1、指数与指数幂的运算优秀教案2.1.1 指数与指数幂的运算(2课时)第一课时 根式教案目标:1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念;2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质;3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教案重点:根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点:根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法:学导式教案过程: (I)复习回顾 引例:填空(1); a0=1(a; (2) (m,nZ); (m,nZ); (nZ)(3); -; (4); (II)讲授新课1.引入:(1)填空(1),(2)复习了整数指数幂的概念和运算性质(其中:因为可看作,所以可以归入性质;又因
2、为可看作,所以可以归入性质(nZ)),这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂,先要学习n次根式()的概念。(2)填空(3),(4)复习了平方根、立方根这两个概念。如:22=4 ,(-2)2=4 2,-2叫4的平方根23=8 2叫8的立方根;(-2)3=-8-2叫-8的立方根25=32 2叫32的5次方根 2n=a 2叫a的n次方根分析:若22=4,则2叫4的平方根;若23=8,2叫做8的立方根;若25=32,则2叫做32的5次方根,类似地,若2n=a,则2叫a的n次方根。由此,可有:2.n次方根的定义:(板书)一般地,如果,那么x叫做a的n次方根( th root),其
3、中,且。 问题1:n次方根的定义给出了,x如何用a表示呢?是否正确?分析过程:例1根据n次方根的概念,分别求出27的3次方根,-32的5次方根,a6的3次方根。(要求完整地叙述求解过程)解:因为33=27,所以3是27的3次方根;因为=-32,所以-2是-32的5次方根;因为,所以a2是a6的3次方根。结论1:当n为奇数时(跟立方根一样),有下列性质:正数的n次方根是正数,负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时,a的n次方根可表示为。从而有:,例2根据n次方根的概念,分别求出16的4次方根,-81的4次方根。解:因为,所以2和-2是16的4次方根;因为任何实数的4次方都是非负数
4、,不会等于-81,所以-81没有4次方根。结论2:当n为偶数时(跟平方根一样),有下列性质:正数的n次方根有两个且互为相反数,负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为:其中表示a的正的n次方根,表示a的负的n次方根。例3根据n次方根的概念,分别求出0的3次方根,0的4次方根。解:因为不论n为奇数,还是偶数,都有0n=0,所以0的3次方根,0的4次方根均为0。结论3:0的n次方根是0,记作当a=0时也有意义。这样,可在实数围,得到n次方根的性质:3n次方根的性质:(板书)其中 叫根式,n叫根指数,a叫被开方数。注意:根式是n次方根的一种表示形式,并且,由n次方根的定义,可得到根式的运算性质
5、。4.根式运算性质:(板书),即一个数先开方,再乘方(同次),结果仍为被开方数。问题2:若对一个数先乘方,再开方(同次),结果又是什么?例4:求,由所得结果,可有:(板书)性质的推导如下:性质推导过程:当n为奇数时,当n为偶数时,综上所述,可知:性质推导过程: 当n为奇数时,由n次方根定义得:当n为偶数时,由n次方根定义得:则综上所述:注意:性质有一定变化,大家应重点掌握。(III)例题讲解例1求下列各式的值: (4)(ab)注意:根指数n为奇数的题目较易处理,要侧重于根指数n为偶数的运算。(III)课堂练习:求下列各式的值(1) (2) (3) (4)(IV)课时小结通过本节学习,大家要能在
6、理解根式概念的基础上,正确运用根式的运算性质解题。(V)课后作业1、书面作业:a.求下列各式的值b.书P82习题2.1 A组题第1题。2、预习作业:a.预习容:课本P59P62。b.预习提纲:(1)根式与分数指数幂有何关系?(2)整数指数幂运算性质推广后有何变化?第二课时 分数指数幂教案目标:(一)教案知识点1.分数指数幂的概念.2.有理指数幂的运算性质.( 二)能力训练要求1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.(三)德育渗透目标培养学生用联系观点看问题.教案重点:1.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质.教案难点:对分数指数幂概念的理
7、解.1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程,注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步将其推广到实数围,但无须进行严格的推证,由此让学生体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法.教案过程:().复习回顾师上一节课,我们一起复习了整数指数幂的运算性质,并学习了根式的运算性质.整数指数幂运算性质(1)aman=am+n(m,nZ) 根式运算性质(2)(am)n=amn (m,nZ) (3)(ab)n=anbn(nZ) 师对于整数指数幂运算性质(2),当a0,m,n是分数时也成立.(说明:对于这一点,课本采用了假设性质(2)对a0,m,
8、n是分数也成立这种方法,我认为不妨先推广了性质(2),为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备.)师对于根式的运算性质,大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性.接下来,我们来看几个例子.例子:当a0时师上述推导过程主要利用了根式的运算性质,例子、用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此,我们可以得出正分数指数幂的意义.().讲授新课1.正数的正分数指数幂的意义 (a0,m,nN*,且n1)师大家要注意两点,一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外,我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.(1) (a0,m,nN
9、*,且n1)(2)0的正分数指数幂等于0.(3)0的负分数指数幂无意义.2.规定(板书)师规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a0时,整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.(1)aras=ar+s (a0,r,sQ)(2)(ar)s=ars (a0,r,sQ)(3)(ab)r=arbr (a0,b0,rQ)3.有理指数幂的运算性质(板书)师说明:若a0,P是一个无理数,则aP表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关概念和证明在本书从略. 这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.
10、接下来,大家通过例题来熟悉一下本节的容.例2 求值: .4.例题讲解分析:此题主要运用有理指数幂的运算性质.解:例3用分数指数幂的形式表示下列各式: (式中a0)解:师为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质,我们来做一下练习题.课堂练习课本P51练习1.用根式的形式表示下列各式(a)解: (1) (2)()(3) (4)() (5)() (6)2.用分数指数幂表示下列各式:解:(1)(2)(3)(4)()(5) (6)3.求下列各式的值:(1);(2);(3);(4)(5); (6)解:(1) (2) (3)(4) (5) (6) 要求:学生板演练习,做完后老师讲评.().课
11、时小结师通过本节学习,要求大家理解分数指数幂的意义,掌握分数指数幂与根式的互化,熟练运用有理指数幂的运算性质.().课后作业2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1) (2) (3) (4) (5) (6)(一)1.课本P53练习题解:(1)(2) (3) (4)(5)()3.求下列各式的值:(1) ; (2); (3) ;(4)解:()(2) (3) (4)4.用计算器求值(保留4位有效数字)(1) ;(2);(3);(4);(5) ;(6)25解:(1)1.710(2)46.88(3)0.1170(4)28.90(5)2.881(6)0.08735板书设计 分数指数幂 1.正分数指数幂意义 3.有理指数幂性质(0,N*,) (1)(2)() (0,Q)(3)()(0,0,)2.规定 4.例题(1) 例1(,N*,), 例2(2)0的正分数指数幂等于0, 5.学生练习(3)0的负分数指数幂无意义.
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