指数与指数幂的运算优秀教案.docx

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指数与指数幂的运算优秀教案

2.1.1指数与指数幂的运算（2课时）

第一课时根式

教案目标：

1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；

2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；

3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教案重点：

根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质

教案难点：

根式概念和分数指数幂概念的理解

教案方法：

学导式

教案过程：

（I）复习回顾

引例：

填空

（1）；a0=1（a；

（2）（m,n∈Z）；（m,n∈Z）；（n∈Z）

（3）；-；

（4）；

（II）讲授新课

1.引入：

（1）填空

（1），

（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：

因为可看作,所以可以归入性质；又因为可看作，所以可以归入性质（n∈Z））,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。

为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（）的概念。

（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。

如：

22=4，（-2）2=42，-2叫4的平方根

23=82叫8的立方根；（-2）3=-8-2叫-8的立方根

25=322叫32的5次方根…2n=a2叫a的n次方根

分析：

若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方根。

由此，可有：

2.n次方根的定义：

（板书）

一般地，如果，那么x叫做a的n次方根（throot）,其中，且。

问题1：

n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？

是否正确？

分析过程：

例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。

（要求完整地叙述求解过程）

解：

因为33=27，所以3是27的3次方根；因为=-32，所以-2是-32的5次方根；

因为，所以a2是a6的3次方根。

结论1：

当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：

正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。

此时，a的n次方根可表示为。

从而有：

，，

例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。

解：

因为，，所以2和-2是16的4次方根；

因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。

结论2：

当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：

正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。

此时正数a的n次方根可表示为：

其中表示a的正的n次方根，表示a的负的n次方根。

例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。

解：

因为不论n为奇数，还是偶数，都有0n=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。

结论3：

0的n次方根是0，记作当a=0时也有意义。

这样，可在实数围，得到n次方根的性质：

3n次方根的性质：

（板书）

其中叫根式，n叫根指数，a叫被

开方数。

注意：

根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：

（板书）

①，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

问题2：

若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？

例4：

求，，，

由所得结果，可有：

（板书）

②

性质的推导如下：

性质①推导过程：

当n为奇数时，

当n为偶数时，

综上所述，可知：

性质②推导过程：

当n为奇数时，由n次方根定义得：

当n为偶数时，由n次方根定义得：

则

综上所述：

注意：

性质②有一定变化，大家应重点掌握。

（III）例题讲解

例1．求下列各式的值：

（4）（a>b）

注意：

根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。

（III）课堂练习：

求下列各式的值

（1）

（2）（3）（4）

（IV）课时小结

通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

（V）课后作业

1、书面作业：

a.求下列各式的值

b.书P82习题2.1A组题第1题。

2、预习作业：

a.预习容：

课本P59—P62。

b.预习提纲：

（1）根式与分数指数幂有何关系？

（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？

第二课时分数指数幂

教案目标：

（一）教案知识点

1.分数指数幂的概念.

2.有理指数幂的运算性质.

（二）能力训练要求

1.理解分数指数幂的概念.

2.掌握有理指数幂的运算性质.

3.会对根式、分数指数幂进行互化.

（三）德育渗透目标

培养学生用联系观点看问题.

教案重点：

1.分数指数幂的概念.

2.分数指数幂的运算性质.

教案难点：

对分数指数幂概念的理解.

1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.

2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数围，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.

教案过程：

（Ⅰ）.复习回顾

［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质.

整数指数幂运算性质

（1）am·an=am+n（m,n∈Z）根式运算性质

（2）（am）n=am·n（m,n∈Z）

（3）（a·b）n=an·bn（n∈Z）

［师］对于整数指数幂运算性质

（2），当a＞0，m，n是分数时也成立.

（说明：

对于这一点，课本采用了假设性质

（2）对a＞0，m,n是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质

（2），为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备.）

［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性.

接下来，我们来看几个例子.

①

②

③

④

例子：

当a＞0时

［师］上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质

（2）.因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.

（Ⅱ）.讲授新课

1.正数的正分数指数幂的意义

（a＞0,m,n∈N*,且n＞1）

［师］大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.

另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.

（1）（a＞0，m,n∈N*,且n＞1）

（2）0的正分数指数幂等于0.

（3）0的负分数指数幂无意义.

2.规定（板书）

［师］规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.

（1）ar·as=ar+s（a＞0,r,s∈Q）

（2）（ar）s=ar·s（a＞0,r,s∈Q）

（3）（a·b）r=ar·br（a＞0,b＞0,r∈Q）

3.有理指数幂的运算性质（板书）

［师］说明：

若a＞0，P是一个无理数，则aP表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.

这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉一下本节的容.

例2求值：

.

4.例题讲解

分析：

此题主要运用有理指数幂的运算性质.

解：

例3用分数指数幂的形式表示下列各式：

（式中a＞0）

解：

［师］为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来做一下练习题.

Ⅲ.课堂练习

课本P51练习

1.用根式的形式表示下列各式（a＞０）

解：

（1）

（2）（ａ＋ｂ＞０）

（3）（4）（ｍ＞ｎ）

（5）（ｐ＞０）（6）

2.用分数指数幂表示下列各式：

解：

（1）

（2）

（3）

（4）＝（ｍ－ｎ）２

（5）

（6）

3.求下列各式的值：

（1）；

（2）；（3）；（4）

（5）；（6）

解：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

要求：

学生板演练习，做完后老师讲评.

（Ⅳ）.课时小结

［师］通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.

（Ⅴ）.课后作业

2.用分数指数幂表示下列分式（其中各式字母均为正数）

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

（一）1.课本P53练习题

解：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（６）

3.求下列各式的值：

（1）；

（2）；（3）；（4）

解：

（１）

（2）

（3）

（4）

4.用计算器求值（保留4位有效数字）

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；（6）25·

解：

（1）＝1.710

（2）＝46.88（3）＝0.1170

（4）＝28.90（5）＝2.881（6）＝0.08735

板书设计

分数指数幂

1.正分数指数幂意义3.有理指数幂性质

（ａ＞0，ｍ，ｎ∈N*，ｎ＞１）

（1）ａｒ·ａｓ＝ａｒ＋ｓ

（2）（ａｒ）ｓ＝ａｒｓ

（ａ＞0，ｒ，ｓ∈Q）

（3）（ａ·ｂ）ｒ＝ａｒ·ａｒ

（ａ＞0，ｂ＞0，ｒ∈Ｑ）

2.规定4.例题

（1）［例1］

（ａ＞０，ｍ，ｎ∈N*，ｎ＞１），［例2］

（2）0的正分数指数幂等于0，5.学生练习

（3）0的负分数指数幂无意义.