曲面的第二基本形式在曲面论中的作用Word格式文档下载.docx
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RsinO}的第二基本形式.
球而方程为F={RcosOcos%/?
cos&
sin0,Rsin&
},所以有
rQ={-/?
cosOsin®
/?
cosOcos0,0},fe=[-Rsin^cos（py—Rsin^sin（p.Rcos0}
于是得
E=f9^=R2cos26>
F=B•爲=0,G=r0rd=R2
所以
rx7^
==（cosOcos（p.cosOsincp、sin0}
JEG_
心={-Rcos&
cos0-7?
sin09O}
心={/?
sinOsin0,-7?
sin&
cos®
0}
J={-7?
cos0-/?
sin0-Rsin&
},
厶=和•万=-Rcos~0>
M=忌亓=°
N=①•ii=_R
因而
〃=-（/?
cos'
&
+-/?
）・
3法曲率
法曲率
设（C）:
f=[M（5）,v（^）]=r（5）为曲而S上经过一固定点P的一条曲线.k为曲线（C）在P
点的曲率，&
为B和斤间的夹角（0<
6>
<
^）,则有
IEdu2+2Fdudv+Gdv2
对于曲而上的法截线（C（J有
00=±
亓，%=0或兀，cos&
=±
l
所以它的曲率
ko=
n_
于是我们将
k_I1_Lclu2+IMdudv+N小3
"
一厂Edu2+2Fdudv+Gdv2
称之为曲面在一点沿所取方向的法曲率.|2,（Pl58H59>
II>
0时，kn=k0,法截而朝切而的正向弯曲：
IIVO时，气=—%,法截而朝切面的负向弯曲：
11=0时，人=心=0,法曲率和法截线曲率都等于零.
例1求抛物面
-（。
十+方）,）在（0,0）点和方向（血：
小,）的法曲率.
解抛物而方程为
r='
x,y,^ax2+by2）
・/-
求得
E=rx-rx=\,尸=乙呎=0,G=〒、片=1
L=h•心=a,M=h・=0,N=ii・F、、・=b
_〃_曲+〃心2k八jf•
Idx"
+dy^
例2利用法曲率公式kn=y证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、二类基本量成比例.证明对于球面r={Rcosvcosu,Rcosvsinw,Rsin“}可求得
I=R2cos2vdir+R2dv2,II=-/?
cos2vdir一Rdv2
所以球而上任意一点P（w,v）沿任意方向（d“:
血）的法曲率为
/II_Ldu2+IMdudv+Ndv1
n~~T~Edu2+2Fdudv+Gdv1
得
（RL+E）dJ=2（RM+F）diMv+（RN+G）dJ=0.
又因为对于任一方向（d）成立，故有
RL+E=0（d"
=\,dv=0）
RM+F=0（du=dv=\）
RN+G=0（〃“=0,dv=1）
LMN'
7
梅尼埃（Meusnier）定理
从（4）式和（5）式得
kn=kcos0.
若设/?
=-,R”=：
，R为曲线（C）的曲率半径，R”为曲线（Co）的曲率半径，贝Jk心
R=Rrcos0.
上式的几何意义就是：
梅尼埃（Meusnier）立理曲而曲线（C）在给泄点P的曲率中心C就是与曲线（C）具有共同
切线的法截线（C。
）上同一点P的曲率中心C。
在曲线（C）的密切平面上的投影.帥叫
4曲面上的各种曲率
主曲率及欧拉（Euler）公式
既然曲而上曲线的曲率都可以转化为法曲率来讨论，那么我们有必要对法曲率随方向变化的规
律进行研究.
龙义在曲而上一点P,法曲率的每一个逗留值称为曲而在这一点的主曲率，而对应主曲率的
主方向满足方程
（EW-FM）dir+{EN-GL）dudv+{FN-GM）（/'
=0.
主曲率满足方程
（EG-F2）k~,-（LG-2MF+NE）kN+（LN-M2）=O.
曲而在非脐点处，由于主曲率方程的判别式厶〉。
，所以它有两个不相等的实根，因而曲而上
非脐点处总有两个主方向.任脐点处，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向.
罗徳里格（Rodrigues）定理若方向（d）是主方向，当且仅当
dn=-kndr,
心为曲面沿（d）的法曲率.|川呵）
欧拉（Euler）公式：
kn=k、cos20+k2sin20
是任意方向（d）与u—曲线的夹角.W円
欧拉（Euler）公式告诉我们只要知道主方向，任何方向（d）的法曲率都可以由方向（d）和u
一曲线的夹角0来确泄.而主曲率与法曲率有着下而的关系：
命题你円°
曲而上一点（非脐点）的主曲率是曲而在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值.
例1确定抛物而Z=a（x2+y2）在（0,0）点的主曲率.
解抛物而的方程r={x,”（心2+/）}可求得在（0,0）处
E=l,F=0,G=l；
L=2a,M=0,N=2a
把第一、二基本量代入主曲率方程（7）得
（2“-心）—
解得
k}=k2=2a・
例2证明在曲而上给定点处，沿相互成为直角的方向的法曲率之为常数2/7.
证明设该点相互成直角方向的法曲率分别为&
〃和Rh,则由欧拉公式得
kn+k；
=&
+匕=2H・
高斯（Gauss）曲率和平均曲率
若人.心为曲而上一点的两个主曲率，则它们的乘积/心称之为曲而在这一点的髙斯曲率（Gauss）,通常以K表示，它们的平均数+伙］+爲）称之为曲而在这一点的平均曲率，通常以H表示|2|（P174）
根据主曲率的方程（5）利用二次方程根与系数的关系得
LG—2MF+NE
2（EG-F2）
因而主曲率的方程也可以表示为
底・一2冰\「+K=0・
例1求正螺面Fcos\\usinav］的高斯曲率和平均曲率.
解由正螺而方程f={ucosv,iisinv,av}得
£
=1,F=0>
G=ir+a2
L=ii・ruu=0,M=n・rltv=_a,N=n・心=0
因此
“LG—2MF+NE0n
2（EG-F2）2（/+/）
例2如果曲而的平均曲率为零，则渐近线网构成正交网.
证明因为曲面的平均曲率
LG-2MF+NEn
H==0
LG—2MF+NE=0
设曲而的曲纹坐标网为渐近线网.则
于是
M・F=O,即F=0（若M=0,则曲而上的点为脐点）
所以曲纹坐标网为正交网，即渐近线构成正交网.
5曲面上点的类型
杜邦（Dupin）指标线
为了研究曲而上一点P处法截线的法曲率的关系，在点P的切平而上取点P为原点.坐标曲线
在P点的切向量兀和斥为基向量，人为对应方向（〃）的法曲率为，P为法曲率半径的绝对值,
而在点P的杜邦（Dupin）指标线.【叱曲
杜邦（Dupin）指标线的方程为
Lclx1+IMdxdy+Ndy2=±
1.
曲面上点的分类
利用杜邦（Dupin）指标线可以对曲面上的点进行分类，同时也可以通过一点的髙斯曲率K来对曲而上的点进行分类（如表5-2）・卩“⑷
表5—2
类型
LN-F1
K
杜邦（Dupin）抬标线
椭圆点
>
椭圆
双曲点
双曲线
抛物点
=0
抛物线
EFGz
脐点：
-=—=石，其中圆点：
（厶,M,/V）H（OQO）,平点：
L=M=N=0・例求曲而2{/,/,“+"
}上的抛物点的轨迹.
解由r=|v3,w2,u+v|得
E=4u2+\,F=l,G=9『+l
L=6v\M=0,N=\2uv
w=0或v=0
所求抛物线的轨迹为
斤={『,0,*,石={o,i?
i/}.
6曲面上的特殊曲线和曲线网
曲率线及曲率网
立义1曲而上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称它为曲率线.ZP98）
曲率线的微分方程为
dv2-dudvdu'
EFG=0.
LMN
立义2两族曲率线构成的曲率线网称为曲率网•帥卩勉
命题1在不含有脐点的曲而上，任何正规坐标网都可以做成曲纹坐标网.卩"
99）
命题2曲纹坐标网为曲率网的充分必要条件是F=M=0.[1|（P99）
例1确左螺旋而X=ucosv,y=Wsinv,z=cv上的曲率线.
解螺旋而方程r={ucosv,usinv,cv}可以求得
E=l,F=0,G=u2+c2
L=0,n=°
由曲率线的方程得
dv2-dudvdu1
10u2+c2=0
化简得
±
Jv=/血
\lu2+c2
积分得
inu+yju~+c2=±
v+c
所以曲率线为
Inu+y/u1+c2+v=q,Inu+\jiC+c2—v=c2.
例2若曲而S「S?
交于一条曲线（C）,而且（C）是&
的一条曲率线，贝iJ（C）也是S?
的曲率线
的充要条件是S「S?
沿着（C）相交成固泄角.
证明设S],S?
两曲面的切向量为片,心，相交曲线（C）:
r=r（//,v）是一条曲率线.由罗徳
里格（Rodrigues）宦理知阿=入声.
若（C）也是S?
的曲率线的充分必要条件为
d亓2="
=\clrH,+nA（^/r）=0+/U0=0<
^>
n2=常数
o网•區|cosZ（芹，爲）=常数oZ（和禺）=4（常数）
O沿（C）曲面3,$2的夹角为定角.
渐近曲线及渐近网
泄义1曲而S上一固泄点P处，使11=0的方向称之为曲面在点P的渐近方向.ZP93）
立义2若曲面S上一条曲线（C）的切方向都是渐近方向，则称苴为渐近曲线.⑹哪）
定义3如果曲而上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线，这两族渐近曲线称为曲而
上的渐近网.
渐近曲线的微分方程为
Lehr+IMdudv+Ndv2=0.
命题1曲而上一条曲线为渐近曲线的充要条件是或者它是一条宜线，或者它在每一点的密切平而与曲面的切平面重合.1214⑵
命题2曲而的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是L=N=O.I，l（w>
例1求曲而z=xy2的渐近曲线.
解由求曲而方程为r={x,y,A）r}得
E=1+y4,F=,G=\+4x2y2
L=0,"
=1+4=2+）,2'
"
=1+心+）,2
由渐近曲线的微分方程得
dy=O与一dx+—dy=0
所以渐近曲线为
例2证明每一条曲线在它的主法线曲而上是渐近曲线.
证明设曲线（C）:
r=r（5）,贝ij主法线曲面S:
r=r（5）+//?
（5）
对S•微分得
rs=戸（£
）+历（s）=4（s）+/（-炖（s）+疗（s））=（l-/Q）〃（s）+/z7（s）
对f微分得
BO
曲而S的法向量
N=rsxrt=（l-/£
）7（s）-"
（s）
沿曲线（C）,r=0,所以
那么
kn=kcos0=kcosZ（2V,cos—=0
因此曲线（C）为渐近曲线.
共轨网
立义曲而S上两个方向沪与莎，若dhdr=dr5n=0则称它们为互相共轨的方向.若曲而S上两族曲线的方向在每一点都是共轨方向，则这两族曲线构成共轨网.⑶"
⑼
命题曲纹坐标网是共轨网的充要条件是M=0,,,<
P95>
•
例证明在曲面z=fM+g（y）上曲线族兀=常数，y=常数构成共辄网.
证明曲而Z=fM+g（y）的曲线族x=常数，若取x=则这族曲线的方程为
z=/（a）+g（y）
正是y—曲线，同理得常数，为尤一曲线.
由曲面方程
r={x.yj（x）+g（y）}
M=0
由上而的命题知，曲线族x=常数，y=常数构成共轨网.
通过以上对曲而第二基本形式及英相关概念、性质的讨论以及对命题、例题的证明，说明关于曲而弯曲性的研究是由点到线，由线到网的讨论过程，曲而的第二基本形式无处不在，它贯穿于曲而弯曲性的始终，并与曲而的第一基本形式共同建构了曲而论的基本定理，从而确定了曲而的形状.
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