考研数学三真题及全面解析.docx
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考研数学三真题及全面解析
一、填空题
（5）设生产函数为QALK,其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量,而
A,α,β均为大于零的参数,则当Q=1时K关于L的弹性为
（6）某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万.若以Wt表示第t年的
工资总额（单位：
百万元），则Wt满足的差分方程是___
k111
1k11
（7）设矩阵A,且秩（A）=3,则k=
11k1
111k
（8）设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不
等式PX-Y6.
（9）设总体X服从正态分布N（0,0.22）,而X1,X2,X15是来自总体X的简单随机样本，则随
X2X2
机变量YX12X102服从___分布，参数为
2X121X125
二、选择题
f'（x）
（5）设函数f（x）的导数在x=a处连续,又lim（x）1,则（）
xaxa
（A）x=a是f（x）的极小值点.
（B）x=a是f（x）的极大值点.
（C）（a,f（a））是曲线y=f（x）的拐点.
（D）x=a不是f（x）的极值点,（a,f（a））也不是曲线y=f（x）的拐点.
12
x（x1）,0x1
（6）设函数g（x）f（u）du,其中f（x）2,则g（x）在区间（0,2）内（）
01
（x1）,1x2
3
（A）无界
（B）递减（C）不连续
（D）连续
a11a12a13a14
a14a13a12a11
0001
a21a22a23a24
a24a23a22a21
0100
（3）设A
B
P1
a31a32a33a34
a34a33a32a31
0010
a41a42a43a44
a44a43a42a41
1000
1000
P20010其中A可逆,则B1等于（）
20100
0001
（A）A1P1P2（B）P1A1P2（C）P1P2A1（D）P2A1P1.
A
（4）设A是n阶矩阵，α是n维列向量.若秩T秩（A），则线性方程组（）
T0
（A）AX=α必有无穷多解（B）AX=α必有惟一解.
AXAX
（C）T0仅有零解（D）T0必有非零解.
0y0y
（5）将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关
系数等于（）
（A）-1（B）0（C）1（D）1
2
、（本题满分5分）
设u=f（x,y,z）有连续的一阶偏导数,又函数y=y（x）及z=z（x）分别由下列两式确定
xyxxzsintdu
exy2和edt,求
0tdx
四、（本题满分6分）
xcx
已知f（x）在（-∞,+∞）内可导,且lximf'（x）e,lim（）xlim[f（x）f（x1）],求c的值.
五、（本题满分6分）
1（x2y2）
求二重积分y[1xe2]dxdy的值,其中D是由直线y=x,y=-1及x=1围成的平面
D
区域
六、（本题满分7分）
已知抛物线ypx2qx（其中p<0,q>0）在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x
轴所围成的平面图形的面积为S.
（1）问p和q为何值时，S达到最大?
（2）求出此最大值.
七、（本题满分6分）
1
设f（x）在区间[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且满足f
（1）k3xe1xf（x）dx,（k1）.
证明：
存在ξ∈（0,1）,使得f'（）2（11）f（）.
八、（本题满分7分）
已知fn（x）满足fn'（x）fn（x）xn1ex（n为正整数）且fn
（1）e,求函数项级数
n
fn（x）之和.
i1
九、（本题满分9分）
11a1
设矩阵A1a1,1.已知线性方程组AX=β有解但不唯一,试求:
a112
（1）a的值;
（2）正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.
十、（本题满分8分）
设A为n阶实对称矩阵，秩（A）=n，Aij是Aaij中元素aij的代数余子式（i,j
nn
nnAij
=1,2,⋯,n），二次型f（x1,x2,xn）xixj.
i1j1A
nnAj
（1）记A（x1,x2,xn）,把f（x1,x2,xn）xixj.写成矩阵形式，并证明二次
i1j1A
型f（X）的矩阵为A1;
（2）二次型g（X）XTAX与f（X）的规范形是否相同？
说明理由.
十一、（本题满分8分）
生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为5
千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱
才能保障不超载的概率大于0.977.（Φ
（2）=0.977其中,Φ（x）是标准正态分布函数）.
十二、（本题满分8分）
设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={（x,y）|1≤x≤3,1y≤≤3}上的均匀分布，试
求随机变量U={X-Y}的概率密度p（u）.
一、填空题
（1）【答案】
【使用概念】设yfx在x处可导，且fx0，则函数y关于x的弹性在x处的值为
Eyxy
Exy
x
fx
fx
QALK，当Q1时，即ALK1，有KAL,于是K关于L的弹
性为：
（2）【答案】1.2Wt12
Wt表示第t年的工资总额，则
Wt1表示第t1年的工资总额，再根据每年的工资总
额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得Wt满足的差分方程是：
Wt（120）Wt121.2Wt12
（3）【答案】-3
方法1：
由初等变换（既可作初等行变换，也可作初等列变换）.不改变矩阵的秩，故对A进行
初等变换
k
1A
1
11
k1
1k
11
k1
1行
（1）分别加到2,3,4行
1k
1k
k1
0
1k0
1
0
k1
0
1
0
0
k1
2,3,4列分别加到1列
k3
0
k1
k1
k1
可见只有当k=-3时，r（A）=3.故k=-3.
方法2：
由题设r（A）=3，故应有四阶矩阵行列式
A0.由
1行
（1）分别加到2,3,4行
1k
k1
1k
k1
1k
k1
k3
2,3,4列分别加到1列
k1
k1
（k3）（k1）30,
k1
解得k=1或k=-3.当k=1时，
1行
（1）分别加到2，3，4行
可知，此时r（A）=1
0
不符合题意，因此一定有k=-3.
1
（4）【答案】
12
PXE（X）
D（X）
2
期望和方差的性质：
E（XY）EXEY；D（XY）DX2cov（X,Y）DY
把XY看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差
E（XY）EXEY220
又相关系数的定义：
（X,Y）
cov（X,Y）
DXDY
则cov（X,Y）（X,Y）DXDY（0.5）141
D（XY）DX2cov（X,Y）DY12
（1）43
所以由切比雪夫不等式：
PXY6PXYE（XY）6
D（XY）31
62
3612
（5）【答案】F；（10,5）
X
Y~2（n2）
1.F分布的定义：
FYn其中X~2（n1）
n2
2.2分布的定义：
若Z1,,Zn相互独立，且都服从标准正态分布
n
N（0,1），则Zi2~2（n）
i1
N（0,1）
2Zu
3.正态分布标准化的定义：
若Z~N（u,2），则u
XiN（0,22）i1,2,,15，将其标准化有
X0X
据卡方分布的定义
X12
102
2（10）,X211
152
2（5）,
X212
X112
22
X15
15
2
2
相互独立.
故，根据F分布的定义
Y
X122X1202F（10,5）.
2X121X125
故Y服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F分布.
二、选择题
（1）【答案】[B]
【详解】
f'（x）
方法1：
由lim1,知
xaxa
limf'（x）limf（x）xalimf（x）limxa100
xaxaxaxaxaxa
又函数f（x）的导数在xa处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右
极限等于函数在这一点的值，所以f（a）0，于是有
f"（a）limf'（x）f'（a）limf'（x）1,
xaxaxaxa
即f（a）0，f（a）10，根据判定极值的第二充分条件：
设函数f（x）在x0处
具有二阶导数且f（x0）0，f（x0）0，当f（x0）0时，函数f（x）在x0处取得极
大值.知xa是f（x）的极大值点，因此，正确选项为（B）.
方法2：
由limf'（x）1,及极限保号性定理：
如果limfxA，且A0（或A0），
xaxaxx0
那么存在常数0，使得当0xx0时，有fx0（或fx0），知存在
f'（x）
xa的去心邻域，在此去心邻域内（x）0.于是推知，在此去心邻域内当xa时
xa
f（x）0；当xa时f（x）0.又由条件知f（x）在xa处连续，由判定极值的第
一充分条件：
设函数f（x）在x0处连续，且在x0的某去心领域内可导，若
xx0,x0时，f（x）0，而xx0,x0时，f（x）0，则f（x）在x0处取
（B）.
得极大值，知f（a）为f（x）的极大值.因此，选
（2）【答案】（D）
【详解】应先写出g（x）的表达式.
0x1时，
2
f（x）（x1），有
2
x
g（x）0
x1
fudu02（
u21）du
13
u
6
12u
13x
6
1x
2,
1x2时，
1
f（x）（x1），有
3
1
g（x）0f（u）du0f（u）du1f（u）du
112x1
0（u1）du1（u1）du
23
13
u
6
12u
101u2
06
x2
13
1x1
6
131xx,
62
g（x）
212
21x1,
36
0x1
1x2
131limg（x）limxxx1x162
2212
，limg（x）limx1
3x1x136
2122
g
（1）11，
363
g（x）在区间[0,2]内连续，选（D）.
所以由函数连续的定义，知g（x）在点x1处连续，所以
（A）、（B）不正确，0x1时，
g（x）1x31x
62
121
x0，单
22
调增，所以（B）递减错；同理可以验证当1x2时，
212
g（x）x1
36
1
3x10，
5
单调增，所以g0gxg2，即0gx与选项（A）无界矛盾.
6
（3）【答案】（C）
【详解】由所给矩阵A,B观察，将A的2,3列互换，再将A的1,4列互换，可得B.根据初
等矩阵变换的性质，知将A的2,3列互换相当于在矩阵
A的右侧乘以E23，将A的1,4列互
换相当于在矩阵A的右侧乘以E14，即
AE23E14B，其中E23
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
E14
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
P1E14,P2E23，因此BAP2P1.
Eij有，Eij1Eij，故P11P1,P21P2.
BAP2P1，及逆矩阵的运算规律，有
B1AP2P11P11P21A1P1P2A1.
（4）【答案】（D）
可知
由题设，A是n阶矩阵，是n维列向量，即T是一维行向量，
A
n1阶矩阵.显然有秩T
T
A
秩（A）nn1,即系数矩阵T非列满秩，由
0T0
齐次线性方程组有非零解的充要条件：
系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组
0y
0必有非零解.
（5）【答案】A
【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以XYn，从而YnX，
故DYD（nX）DX
由方差的定义：
DXEX2（EX）2，所以
2
DYD（nX）E（nX）2E（nX）E（n22nXX2）（nEX）2
222222
n22nEXEX2n22nEX（EX）2EX2（EX）2DX）
由协方差的性质：
cov（X,c）0（c为常数）；cov（aX,bY）abcov（X,Y）
cov（X1X2,Y）cov（X1,Y）cov（X2,Y））
所以cov（X,Y）cov（X,nX）cov（X,n）cov（X,X）0DXDX
由相关系数的定义，得（X,Y）cov（X,Y）DX1
DXDYDXDX
f（x）
[g（t）dt]xg[f（x）]f（x）a
根据复合函数求导公式，有
（*）
duffdyfdzdxxydxzdx
在exyxy2两边分别对x求导，得
exy（yxdy）（yxdy）0,dxdx
即dyy.
dxx
xzsint
在exsintdt两边分别对x求导，得
0t
exsin（xz）（1dz）,即dz1ex（xz）
xzdxdxsin（xz）
将其代入（*）式，得
x
duffdyfdzfyf1e（xz）f
dxxydxzdxxxysin（xz）z.
【详解】因为lim（11）x
xcxlxim（xc）
x
xc2cx
lim（）（把xc写成xc2c）
xxc
xc2cx
lxim（xc2c）2cxc（把x写成x2ccx2cxc）
可导，那么又由拉格朗日中值定理，有
左右两边同时求极限，于是
lim（1
x
2c）x2ccxc
2cx
xc
（利用幂函数的性质
mnmn
a（a））
limex
2cx
ln（1x2cc）2cxc
xc（利用对数性质elnf（x）
f（x））
2cx
xclimex
ln（12c）xc
x2cc
（利用对数性质lnf（x）g（x）g（x）lnf（x））
lim2cxln（12c）
2cx
xxce
2cxlim
xxcxe
xc
2c
xf（x）limf（x）
（利用ye函数的连续性，limeex）
x
xc
2c
limln
（1）2c
xc
lximf（x）g（x）lximf（x）lximg（x））
xc
2cx2c2
limlnlim
（1）2c
xxcxxc
e
（利用ylnx函数的连续性，lxim[lnf（x）]ln[lximf（x）]）
2clne1x
e（利用lim
（1）e）
e2c（lne1）
又因为f（x）在,内可导，故在闭区间[x1,x]上连续，在开区间（x1,x）内
f（x）f（x1）f（）[x（x1）]f（）,x1x
lim[f（x）f（x1）]limf'（）e，xx
x1x，x趋于无穷大时，
也趋向于无穷大
xc
lim（xc）xlim[f（x）f（x1）],从而e2c
xxcx
e，故c1
2
五【详解】积分区域如图所示，可以写成
1y1,yx1
122122
（x2y2）（x2y2）
y[1xe2]dxdyydxdyxye2dxdy,
DDD
1112
其中，ydxdydyydxy（1y）dy;
D1y13
六【详解】
1（x2y2）111（x2y2）
xye2dxdy1ydyxe2dx
Dy
111（x2y2）12
1ydyye2d（2x）
12212
112（xy）12212（1y）y2
1ydyye2d[2（xy）]1（e2e）dy
1
11（1y2）
（e2
1
ey2）dy2
1
11（1y2）
e2
dy2
12
1eydy
1
1（1y2）121122
1e2d[21（1y2）]211eydy2
1（x2y2）2
y[1xe2]dxdy
D3
方法1：
依题意知，抛物线如图所示，
1
2（1y2）e2
1ey2
12
2q
令ypxqxx（pxq）0，求得它与x轴交点的横坐标为：
x10,x2.
p
根据定积分的定义，面积S为
q
Sppx2qxdx
p3q2
xx
32
q3
q
p2（注：
x
6p
0
n1n1
dxxC）n1
因直线xy5与抛物线ypx2qx相切，故它们有唯一公共点.由方程组
xy5ypx2qx
求其公共解，消去y，得px2（q1）x50，因为其公共解唯一，则该一元二次方
程只有唯一解，故其判别式必为零，即
22
（q1）24p（5）（q1）220p0,
12
解得p（q1）.
20
将p代入S中，得
333
qq200q
6p26[1（q1）2]23（q1）4
20
根据函数除法的求导公式，
S（q）
2
200q2（3q）
3（q1）5
（200q3）[3（q1）4][3（q1）4]（200q3）
[3（q1）4]2
根据驻点的定义，令S（q）0，已知有q0，得唯一驻点q3.
1q3时，S（q）0；q3时，S（q）0.故根据极值判定的第一充分条
件知，q3时，S（q）取唯一极大值，即最大值.
225
从而最大值为SS（3）225.
32
2
方法2：
设抛物线ypx2qx与直线xy5相切的切点坐标为（x0,y0），切点既在抛物
线上，也在直线上，于是满足方程有y0px02qx0和x0y05.
抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等.在ypx2qx
左右两边关于x求导，得y2pxq，在xy5左右两边关于x求导，得y1，
把切点坐标（x0,y0）代入，得
整理得
yxx02px0q1x0
q1
2p
x0y05y05x0，将两结果代入y0px02qx0得
q12
y05x05（）px0qx0
002p00
q12q1
p（q1）2q（q1）
2p2p
将p代入S中，得
S（q）
根据函数除法的求导公式，
S（q）
1
20
2（q1）2.
200q3
3（q1）4
（200q3）[3（q1）4][3（q1）4]（200q3）
[3（q1）4]2
200q2（3q）
3（q1）5
根据驻点（即使得一阶导数为零的点）的定义，令S（q）0，已知有q0，得唯一
驻点q3.当1q3时，S（q）0;q3时，S（q）0;故根据极值判定的第一充分
条件知，q3时，S（q）取唯一极大值，即最大值
从而最大值为SS（3）
225
32
七【详解】将要证的等式中的换成x，移项，并命
x1
（x）f（x）f（x）x
（0,1）内（x）存在零点.将
x1
f（x）xf（x）0
x
看成一个微分方程，用分离变量法求解.由
df（x）x1
dxf（x）x
df（x）x11
两边积分得dx（1d）x
f（x）xx
11
利用dxlnxC及xdxxC，得
xn1
Cex
f（x），
x
Cex
lnf（x）xlnxC1lnf（x）ln
x
即xexf（x）C，命F（x）xexf（x）.由
1
f
（1）k0kxe1xf（x）dx,（k1）
及积分中值定理（如果函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个
b1
点，使得f（x）dxf（）（ba）（ab）），知至少存在一点（0,）[0,1]，使
ak
1
f
（1）kkxe1xf（x）dxe1f（）
且F
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