MATLAB傅里叶级数.docx
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MATLAB傅里叶级数
MATLAB傅里叶级数
河南工程学院
理
学院
MATLAB
姓名：
杨标
班级：
信息1241
学号：
201211002126
（傅立叶级数的模拟）
实验目的：
（1）用MATLAB模拟傅立叶级数F（x）=a0/2+?
（ancosnx?
bnsinnx）
n?
1?
求a0,an,bn;
（2）对矩形函数，三角函数求傅立叶级数；（作图）
（3）绘制函数及其傅立叶逼近
实验分析
（1）：
将F（x）=a0/2+?
（ancosnx?
bnsinnx）展开为傅立叶级数，既是求
n?
1?
ai,bi根据三角函数的正交性，可得：
a0=1
?
an=1
?
?
?
f（x）dx;?
?
?
?
f（x）cosnxdx;?
?
bn=1
?
?
?
f（x）sinnxdx应用积分求解公式int?
?
源程序：
clear
symsxn
“函数方程”）f=（
a0=int（f,x,-pi,pi）/pi
an=int（f*cos（n*x）,x,-pi,pi）/pibn=int（f*sin（n*x）,x,-pi,pi）/pi例：
求函数f（x）=x^3+5clear
symsxn
f=x^3+5
a0=int（f,x,-pi,pi）/pi
an=int（f*cos（n*x）,x,-pi,pi）/pibn=int（f*sin（n*x）,x,-pi,pi）/pi运行后得：
实验分析
（2）：
其中函数为F（X）=X，求解图像及其傅里叶逼近。
展开为傅里叶级数：
F（x）=a0/2+?
（ancosnx?
bnsinnx）
n?
1?
，先求
解其中的a0,an,bn
源程序：
functiony=fly（f,k,l）
%f为要展开的函数，k为要展开的项数,l为函数半周期
symsxn;
a0=int（f,x,-l,l）/l
an=int（f*cos（n*pi*x/l）,x,-l,l）/lbn=int（f*sin（n*pi*x/l）,x,-l,l）/lforn=1:
k
a（n）=int（f*cos（n*pi*x/l）,x,-l,l）/l;b（n）=int（f*sin（n*pi*x/l）,x,-l,l）/l;end
g=0;
forn=1:
k
s=a（n）*cos（n*pi*x/l）+b（n）*sin（n*pi*x/l）;g=g+s;
end
y=a0/2+g
依次可以求得，1,3,5,7,10次的部分和，既可以做出图像。
输入：
x=-pi:
0.01:
pi
f1=2*sin（x）
f3=2*sin（x）-sin（2*x）+2/3*sin（3*x）
f5=2*sin（x）-sin（2*x）+2/3*sin（3*x）-1/2*sin（4*x）+2/5*sin
（5*x）
f7=2*sin（x）-sin（2*x）+2/3*sin（3*x）-1/2*sin（4*x）+2/5*sin（5*x）-1/3*sin（6*x）+2/7*sin（7*x）
f10=2*sin（x）-sin（2*x）+2/3*sin（3*x）-1/2*sin（4*x）+2/5*sin（5*x）-1/3*sin（6*x）+2/7*sin（7*x）-1/4*sin（8*x）+2/9*sin（9*x）-1/5*sin（10*x）
plot（x,x,x,f1,x,f3,x,f5,x,f7,x,f10）即可得图像：
实验分析（3）：
求以2π为周期的周期函数函数F（x）=（-1,x<0;1,x>0）
的
傅里叶系数展开，及逼近（作图）
源程序：
[A,B,y]=fseries（f,x,n,a,b）
f为待展开函数，x为自变量；n为展开项数；
[a,b]为展开区间；A,B为傅里叶系数；y为返回的展开式
（a）function[A,B,F]=fseries（f,x,n,a,b）
ifnargin==3,a=-pi;b=pi;end%若输入为3个参数表示f（x）在[-pi,pi]内展开
L=（b-a）/2;
A=int（f,x,-L,L）/L;%f（x）在[-L,L]内积分
B=[];
F=A/2;
fori=1:
n
an=int（f*cos（i*pi*x/L）,x,-L,L）/L;%积分求系数anbn=int（f*sin（i*pi*x/L）,x,-L,L）/L;%积分求系数bnA=[A,an];%记录所有an
B=[B,bn];%记录所有bn
F=F+an*cos（i*pi*x/L）+bn*sin（i*pi*x/L）;%得到n阶傅里叶展开式
end
（b）
symsx;
f=abs（x）/x;%给出待展开函数
xx=[-pi:
pi/200:
pi];%给出所有要作图的点
xx=xx（xx~=0）;%去掉为0的点
yy=subs（f,x,xx）;%计算f（x）的值
plot（xx,yy）;%作f（x）图
holdon
n1=1
n2=5
n3=7
n4=10%给出展开的阶数
[a,b,f1]=fseries（f,x,n1）;%求n阶展开
y1=subs（f1,x,xx）;%计算n阶展开在各点的函数值
[a,b,f1]=fseries（f,x,n2）;%求n阶展开
y2=subs（f1,x,xx）;%计算n阶展开在各点的函数值
[a,b,f1]=fseries（f,x,n3）;%求n阶展开
y3=subs（f1,x,xx）;%计算n阶展开在各点的函数值
[a,b,f1]=fseries（f,x,n4）;%求n阶展开
y4=subs（f1,x,xx）;%计算n阶展开在各点的函数值plot（xx,y1,xx,y2,xx,y3,xx,y4）;%作图
作图得：
实验分析（3）：
以2π为周期，以1为振幅的三角函数第一步，先求其傅里叶展开;程序为：
symsx;
k=10;%k为需要展开的相数
f1=2/pi*x+5;
f2=-2/pi*x-2;
f3=2/pi*x;
f4=-2/pi*x+2;
f5=2/pi*x-4;
%f为需要展开的函数
a0=int（f1,x,-2*pi,-3/2*pi）/pi+int（f2,x,-3/2*pi,-1/2*pi）/pi+int（f3,x,-1/2*pi,1/2*pi）/pi+int（f4,x,1/2*pi,3/2*pi）/pi+int（f5,x,3/2*pi,5/2*pi）/pi;
forn=1:
k
a（n）=int（f1*cos（n*x）,x,-2*pi,-3/2*pi）/pi+int（f2*cos（n*x）,x,-3/2*pi,-1/2*pi）/pi+int（f3*cos（n*x）,x,-1/2*pi,1/2*pi）/pi+int（f4*cos（n*x）,x,1/2*pi,3/2*pi）/pi+int（f3*cos（n*x）,x,3/2*pi,5/2*pi）/pi;%求出傅立叶系数a=（a1,a2,?
）,
end
forn=1:
k
co（n）=cos（n*x）;%傅立叶级数的余弦项
end
f=co.*a;
g=0;
forn=1:
k
g=f（n）+g;
end
f=a0+g%求出傅立叶级数
当k=1,2,5,7是分别可以求出f1,f2,f5,f7
作图程序：
x=-2*pi:
0.01:
2*pi;
f1=（-40139127974558613/72057594037927936*pi^2+5/2*pi）/pi+（5734161139222659/9007199254740992*pi^2-2*pi）/pi+（-5734161139222659/9007199254740992*pi^2+2*pi）/pi+（5734161139222659/4503599627370496*pi^2-4*pi）/pi+cos（x）*（（-17202483417667977/18014398509481984*pi+39301835134482301/9007199254740992）/pi+（-5734161139222659/4503599627370496*pi+4）/pi+（5734161139222659/4503599627370496*pi-
4）/pi+5734161139222659/2251799813685248）
f2=（-40139127974558613/72057594037927936*pi^2+5/2*pi）/pi+（5734161139222659/9007199254740992*pi^2-2*pi）/pi+（-5734161139222659/9007199254740992*pi^2+2*pi）/pi+（5734161139222659/4503599627370496*pi^2-4*pi）/pi-5734161139222659/18014398509481984*cos（2*x）/pi+cos（x）*（（-17202483417667977/18014398509481984*pi+39301835134482301/9007199254740992）/pi+（-5734161139222659/4503599627370496*pi+4）/pi+（5734161139222659/4503599627370496*pi-4）/pi+5734161139222659/2251799813685248）
f5=（-40139127974558613/72057594037927936*pi^2+5/2*pi）/pi+（5734161139222659/9007199254740992*pi^2-2*pi）/pi+（-5734161139222659/9007199254740992*pi^2+2*pi）/pi+（5734161139222659/4503599627370496*pi^2-4*pi）/pi+cos（5*x）*（（-17202483417667977/90071992547409920*pi+219445*********141/225179981368524800）/pi+（-5734161139222659/22517998136852480*pi+4/5）/pi+（5734161139222659/22517998136852480*pi-4/5）/pi+5734161139222659/11258999068426240）+cos（3*x）*（（5734161139222659/180********481984*pi-46947383320112513/27021597764222976）/pi+（1911387046407553/4503599627370496*pi-4/3）/pi+（-1911387046407553/4503599627370496*pi+4/3）/pi-1911387046407553/2251799813685248）-5734161139222659/180********481984*cos（2*x）/pi+cos（x）*（（-17202483417667977/180********481984*pi+39301835134482301/9007199254740992）/pi+（-5734161139222659/450359962737049
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