x; k=10; % k为需

9、要展开的相数 f1=2/pi*x+5; f2=-2/pi*x-2; f3=2/pi*x; f4=-2/pi*x+2; f5=2/pi*x-4; % f为需要展开的函数 a0=int(f1,x,-2*pi,-3/2*pi)/pi+int(f2,x,-3/2*pi,-1/2*pi)/pi+int(f3,x,-1/2*pi,1/2*pi)/pi+ int(f4,x,1/2*pi,3/2*pi)/pi+ int(f5,x,3/2*pi,5/2*pi)/pi; for n=1:k a(n)=int(f1*cos(n*x),x, -2*pi,-3/2*pi)/pi+int(f2*cos(n*x),x, -

10、3/2*pi,-1/2*pi)/pi+int(f3*cos(n*x),x, -1/2*pi,1/2*pi)/pi+ int(f4*cos(n*x),x, 1/2*pi,3/2*pi)/pi+ int(f3*cos(n*x),x, 3/2*pi,5/2*pi)/pi; %求出傅立叶系数a=( a1, a2,?), end for n=1:k co(n)=cos(n*x); %傅立叶级数的余弦项 end f=co.*a; g=0; for n=1:k g=f(n)+g; end f=a0+g %求出傅立叶级数 当k=1,2,5,7是分别可以求出f1,f2,f5,f7 作图程序：x=-2*pi:0.

11、01:2*pi; f1=(-40139127974558613/72057594037927936*pi2+5/2*pi)/pi+(5734161139222659/9007199254740992*pi2-2*pi)/pi+(-5734161139222659/9007199254740992*pi2+2*pi)/pi+(5734161139222659/4503599627370496*pi2-4*pi)/pi+cos(x)*(-17202483417667977/18014398509481984*pi+39301835134482301/9007199254740992)/pi+(-5

12、734161139222659/4503599627370496*pi+4)/pi+(5734161139222659/4503599627370496*pi- 4)/pi+5734161139222659/2251799813685248) f2=(-40139127974558613/72057594037927936*pi2+5/2*pi)/pi+(5734161139222659/9007199254740992*pi2-2*pi)/pi+(-5734161139222659/9007199254740992*pi2+2*pi)/pi+(5734161139222659/4503599

13、627370496*pi2-4*pi)/pi-5734161139222659/18014398509481984*cos(2*x)/pi+cos(x)*(-17202483417667977/18014398509481984*pi+39301835134482301/9007199254740992)/pi+(-5734161139222659/4503599627370496*pi+4)/pi+(5734161139222659/4503599627370496*pi-4)/pi+5734161139222659/2251799813685248) f5=(-40139127974558

14、613/72057594037927936*pi2+5/2*pi)/pi+(5734161139222659/9007199254740992*pi2-2*pi)/pi+(-5734161139222659/9007199254740992*pi2+2*pi)/pi+(5734161139222659/4503599627370496*pi2-4*pi)/pi+cos(5*x)*(-17202483417667977/90071992547409920*pi+219445*141/225179981368524800)/pi+(-5734161139222659/225179981368524

15、80*pi+4/5)/pi+(5734161139222659/22517998136852480*pi-4/5)/pi+5734161139222659/11258999068426240)+cos(3*x)*(5734161139222659/180*481984*pi-46947383320112513/27021597764222976)/pi+(1911387046407553/4503599627370496*pi-4/3)/pi+(-1911387046407553/4503599627370496*pi+4/3)/pi-1911387046407553/2251799813685248)-5734161139222659/180*481984*cos(2*x)/pi+cos(x)*(-17202483417667977/180*481984*pi+39301835134482301/9007199254740992)/pi+(-5734161139222659/450359962737049