考研数学三真题及全面解析.docx

1、考研数学三真题及全面解析一、填空题(5)设生产函数为 Q AL K , 其中 Q是产出量 , L 是劳动投入量 , K 是资本投入量 ,而A, , 均为大于零的参数 ,则当 Q =1时 K关于 L的弹性为(6)某公司每年的工资总额比上一年增加 20的基础上再追加 2 百万 .若以 Wt 表示第 t 年的工资总额 (单位：百万元 )，则 Wt满足的差分方程是 _k1111k11(7)设矩阵 A , 且秩 (A)=3,则 k =11k1111k(8)设随机变量 X,Y 的数学期望都是 2,方差分别为 1和 4,而相关系数为 0.5.则根据切比雪夫不等式 P X -Y 6 .(9)设总体 X服从正态

2、分布 N(0,0.22),而 X1, X2, X15是来自总体 X的简单随机样本， 则随X2 X2机变量 Y X1 2 X102 服从 _分布，参数为 2 X121 X125二、选择题f (x)(5)设函数 f (x)的导数在 x=a处连续 ,又 lim (x) 1, 则 ( )xax a(A)x = a 是 f (x)的极小值点 .(B)x = a 是 f (x)的极大值点 .(C)(a, f(a)是曲线 y= f(x)的拐点 .(D)x =a不是 f (x)的极值点 , (a, f(a)也不是曲线 y=f(x)的拐点 .12x (x 1),0 x 1(6)设函数 g(x) f (u)du,

3、其中 f(x) 2 ,则 g(x)在区间 (0,2) 内 ( )01(x 1),1 x 23(A) 无界(B)递减 (C) 不连续(D) 连续a11 a12 a13 a14a14 a13 a12 a110001a21 a22 a23 a24a24 a23 a22 a210100(3) 设 A,B, P1a31 a32 a33 a34a34 a33 a32 a310010a41 a42 a43 a44a44 a43 a42 a4110001000P2 0 0 1 0 其中 A 可逆 ,则 B 1等于 ( )2 01000001(A) A 1P1P2 (B) P1A 1P2 (C)P1P2A 1

4、(D) P2A 1P1.A(4)设 A 是 n 阶矩阵， 是 n维列向量 .若秩 T 秩 (A) ，则线性方程组 ( )T0(A) AX =必有无穷多解 (B)AX = 必有惟一解 .AX AX(C) T 0 仅有零解 (D) T 0必有非零解 .0y 0y(5)将一枚硬币重复掷 n 次 ,以 X和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数 ,则 X和 Y的相关系数等于 ( )(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 12、 (本题满分 5 分 )设 u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数 ,又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由下列两式确定xy x x z sint due xy 2和

5、 e dt,求0 t dx四 、 (本题满分 6 分 )x cx已知 f (x)在 (- ,+) 内可导 ,且 lxim f(x) e, lim( )x lim f (x) f(x 1), 求 c的值 .五 、 (本题满分 6 分 )1(x2 y2)求二重积分 y1 xe2 dxdy的值 ,其中 D 是由直线 y=x, y= - 1及 x =1围成的平面D区域六、(本题满分 7 分 )已知抛物线 y px2 qx(其中 p0)在第一象限与直线 x+y=5相切， 且此抛物线与 x轴所围成的平面图形的面积为 S.(1)问 p和 q为何值时， S达到最大 ? (2)求出此最大值 .七、(本题满分 6

6、 分 )1设 f (x)在区间 0,1上连续 ,在 (0,1)内可导 ,且满足 f (1) k 3xe1 xf (x)dx,(k 1).证明：存在 (0,1), 使得 f ( ) 2(1 1) f( ).八、(本题满分 7 分 )已知 fn(x)满足 fn(x) fn(x) xn 1ex (n为正整数 )且 fn(1) e,求函数项级数nfn (x)之和 .i1九、(本题满分 9 分 )11a 1设矩阵 A 1 a 1 , 1 . 已知线性方程组 AX =有解但不唯一 ,试求 :a11 2(1)a的值 ;(2)正交矩阵 Q,使 QT AQ为对角矩阵 .十、 (本题满分 8 分 )设 A为 n阶

7、实对称矩阵，秩 (A)=n ， Aij 是 A aij 中元素 aij 的代数余子式 (i,jnnn n Aij=1,2, , n)，二次型 f (x1,x2, xn) xixj.i1j1An n Aj(1)记 A (x1,x2, xn), 把 f(x1,x2, xn) xixj .写成矩阵形式， 并证明二次i1j1A型 f (X ) 的矩阵为 A 1 ;(2)二次型 g(X) XTAX 与 f(X) 的规范形是否相同？说明理由 .十一、 (本题满分 8 分 )生产线生产的产品成箱包装 ,每箱的重量是随机的 ,假设每箱平均重 50 千克 ,标准差为 5千克 .若用最大载重量为 5 吨的汽车承运

8、 ,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于 0.977. ( (2)=0.977其中, ( x) 是标准正态分布函数 ).十二、 (本题满分 8 分 )设随机变量 X 和 Y 对联和分布是正方形 G= (x,y)|1 x 3,1y 3 上的均匀分布，试求随机变量 U= X- Y 的概率密度 p(u).一、填空题(1)【答案】【使用概念】 设 y f x 在 x处可导， 且 f x 0 ， 则函数 y关于 x的弹性在 x处的值为Ey xyEx yxfxfxQ AL K ，当 Q 1 时， 即 AL K 1 ，有 K A L , 于是 K 关于 L 的弹性为：(2)【

9、答案】 1.2Wt 1 2Wt 表示第 t年的工资总额，则Wt 1 表示第 t 1 年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加 20的基础上再追加 2百万，所以由差分的定义可得 Wt 满足的差分方程是：Wt (1 20 )Wt 1 2 1.2Wt 1 2(3)【答案】 -3方法 1： 由初等变换 (既可作初等行变换，也可作初等列变换 ).不改变矩阵的秩，故对 A进行初等变换k1 A111k11k11k11行 ( 1)分别加到 2,3,4行1k1kk101k 010k10100k12,3,4列分别加到 1列k30k1k1k1可见只有当 k =- 3时， r(A)=3.故 k =- 3.方法

10、2： 由题设 r(A)=3， 故应有四阶矩阵行列式A 0.由1行 ( 1)分别加到 2,3,4行1kk11kk11kk1k32,3,4列分别加到 1列k1k1(k 3)(k 1)3 0,k1解得 k =1 或 k = - 3. 当 k =1 时，1行 ( 1)分别加到 2，3， 4行可知，此时 r(A)=10不符合题意，因此一定有 k =- 3.1(4)【答案】12P X E(X)D(X)2期望和方差的性质： E(X Y) EX EY； D(X Y) DX 2cov( X,Y) DY把 X Y 看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差E(X Y) EX EY 2 2 0又相关系数的定义：

11、(X,Y)cov(X,Y)DX DY则 cov(X,Y) (X,Y) DX DY ( 0.5) 1 4 1D(X Y) DX 2cov( X,Y) DY 1 2 ( 1) 4 3所以由切比雪夫不等式：P X Y 6 P X Y E(X Y) 6D(X Y) 3 16236 12(5)【答案】 F ； (10,5)XY 2 (n2 )1. F 分布的定义： F Y n 其中 X 2(n1)n22. 2分布的定义： 若 Z1, , Zn相互独立， 且都服从标准正态分布nN(0,1)， 则 Zi2 2(n)i1N(0,1)2 Zu3. 正态分布标准化的定义：若 Z N(u, 2) ，则 uXi N(

12、0,22)i 1,2, ,15， 将其标准化有X0X据卡方分布的定义X1 210 22(10), X21115 22(5),X212X11 222X151522相互独立 .故，根据 F 分布的定义YX122 X1202 F(10,5).2 X121 X125故 Y 服从第一个自由度为 10，第二个自由度为 5的 F 分布 .二、选择题(1)【答案】 B【详解】f (x)方法 1： 由 lim 1, 知xax alim f (x) lim f (x) x a lim f (x) lim x a 1 0 0x a x ax a x ax a xa又函数 f (x) 的导数在 x a处连续，根据函数

13、在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以 f (a) 0，于是有f(a) lim f(x) f(a) lim f(x) 1,xa x a xax a即 f (a) 0， f (a) 1 0，根据判定极值的第二充分条件：设函数 f (x)在 x0处具有二阶导数且 f (x0) 0， f (x0) 0，当 f (x0) 0 时，函数 f (x)在 x0处取得极大值 . 知 x a是 f(x) 的极大值点，因此，正确选项为 (B).方法 2： 由 lim f (x) 1, 及极限保号性定理：如果 lim f x A，且 A 0 (或 A 0 )，x a x a x x0那么存在常

14、数 0 ，使得当 0 x x0 时，有 f x 0 (或 f x 0 )，知存在f (x)x a 的去心邻域，在此去心邻域内 (x) 0 .于是推知，在此去心邻域内当 x a 时xaf (x) 0 ；当 x a 时 f (x) 0. 又由条件知 f (x) 在 x a 处连续，由判定极值的第一充分条件：设函数 f (x) 在 x0 处连续，且在 x0 的某去心 领域内可导，若x x0 , x0 时， f (x) 0 ，而 x x0, x0 时， f (x) 0，则 f (x) 在 x0处取(B).得极大值，知 f (a)为 f (x) 的极大值 . 因此，选(2)【答案】 (D)【详解】应先写

15、出 g(x)的表达式 .0 x 1 时，2f(x) (x 1)，有2xg(x) 0x1f u du 0 2(u2 1)du13u612u13 x61x2,1 x 2 时，1f(x) (x 1) ，有31g(x) 0 f (u)du 0 f (u)du 1 f (u)du1 1 2 x10 (u 1)du 1 (u 1)du2313u612u10 1 u206x2131 x16131 x x,62g(x)21 221x1,360x11x2131 lim g(x) lim x x x1 x1 6 22 21 2， lim g(x) lim x 13 x1 x1 3 621 22g(1) 1 1 ，

16、36 3g(x) 在区间 0, 2 内连续，选 (D).所以由函数连续的定义，知 g(x) 在点 x 1 处连续，所以(A)、 (B)不正确， 0 x 1 时，g (x) 1 x3 1 x62121x 0 ，单22调增， 所以 (B)递减错； 同理可以验证当 1 x 2时，21 2g (x) x 13613 x 1 0，5单调增，所以 g 0 g x g 2 ，即 0 g x 与选项 (A) 无界矛盾 .6(3)【答案】 (C)【详解】由所给矩阵 A,B 观察，将 A的 2,3 列互换，再将 A的 1,4列互换， 可得 B . 根据初等矩阵变换的性质，知将 A的 2,3列互换相当于在矩阵A的右

17、侧乘以 E23，将 A的 1,4列互换相当于在矩阵 A的右侧乘以 E14，即AE23E14 B，其中 E231000001001000001E140001010000101000P1 E14,P2 E23，因此 B AP2P1 .Eij有， Eij1 Eij，故 P1 1 P1, P21 P2.B AP2P1 ，及逆矩阵的运算规律，有B 1 AP2P1 1 P1 1P21A 1 P1P2A 1.(4)【答案】 (D)可知由题设， A是 n 阶矩阵， 是 n维列向量， 即 T 是一维行向量，An 1 阶矩阵 . 显然有秩 TTA秩 (A) n n 1, 即系数矩阵 T 非列满秩， 由0 T0齐次

18、线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组0y0 必有非零解 .(5) 【答案】 A【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以 X Y n ，从而 Y n X ，故 DY D(n X) DX由方差的定义： DX EX2 (EX)2， 所以2DY D(n X) E(n X)2 E(n X) E(n2 2nX X2) (n EX)22 22 2 2 2n2 2nEX EX2 n2 2nEX (EX)2 EX2 (EX)2 DX )由协方差的性质： cov( X ,c) 0 (c为常数 )； cov(aX,bY) abcov(X ,Y)cov(X1 X2,Y) c

19、ov(X1,Y) cov(X2,Y)所以 cov(X,Y) cov(X,n X) cov(X,n) cov(X,X) 0 DX DX由相关系数的定义，得 (X,Y) cov( X,Y) DX 1DX DY DX DXf (x) g(t)dtx g f(x) f (x) a根据复合函数求导公式，有(*)du f f dy f dz dx x y dx z dx在 exy xy 2 两边分别对 x 求导，得exy(y xdy) (y xdy) 0, dx dx即 dy y.dx xx zsint在 ex sin tdt 两边分别对 x求导，得0tex sin(x z) (1 dz), 即 dz 1

20、 ex(x z)x z dx dx sin(x z)将其代入 (*) 式，得xdu f f dy f dz f y f 1 e (x z) fdx x y dx z dx x x y sin( x z) z .【详解】因为 lim(1 1 )xx cx lxim( x c)xx c 2c xlim( ) (把 x c写成 x c 2c )x xcx c 2cxlxim( x c 2c)2cxc (把 x写成 x2cc x2cxc)可导，那么又由拉格朗日中值定理，有左右两边同时求极限，于是lim (1x2c )x2cc xc2cxxc( 利用幂函数的性质mn m na (a ) )lime x2

21、cxln (1 x2cc) 2c x cx c (利用对数性质 eln f (x)f (x) )2cxxc lim e xln (1 2c ) xcx2cc(利用对数性质 ln f(x)g(x) g(x)ln f (x)lim 2cx ln (1 2c )2cxx xc e2cx limx xcx exc2cx f(x) lim f(x)(利用 y e 函数的连续性， lim e ex )xxc2clim ln (1 ) 2cxclxim f (x) g(x) lxim f (x) lxim g(x)xc2cx 2c 2lim ln lim (1 ) 2cx xc x xce(利用 y lnx

22、函数的连续性， lximln f (x) lnlxim f(x)2c lne 1 xe (利用 lim(1 ) e)e2c ( ln e 1)又因为 f(x) 在 , 内可导，故在闭区间 x 1,x上连续，在开区间 (x 1,x) 内f (x) f (x 1) f ( )x (x 1) f ( ),x 1 xlim f (x) f (x 1) lim f ( ) e， xxx 1 x ， x 趋于无穷大时，也趋向于无穷大xclim( x c)x lim f (x) f(x 1), 从而 e2cx xc xe ，故 c 12五 【详解】 积分区域如图所示，可以写成1 y 1,y x 1122 1

23、22(x2 y2 ) ( x2 y2 )y1 xe2 dxdy ydxdy xye2 dxdy,D DD11 1 2其中， ydxdy dy ydx y(1 y)dy ;D 1y 1 3六【详解】1 (x2 y2 ) 1 1 1 (x2 y2)xye2 dxdy 1 ydy xe2 dxDy1 1 1 (x2 y2 ) 1 21ydy ye2 d(2x )122 1 21 1 2(x y ) 1 2 2 1 2(1 y ) y21 ydy ye2 d2(x y ) 1(e2 e )dy11 1 (1 y2 )(e21ey2)dy211 1 (1 y2)e2dy2121 ey dy11 (1 y

24、2 ) 1 2 1 1 2 21e2 d21(1 y2) 21 1eydy21 (x2 y2 ) 2y1 xe2 dxdyD3方法 1 ： 依题意知，抛物线如图所示，12(1 y2 ) e21 ey2122q令 y px qx x( px q) 0，求得它与 x轴交点的横坐标为： x1 0, x2 .p根据定积分的定义，面积 S 为qS p px2 qxdxp3q2xx32q3qp 2 (注： x6p0n 1 n1dx x C) n1因直线 x y 5 与抛物线 y px2 qx相切，故它们有唯一公共点 . 由方程组xy5 y px2 qx求其公共解，消去 y ，得 px2 (q 1)x 5

25、0 ，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即22(q 1)2 4 p ( 5) (q 1)2 20p 0,12解得 p (q 1) .20将 p 代入 S 中，得33 3q q 200q6p2 6 1 (q 1)22 3(q 1)420根据函数除法的求导公式，S(q)2200q2(3 q)3(q 1)5(200q3) 3(q 1)4 3(q 1)4 (200q3)3(q 1)42根据驻点的定义，令 S (q) 0，已知有 q 0，得唯一驻点 q 3.1 q 3 时， S (q) 0； q 3时， S (q) 0. 故根据极值判定的第一充分条件知， q 3时， S(q

26、) 取唯一极大值，即最大值 .225从而最大值为 S S(3) 225 .322方法 2： 设抛物线 y px2 qx与直线 x y 5相切的切点坐标为 (x0, y0 )，切点既在抛物线上，也在直线上，于是满足方程有 y0 px02 qx0和 x0 y0 5 .抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的， 即一阶导数值相等 . 在 y px2 qx左右两边关于 x求导， 得 y 2px q ， 在 x y 5左右两边关于 x求导， 得 y 1 ，把切点坐标 (x0, y0 ) 代入，得整理得y x x0 2 px0 q 1 x0q12px0 y0 5 y0 5 x0，将两结果代入 y0 px02

27、 qx0 得q1 2y0 5 x0 5 ( ) px0 qx00 0 2p 0 0q 12 q 1p( q 1)2 q( q 1)2p 2p将 p 代入 S 中，得S(q)根据函数除法的求导公式，S(q)1202 (q 1)2.200q33(q 1)4(200q3) 3(q 1)4 3(q 1)4 (200q3)3(q 1)42200q2(3 q)3(q 1)5根据驻点 (即使得一阶导数为零的点 )的定义，令 S (q) 0，已知有 q 0，得唯一驻点 q 3.当 1 q 3时， S (q) 0; q 3时， S (q) 0; 故根据极值判定的第一充分条件知， q 3 时， S(q) 取唯一极

28、大值，即最大值从而最大值为 S S(3)22532七【详解】将要证的等式中的 换成 x ，移项，并命x1(x) f (x) f (x) x(0,1)内 (x)存在零点 . 将x1f (x) x f (x) 0x看成一个微分方程，用分离变量法求解 . 由df (x) x 1dx f (x) xdf (x ) x 1 1两边积分得 dx ( 1 d)xf(x) x x11利用 dx ln x C 及 x dx x C ，得x n1Cexf (x) ，xCexln f (x) x ln x C1 ln f (x) lnx即 xe x f(x) C ，命 F (x) xe x f (x) . 由1f (1) k 0k xe1 x f (x)dx,( k 1)及积分中值定理 (如果函数 f (x)在闭区间 a,b 上连续， 则在积分区间 a,b上至少存在一个b1点 ，使得 f(x)dx f( )(b a)(a b)，知至少存在一点 (0, ) 0,1 ，使ak1f(1) k k xe1 xf(x)dx e1 f ( )且 F