分形几何概述1.ppt

1、分形几何概述,海岸线长度问题,二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中讨论英国海岸线的长度。他发现，这个问题取决于测量所使用的尺度。采用公里做单位，一些几米和几十米的曲折会被忽略，如果采用米做单位，测得的长度会增加，但厘米以下的量仍然无法反映，测量单位的缩小使测得的长度增加，由于在自然尺度之间有许多个数量级，这种增加不会停止，海岸线的长度会趋于无限长。也就是说，长度不是海岸线的定量特征。,英国的海岸线地图,数学的不规则图形,实际上，在曼德尔勃朗特的问题提出之前，数学家就曾经构造过多种不规则的几何图形，他们具有和海岸线相似的性质。,Cantor集,Cantor在1883年构造了如下一

2、类集合：取一段欧式长度为l的直线段，将该线段三等分，去掉中间的一段，剩下两段。再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间的一段，剩下四段。将这个操作进行下去，直至无穷，可得到一个离散的点集，点数趋于无穷多，而长度趋于零。经无限次操作所得到的离散点集称为Cantor集。,Cantor集C,Cantor集C中的点的表示,Cantor集C的基本性质,1.“长度”为零.2.没有孤立点.3.闭集.4.自相似.,Koch雪花线,瑞典数学家科赫（H.von Koch)在1904年提出了一种曲线，它的生成方法是把一条直线段分成三段，将中间的一段用夹角为60度的两条等长折线来代替，形成一个生成元，然后再把每个直线段用

3、生成元进行代换，经无穷次迭代后就呈现出一条有无穷多弯曲的Koch曲线。,Koch曲线,Koch曲线的生成过程第0步、第1步,Koch曲线的生成过程第2步、第3步,Koch 曲线,Koch 曲线（续）,Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。同样的道理：长度无限、面积为零、而曲线还有“界”。另外，有一个特点：当取其中的一部分展开，与整体有完全的自相似性，似乎是一个什么东西的无数次的自我复制。,Koch曲线与雪花曲线连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线,Koch曲线的一些基本性质,Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫片类似的性质.长度等于无穷.,Sierpinski集,首

4、先，将一个等边三角形四等分，得到四个小等边三角形，去掉中间的一个，保留它的边。将剩下的三个小三角形再分别进行四等分，并分别去掉中间的一个，保留它的边。重复操作直至无穷，得到一个面积为零，线的欧式长度趋于无穷大的图形。这个图形被人们称为谢尔宾斯基垫片。,Sierpinsk垫片,Sierpinsk垫片的生成过程第0步、第1步,Sierpinsk垫片的生成过程第2步、第3步,Sierpinski垫片的基本性质,与Cantor集类似。面积等于0.,Sierpinski地毯,将一个正方形九等分，去掉中间的一个，保留四条边，剩下八个小正方形。将这九个小正方形再分别进行九等分，各自去掉中间的一个保留它们的边

5、。重复操作直至无穷。,Sierpinski地毯,对一个正六面体，将它的每条边进行三等分，即对正六面体进行27等分，去掉体心和面心处的7个小正六面体，剩下20个小正六面体，并保留它们的表面，重复操作直无穷，得到的图形。体积趋于零，而其表面的欧式面积趋于无穷大。,Sierpinski海绵,Sierpinski集的共同特点,它们都是经典几何无法描述的图形，是一种“只有皮没有肉”的几何集合。它们都具有无穷多个自相似的内部结构，任何一个分割后的图形放大后都是原来图形的翻版。,分形几何的历史,萌芽期：十九世纪末，二十世纪初.Cantor集，Weierstrass函数等的提出.形成期：二十世纪六、七十年代.

6、Mandelbrot的大量工作.1.1967年，Science,英国的海岸线有多长？2.1975年，分形对象：形，机遇和维数.分形(fractal)这个词源于这本书.它是从意思 是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派生 出来的.,发展期：二十世纪八十年代至今.1.Hutchinson,1981,分形与自相似.给出了自相似集合的数学理论基础.2.Mandelbrot,1982,自然界的分形几何.3.Barnsley,1988,Fractal everywhere.4.Falconer,1990,分形几何数学基础 及其应用.,分形的概念,分形理论的创始人B.B.Mandelbrot，有

7、人译为曼德尔布罗特，有人译为曼得勃罗等等 通过对这些不具有特征长度（欧氏几何学研究不了的问题）提出了一个全新的概念：分形、分形几何、分数维-fractal。fractal一词是由Mandelbrot自创的，来自于描述碎石的拉丁文fractus 曼德布罗特擅长于形象的、空间的思维，具有把复杂问题化为简单的、生动的、甚至彩色的图象的本领。他是个数学特别是几何学与计算机兼通的难得人才。1967年发表于美国科学杂志上的“英国的海岸线有多长”的划时代论文，是他的分形思想萌芽的重要标志。1973年，在法兰西学院讲课期间，他提出了分形几何学的整体思想，并认为分维是个可用于研究许多物理现象的有力工具。,定义1

8、 如果一个集合在欧式空间中的Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数DT，则称该集合为分形集，简称分形。由Mandelbrot在1982年提出，四年后，他又提出了一个更是实用的定义：定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。,分形的概念,分形看作具有如下所列性质的集合F：F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的扑维数。F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。,迭代（动力系统）的问题,Julia集的定义,Julia集的图象,C=-1,

9、C=-0.5+0.5i,C=-0.2+0.75 i,C=0.64 i,Mandelbrot 集,在复平面中，M集是通过下述迭代式产生的：Zn+1=Zn2+C。其中，Z和c都是复数，由各自的实部 和虚部组成 Xn+1+iYn+1=(Xn+iYn)2+Cx+iCy,展开得：Xn+1=Xn 2-Yn2+Cx（实部）Yn+1=2*XnYn+Cy（虚部）对上述迭代式反复进行迭代，得到的数集，称为Mandelbrot集，简称M集。在迭代过程中，Z的初值定为0，而C选择一个不为0的数,使C在复平面的某个区域内有规律地变化，对于二次函数fc(Z)=Z2+C的迭代，定义M集为：M=cC:fck(0)/(k)。,

10、用不同的C值反复进行迭代，由此产生的Zk序列有两种情况：（1）Zk序列自由地朝着无穷大的方向扩散，即发散；（2）Zk序列被限制在复平面的某一区域内，即收敛。建立判断收敛与发散的判断准则，对于那些收敛的Zk序列的点，设置某种颜色的色调，就可以显示M集的计算机图象。对于那些发散的Zk序列的点，根据发散速度的不同，按照给定的规则着上不同颜色的色调，就能显示M集周围的图象。,Mandelbrot集,分形几何的研究对象,自仿射集（每个映射都是压缩的仿射映射）。迭代函数系统的不变集（每个映射都是压缩映射）。分形函数（如：Weierstrass函数）。随机分形（如：随机Koch曲线）。,如何来研究分形？,M

11、andelbrot提出了一个分形维数的概念。在Euchlid几何学中我们知道维数的概念 点-0维；线-1维；面-2维；体-3维。,如何来研究分形？（续）,将长度为1的线段分为n等分,每段长为r,则 n r=1,将面积为1的正方形n等分,每一个小正方形的边长为r,则n r2=1,将体积为1的正方体n等分,每一个小正方体的边长为r,则n r3=1,分形维数,从上面的等式中可以看到,幂次r实际就是该几何体的空间维数,可以表示为:n rD=1对上式两边取对数得:显然,D具有维数的概念.,分形维数(续),对Koch曲线而言,分形维数(续),在第n步时,其等长折线段总数为4n,每段的长度为则Koch曲线的

12、维数为:英国海岸线的维数为D=1.25(Mandelbrot),Koch曲线：(4)/(3)=1.2618Cantor集：(2)/(3)=0.6309Sierpinski集：垫片：(3)/(2)=1.5850 地毯：(8)/(3)=1.8927 海绵：(20)/(3)=2.7268,图形迭代生成分形,给定初始图形，依照某一规则 对图形反复作用 得到图形序列 其极限图形是分形，作用规则 称为生成元。,例如，Cantor 集的生成元是Van Koch 雪花曲线的生成元是,其它实例,Minkowski“香肠”,Sierpinski地毯,Hilbert曲线,花草树木(L系统）,生物学家Lindenma

13、yer提出。一个L系统可表示为一个有序的三元素集合：其中：V是一些运动过程集合，w是初始形状，P是生成式。,例如，F表示向前距离d,+表示左转弯a,-表示右转弯，表示压栈，表示出栈。,花草树木(L 系统）,函数迭代产生的分形,用Z表示复数，定义在复平面上的函数f(Z)称为复变函数。任意给定初始复数值，定义复数序列对于什么样的初始值，复数序列收敛或有界？,Julia集 考虑复变函数迭代固定复参数 c，使得迭代序列有界的初值 在复平面上的分布图形称为Julia集，亦即 迭代序列 有界,Julia 集的绘制方法：1、设定初值 p,q,最大的迭代次数 N,图形的大小 a,b,及使用的颜色数 K.2、设

14、定区域的界值 3、将区域 分成 的网格，分别以每个网格点为初值 利用（3）做迭代。如果对所有的 都有，则将象素(i,j)置为黑色。如果从某一步 n 开始，则将象素(i,j)置为颜色 n mod K。,Mandelbrot集 固定初值，使得迭代序列（2）有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界 记 则（2）变为,分形几何的应用,图像，数据压缩方面的研究。如：对某一个静态场景的分形压缩。自然景物的模拟 如：雪花，海岸线，分形山，分形树叶 分形生长模型,对某一个静态场景的分形压缩,原图,分形压缩得到的图形,分形山,分形树叶,分形树叶(续1),分形理论的应用

15、,生物学：肺（人肺的分形维数约为2.17；血管（血管直径分布的分形维数约为2.3），人脑（人脑表面的皱纹的分形维数约为2.73-2.79）；蛋白质。地球物理学：海岸线、河流的干流和支流分布、地震研究。物理学和化学：超导；固体表面；高分子。,天文学，材料科学，计算机图形学，经济学，语言学和情报学,自然界中的分形,股票价格曲线岩石裂缝金属损伤裂缝道路分布神经末梢的分布,自然界中的其他事物,取下一片蕨类植物叶子似乎与整体有某种相似性。England的海岸线从视觉上也感觉有某种自相似性,河流分布图,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,分形欣赏,分形音乐,相关主页：http:/,分形影院,http:/,