高考数学一轮复习专题第5讲 对数与对数函数教案与同步练习.docx

1、 高考数学一轮复习专题第高考数学一轮复习专题第 5 讲讲 对数与对数函数教案与同对数与对数函数教案与同步练习步练习 1对数的概念 一般地，如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a为底 N的对数，记作 xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数 2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)(2)对数的性质 N；logaaN N(a0 且 a1)(3)对数的换底公式 logab(a0，且 a1；c0，且 c1；b0)3对数函数的图象与性

2、质 y=logax a1 0a1 时，y0;当 0 x1 时，y1 时，y0;当 0 x0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数 4.反函数 指数函数 yax 与对数函数 ylogax 互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称【知识拓展】1换底公式的两个重要结论(1)logab；其中 a0且 a1，b0 且 b1，m，nR.2对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故0cd1a0，则 loga(MN)logaMlogaN.()(2)logax logayloga(xy)()(3)函数 ylog2x 及都是对数函数()(4

3、)对数函数 ylogax(a0 且 a1)在(0，)上是增函数()(5)函数 yln与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(6)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()1(教材改编)(log29)(log34)等于()A.B.C2 D4 答案 D 解析(log29)(log34)2log23 2log324.2函数 f(x)lg(|x|1)的大致图象是()答案 B 解析 由函数 f(x)lg(|x|1)的定义域为(，1)(1，)，值域为 R.又当x1 时，函数单调递增，所以只有选项 B正确 3已知则()Aabc Bba

4、c Cacb Dcab 答案 C 解析 log3log331 且3.4，log3log33.4log23.4.log43.61，log43.6log3log43.6.由于 y5x 为增函数，即故 acb.4(2016 成都模拟)函数 y的定义域为 答案(，1 解析 由 log0.5(4x3)0且 4x30，得x1.5(教材改编)若 loga0 且 a1)，则实数 a 的取值范围是 答案(1，)解析 当 0a1时，logalogaa1，0a1 时，loga1.实数 a的取值范围是(1，)题型一 对数的运算 例 1(1)已知 loga2m，loga3n，则 a2mn.(2)计算：.答案(1)12(

5、2)1 解析(1)loga2m，loga3n，am2，an3，a2mn(am)2 an22 312.(2)原式 1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 (1)若 alog43，则 2a2a.(2)(2016 济南模拟)2(lg)2lg lg 5.答案(1)(2)1 解析(1)alog43log223log23log2，.(2)原式2(lg 2)2lg 2 lg 5 lg 2(lg

6、2lg 5)1lg 2 lg 21lg 21.题型二 对数函数的图象及应用 例 2(1)已知函数 yloga(xc)(a，c为常数，其中 a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1 Ba1,0c1 C0a1 D0a1,0c1(2)(2017 合肥月考)当 0 x时，4xlogax，则 a的取值范围是()A(0，)B(，1)C(1，)D(，2)答案(1)D(2)B 解析(1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，0a1，图象与 x 轴的交点在区间(0,1)之间，该函数的图象是由函数 ylogax 的图象向左平移不到 1个单位后得到的，0c1 时不满足条件，当 0a1

7、 时，画出两个函数在(0，上的图象，可知 f()g()，即 2，所以 a的取值范围为(，1)思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 (1)若函数 ylogax(a0 且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()(2)(2016 新疆乌鲁木齐一诊)设 f(x)|ln(x1)|，已知 f(a)f(b)(a0 Bab1 C2ab0 D2ab1 答案(1)B(2)A 解析(1)由题意 ylogax(a0 且 a1)的图象

8、过(3,1)点，可解得 a3.选项 A中，y3x()x，显然图象错误；选项 B中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项C 中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；选项 D中，ylog3(x)的图象与 ylog3x 的图象关于 y轴对称，显然不符，故选 B.(2)作出函数 f(x)|ln(x1)|的图象如图所示，由 f(a)f(b)，得ln(a1)ln(b1)，即 abab0.0abab0，显然1a0，ab40，ab0，故选 A.题型三 对数函数的性质及应用 命题点 1 比较对数值的大小 例 3(2015 天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记 af(lo

9、g0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则 a，b，c的大小关系为()Aabc Bacb Ccab Dcba 答案 C 解析 由 f(x)2|xm|1是偶函数可知 m0，所以 f(x)2|x|1.所以 cf(0)2|0|10，所以 cab.命题点 2 解对数不等式 例 4(1)若 logaf(a)，则实数 a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)答案(1)(0，)(1，)(2)C 解析(1)当 a1时，函数 ylogax 在定义域内为增函数，所以 logalogaa总成立 当 0a1时，函数 ylogax 在定义域内是减函数，由

10、 logalogaa，得 a，故 0a1或1a0且 a1，设 t(x)3ax，则 t(x)3ax 为减函数，x0,2时，t(x)的最小值为 32a，当 x0,2时，f(x)恒有意义，即 x0,2时，3ax0 恒成立 32a0.a0且 a1，a的取值范围为(0,1).(2)t(x)3ax，a0，函数 t(x)为减函数 f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat 为增函数，a1，x1,2时，t(x)的最小值为 32a，f(x)的最大值为 f(1)loga(3a)，即 故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1.思维升华(1)对数值大小比较的主要方法 化同底

11、数后利用函数的单调性；化同真数后利用图象比较；借用中间量(0或 1等)进行估值比较(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题 (1)设函数 f(x)则满足 f(x)2的 x 的取值范围是()A1,2 B0,2 C1，)D0，)(2)若 f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则 a的取值范围为()A1,2)B1,2 C1，)D2，)答案(1)D(2)A 解析(1)当 x1 时，21x2，解得 x0，所以 0 x1；当 x1 时，1log2x2，解得 x，所以 x1.综上可知 x0.(2)令函数 g

12、(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为 xa，要使函数在(，1上递减，则有即 解得 1ab0,0c1，则()Alogaclogbc Blogcalogcb Caccb(2)(2016 河南八市质检)若 a20.3，blog3，clog4cos 100，则()Abca Bbac Cabc Dcab(3)若实数 a，b，c满足 loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是()Aabc Bbac Ccba Dacb 解析(1)对 A：logac，logbc，因为 0c1，所以 lg cb0，所以 lg alg b，但不能确定 lg a、lg b 的正负，所以它们的大小不能确定

13、，所以 A错；对 B：logca，logcb，而 lg alg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以 B正确；对 C：由 yxc在第一象限内是增函数，即可得到 acbc，所以 C 错；对 D：由 ycx 在 R 上为减函数，得 ca201,0log1log3log1，log4cos 100bc，故选 C.(3)由 loga2logb2logc2 的大小关系，可知 a，b，c有如下四种可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cba0，解得 x2 且x3；由求交集得函数的定义域为(2,3)(3,4故选 C.2设 alog37，b21.1，c0.83.1，则()Abac Bcab Ccba

14、Dacb 答案 B 解析 alog37，1a2.c0.83.1，0c1.即 ca0，a1)在区间(，)内恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增区间为()A(0，)B(2，)C(1，)D(，)答案 A 解析 令 Mx2x，当 x(，)时，M(1，)，f(x)0，所以 a1，所以函数 ylogaM 为增函数，又 M(x)2，因此 M 的单调递增区间为(，)又 x2x0，所以 x0 或 x0，则实数 a的取值范围是 答案(，1)解析 当 0a0，即 0a1，解得a，故a1时，函数 f(x)在区间，上是增函数，所以 loga(1a)0，即 1a1，解得 a0 时，f(x)lg lg lg(x)，令

15、t(x)x，x0，则t(x)1，可知当 x(0,1)时，t(x)0，t(x)单调递增，即在 x1处取得最小值为 2.由偶函数的图象关于 y轴对称及复合函数的单调性可知错误，正确，正确，故答案为.11已知函数 f(x)ln，若 f(a)f(b)0，且 0ab1，则 ab 的取值范围是 答案 解析 由题意可知 lnln0，即 ln0，从而1，化简得 ab1，故 aba(1a)a2a2，又 0ab1，0a，故 02k g(x)恒成立，求实数 k 的取值范围 解(1)h(x)(42log2x)log2x2(log2x1)22，因为 x1,4，所以 log2x0,2，故函数 h(x)的值域为0,2(2)

16、由 f(x2)f()k g(x)，得(34log2x)(3log2x)k log2x，令 tlog2x，因为 x1,4，所以 tlog2x0,2，所以(34t)(3t)k t 对一切 t0,2恒成立，当 t0时，kR；当 t(0,2时，k恒成立，即 kln 恒成立，求实数 m 的取值范围 解(1)由0，解得 x1，函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)，当 x(，1)(1，)时，f(x)ln ln ln()1ln f(x)，f(x)ln 是奇函数(2)由于 x2,6时，f(x)ln ln 恒成立，0，x2,6，0m(x1)(7x)在 x2,6上恒成立 令 g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2,6，由二次函数的性质可知，x2,3时函数 g(x)单调递增，x3,6时函数 g(x)单调递减，即 x2,6时，g(x)ming(6)7，0m7.第 5讲 对数与对数函数 一、选择题 1已知实数 alog45，b0，clog30.4，则 a，b，c的大小关系为()Abca Bbac Ccab Dcb1，b01，clog30.40，故 cba.答案 D 2设 f(x)lg(a)是奇函数，则使