曲面的第二基本形式在曲面论中的作用Word格式文档下载.docx

1、 RsinO的第二基本形式.球而方程为 F =RcosOcos%/?cos&sin0,Rsin&,所以有rQ =-/? cos Osin/? cos Ocos 0,0 , fe = -R sin cos（py R sin sin （p. R cos 0于是得E = f9=R2 cos26, F = B爲=0, G = r0rd=R2所以r x 7, = =（cos Ocos （p. cos Osin cp、sin 0J EG _心=-Rcos&cos0-7?sin09O心=/?sin Osin 0,-7? si n& cos0J =-7?cos0-/?sin0-Rsin&,厶=和万= -Rco

2、s 0 M =忌亓=, N = ii = _R因而=-（/? cos& + -/?）3法曲率法曲率设（C）: f = M（5）,v（） = r（5）为曲而S上经过一固定点P的一条曲线.k为曲线（C）在P点的曲率，&为B和斤间的夹角（0II0时，kn = k0 ,法截而朝切而的正向弯曲：IIVO时，气=%,法截而朝切面的负向弯曲：11 = 0时，人=心=0,法曲率和法截线曲率都等于零.例1求抛物面-（。十+方）,）在（0,0）点和方向（血：小,）的法曲率.解抛物而方程为r = x,y,ax2 + by2） / -求得E = rx-rx=,尸=乙呎=0, G = 、片=1L = h 心=a , M

3、 =h = 0 , N = ii F、=b_曲+心2 k 八 j f I dx + dy例2利用法曲率公式kn=y证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、二类基本量成比例. 证明 对于球面 r =R cos vcos u, R cos v sin w, R sin “可求得I = R2 cos2 vdir + R2dv2, II = -/?cos2 vdir 一 Rdv2所以球而上任意一点P（w,v）沿任意方向（d“ :血）的法曲率为/ II _ Ldu2 + IMdudv + Ndv1n T Edu2 +2Fdudv + Gdv1得（RL+E）dJ = 2（RM + F）diMv+（RN +G）d

4、J = 0.又因为对于任一方向（d）成立，故有RL + E = 0（d = ,dv = 0） RM +F = 0（du = dv = ）RN + G = 0（“ = 0, dv = 1）L M N 7梅尼埃（Meusnier）定理从（4）式和（5）式得kn = k cos 0 .若设/? = -, R”=：，R为曲线（C）的曲率半径，R”为曲线（Co）的曲率半径，贝J k 心R = Rr cos 0 .上式的几何意义就是：梅尼埃（Meusnier）立理 曲而曲线（C）在给泄点P的曲率中心C就是与曲线（C）具有共同切线的法截线（C。）上同一点P的曲率中心C。在曲线（C）的密切平面上的投影.帥叫4

5、曲面上的各种曲率主曲率及欧拉（Euler）公式既然曲而上曲线的曲率都可以转化为法曲率来讨论，那么我们有必要对法曲率随方向变化的规律进行研究.龙义在曲而上一点P,法曲率的每一个逗留值称为曲而在这一点的主曲率，而对应主曲率的主方向满足方程（EW - FM）dir + EN-GL）dudv+FN-GM ）（/ = 0.主曲率满足方程（EG-F2）k,-（LG-2MF + NE）kN+（LN-M2） = O.曲而在非脐点处，由于主曲率方程的判别式厶。，所以它有两个不相等的实根，因而曲而上非脐点处总有两个主方向.任脐点处，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向.罗徳里格（Rodrigues）定理 若方向（

6、d）是主方向，当且仅当dn = -kndr ,心为曲面沿（d）的法曲率.|川呵）欧拉（Euler）公式：kn = k、cos2 0 + k2 sin2 0是任意方向（d）与u曲线的夹角.W円欧拉（Euler）公式告诉我们只要知道主方向，任何方向（d ）的法曲率都可以由方向（d ）和u一曲线的夹角0来确泄.而主曲率与法曲率有着下而的关系：命题你円曲而上一点（非脐点）的主曲率是曲而在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小 值.例1确定抛物而Z = a（x2 + y2）在（0,0）点的主曲率.解 抛物而的方程r = x, ”（心2 + /）可求得在（0,0）处E = l, F = 0, G = l；

7、L = 2a, M=0, N = 2a把第一、二基本量代入主曲率方程（7）得（2“-心）解得k=k2= 2a 例2证明在曲而上给定点处，沿相互成为直角的方向的法曲率之为常数2/7.证明设该点相互成直角方向的法曲率分别为&和Rh,则由欧拉公式得kn + k； =&+匕=2H 高斯（Gauss）曲率和平均曲率若人.心为曲而上一点的两个主曲率，则它们的乘积/心称之为曲而在这一点的髙斯曲率 （Gauss）,通常以K表示，它们的平均数+伙+爲）称之为曲而在这一点的平均曲率，通常以H表 示 |2|（P174）根据主曲率的方程（5 ）利用二次方程根与系数的关系得LG 2MF + NE2（EG-F2）因而主曲

8、率的方程也可以表示为底一2冰+K = 0例1求正螺面F cosusinav的高斯曲率和平均曲率.解 由正螺而方程f = u cos v, ii sin v,av得 = 1, F = 0 G = ir +a2L = iiruu = 0 , M =n rltv =_a , N = n 心=0因此“ LG 2MF + NE 0 n2（EG-F2） 2（/+/）例2如果曲而的平均曲率为零，则渐近线网构成正交网.证明因为曲面的平均曲率L G-2MF + NE nH = = 0LG2MF+NE=0设曲而的曲纹坐标网为渐近线网.则于是MF = O,即F = 0（若M=0,则曲而上的点为脐点）所以曲纹坐标网为

9、正交网，即渐近线构成正交网.5曲面上点的类型杜邦（Dupin）指标线为了研究曲而上一点P处法截线的法曲率的关系，在点P的切平而上取点P为原点.坐标曲线在P点的切向量兀和斥为基向量，人为对应方向（）的法曲率为， P为法曲率半径的绝对值,而在点P的杜邦（Dupin）指标线.【叱曲杜邦（Dupin）指标线的方程为Lclx1 + IMdxdy + Ndy2 =1.曲面上点的分类利用杜邦（Dupin）指标线可以对曲面上的点进行分类，同时也可以通过一点的髙斯曲率K来对 曲而上的点进行分类（如表5-2）卩“表52类型LN-F1K杜邦（Dupin）抬标线椭圆点椭圆双曲点双曲线抛物点=0抛物线E F G z脐点

10、：-=石，其中圆点：（厶,M,/V）H（OQO）,平点：L = M =N=0 例 求曲而2/,/,“+上的抛物点的轨迹.解由 r =|v3,w2,u + v| 得E = 4u2 + , F = l, G = 9+lL = 6v M=0, N = 2uvw = 0 或 v = 0所求抛物线的轨迹为斤=,0,*,石=o,i?,i/.6曲面上的特殊曲线和曲线网曲率线及曲率网立义1曲而上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称它为曲率线.ZP98）曲率线的微分方程为dv2 -dudv duE F G =0.L M N立义2两族曲率线构成的曲率线网称为曲率网帥卩勉命题1在不含有脐点的曲而上，任何正规

11、坐标网都可以做成曲纹坐标网.卩99）命题2曲纹坐标网为曲率网的充分必要条件是F = M=0. 1|（P99）例1确左螺旋而X = ucos v, y = Wsin v , z = cv上的曲率线.解 螺旋而方程r = ucos v,u sin v,cv可以求得E = l, F = 0, G = u2+c2L=0, n=由曲率线的方程得dv2 -dudv du11 0 u2 +c2 =0化简得Jv = / 血lu2 +c2积分得in u + yju +c2 =v + c所以曲率线为In u + y/u1 +c2 + v = q , In u + jiC +c2 v = c2.例2若曲而SS?交于

12、一条曲线（C）,而且（C）是&的一条曲率线，贝iJ（C）也是S?的曲率线的充要条件是SS?沿着（C）相交成固泄角.证明 设S, S?两曲面的切向量为片,心，相交曲线（C）:r = r（/,v）是一条曲率线.由罗徳里格（Rodrigues）宦理知 阿=入声.若（C）也是S?的曲率线的充分必要条件为d亓 2 = =clrH,+nA （/r） = 0 + /U 0 =0 n2 =常数o网區|cosZ（芹，爲）=常数oZ（和禺）=4 （常数）O沿（C）曲面3, $2的夹角为定角.渐近曲线及渐近网泄义1曲而S上一固泄点P处，使11=0的方向称之为曲面在点P的渐近方向.ZP93）立义2若曲面S上一条曲线（

13、C）的切方向都是渐近方向，则称苴为渐近曲线.哪）定义3如果曲而上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线，这两族渐近曲线称为曲而上的渐近网.渐近曲线的微分方程为Lehr + IMdudv + Ndv2 = 0.命题1曲而上一条曲线为渐近曲线的充要条件是或者它是一条宜线，或者它在每一点的密切 平而与曲面的切平面重合.1214命题2曲而的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是L = N = O. I，l（w例1求曲而z = xy2的渐近曲线.解由求曲而方程为r=x,y,A）r得E = 1 + y4, F = , G = + 4x2y2L = 0, = 1 + 4=2+）,2 =1 + 心 +）,2由渐近曲

14、线的微分方程得dy = O 与一dx + dy = 0所以渐近曲线为例2证明每一条曲线在它的主法线曲而上是渐近曲线.证明 设曲线（C）:r = r（5）,贝ij主法线曲面S:r = r（5）+ /?（5）对S微分得rs =戸（）+历（s） = 4（s）+/（-炖（s） +疗（s） =（l-/Q）（s）+/z7（s）对f微分得BO曲而S的法向量N = rsxrt = （l-/）7（s）-（s）沿曲线（C）, r = 0,所以那么kn = k cos 0 = k cos Z（2V, cos = 0因此曲线（C）为渐近曲线.共轨网立义 曲而S上两个方向沪与莎，若dhdr=dr5n= 0则称它们为互相

15、共轨的方向.若曲 而S上两族曲线的方向在每一点都是共轨方向，则这两族曲线构成共轨网.命题 曲纹坐标网是共轨网的充要条件是M =0 , 例 证明在曲面z = fM + g（y）上曲线族兀=常数，y=常数构成共辄网.证明 曲而Z = fM + g（y）的曲线族x =常数，若取x = 则这族曲线的方程为z = /（a） + g（y）正是y曲线，同理得常数，为尤一曲线.由曲面方程r=x.yj（x） + g（y）M =0由上而的命题知，曲线族x =常数，y=常数构成共轨网.通过以上对曲而第二基本形式及英相关概念、性质的讨论以及对命题、例题的证明，说明关于 曲而弯曲性的研究是由点到线，由线到网的讨论过程，曲而的第二基本形式无处不在，它贯穿于曲 而弯曲性的始终，并与曲而的第一基本形式共同建构了曲而论的基本定理，从而确定了曲而的形状.