微分几何测试题集锦含答案Word格式.docx

1、0 B、?0 C、?0 D、? 三计算与证明题：（22题14分，其余各9分） 21、已知圆柱螺线r?cost,sint,t?，试求0,1, 在点?的切线和法平面。 曲率和挠率。 22、对于圆柱面?:cos?sin?,u? ?的第一、第二基本形式； 2 ?在任意点处沿任意方向的法曲率； ?在任意点的高斯曲率和平均曲率； 试证?的坐标曲线是曲率线。 微分几何测试题（二） 一单项选择题（210=20分） 1若向量函数r?r（t）的终点在通过原点的一条直线上，则 （ ） A r?（t）是定长的； B. r?（t）是定向的； C r?（t）?1； D. r'2. 2对于向量函数r（t），若r（t

2、）?（t），则（ ） Ar（t）是定长向量； B.r?（t）定长向量； Cr（t）是定向向量； D.r?（t）是定向向量. 3设a,b均为非零向量，且ab?0，则（ ） .a,b线性相关； .a,b线性无关； .a可以由b线性表示； D.b可以a由线性表示. 4挠率?0,曲率k?2的曲线是（ ） A 半径为4的圆； B.半径为的圆； 4 3 C半径为2的圆； D.半径为的圆. 5空间曲线的形状由（ ）决定 A 由曲率和挠率； B. 仅由曲率； C 仅由挠率； D. 由参数的选取. 6曲率是常数的曲线（ ） A 一定是直线； B. 一定是圆； C 一定是球面上的曲线； .答案A,B,C都不 对.

3、 7设S 是球面， 则（ ） A S上每一点是双曲点； B. S上每一点是抛物点； C S上的圆的?指向球心； D. S上的测地线的?指 向球心. 8若曲面S在每一点的高斯曲率为，则它可以与半径为（ ） 的球面贴合 A ； B. 2； C. ； D. 4. 9圆柱螺线r?acost,asint,bt 在任一点的切线与z轴的夹角?（ ） 12141214 A 为；90? B. 0?； C. 与t有关； D. 与b 有关. 10设非直线的曲线C是曲面S: r?r（u,v）上的测地线，则有 A. C在每一点?n; B. C在每一点?n; C. C在每一点? D. C在每一点?n. 一 判断题（2 1

4、向量函数r?t?满足?dt,r?,r?0，则必有一常向量a， 满足ar?. 2如果曲线 C:的所有向径共面，则r?必与某一固 定向量垂直. 3曲线的形状只由曲率和挠率决定. 4直纹面上的直母线一定是曲率线. （ ） 5若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为r?0?R?的 圆C相切，则C是S上的测地线. 6如果两个曲面S1与S2之间的一个对应关系， 使得它们在 对应点有相同的高斯曲率，则S1与S2 等距等价. 7设曲面S：r=r?u,v?, 如果L:E?M:F,则v线是曲率线. 5 8设曲面S：，如果L:N?E:F:G，则曲面上的 所有曲线都是曲率线. 9 曲面上任意两点的连线中，测地线段最短

5、. 10球面上的曲率线是大圆. 二 计算题（104=40分） 1求曲线C：r=?at,bt2,ct3?上在t?0处的密切面方程. 2已知曲线C：s?（s是弧长参数）的曲率和挠率分别是? 和?,且?是不为零的常数，求曲线C：（s）?（s）ds的?1 曲率和挠率. 3求曲面 z?xy2上的渐近线. 4求圆环面 S：r= （b+acos?）cos? , （b+acos?）sin? , a sin? ,0? 上的椭圆点，双曲点和抛物点. 6 三 证明题（102=20分） 1证明：如果曲线的所有?都经过一个固定点，则曲线是以 固定点为圆心的圆. 2 设C是半径为R的球面上半径为r?的圆，?g是曲 率.证

6、明： g?211?. r2R2 B 一 单项选择题（2 1设a?1,0?3,b?2,x,6， 若ab 则 （ ） A x? B. x?2； C. x?0； D. x为任意实数. 2设曲线C: 满足 r?1 则 （ ） A. C是单位球面上的曲线； B. t是C的弧长参数； C. 变向量r（t）具有固定方向； D. 变向量r（t）具有固定长度. 3若向量函数r?r（t）对于任意t 都有r（t）?1. 则 A. r（t）是定向的向量； B. r（t）是定长的向 7 12 量； C. r? D. r?0. 4可展曲面上每一点都是 （ ） A. 椭圆点； B. 抛物点； C. 圆点； D. 平点. 5

7、若曲线C的曲率k?2,?0 则（ ） A. C是半径为2的圆; B. C是半径为的圆; C. C是半径为2的圆; D. C是半径为 圆. 6曲面上与u线正交的曲线满足 （ ） A. Ldu?Mdv?0; B. Edu?Fdv? C. Ldu?Ndv? D. Edu?Gdv? 7设曲面S上一条非直线的曲线C是S上的测地线，则 A C在每一点，?n； B. C在每一点,?n； C C在每一点，? D. C在每一点， ? 8在曲面S:r（u,v）上，u线的微分方程是（ ） A dudv? B. du? C dv? D. du?dv. 8 1212的 9若两个曲面等距等价，则（ ） A.它们有相同的第

8、一基本形式； B.它们有相同的第二基本形式； C它们有相同的第三基本形式； D.把其中一个经过连续的弯曲变形，就能和另一个贴合. 10若曲面S:r（u,v）上任一点，都有F?M? A参数曲线网是渐近线网； B.参数曲线网是曲率线网； C参数曲线网是测地线网； D.答案A,B,C都不对. 二 判断题（2 1.向量函数r?0, 则必有一常向量a，满足ar?.（ ）的所有向径共面，则C就在通过原点的一个平面上.（ ） 3. 曲线 C： r=r?与曲线C：在s?s0处有相同的 曲 率 . 9 （ ） 4. 曲率是常数2的曲线一定是半径为的圆. （ ） 5. 设S是平面， 则S上每一点，都有?1=?2=

9、0. 6. 7. 可展曲面上没有双曲点球面上的圆的?12指向球心. . 8. 高斯曲率K0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面. 9. 若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为的圆C相切，则S在C上每一点，沿着C的方向，都有，?n =r. （ ） 10. 两个常高斯曲率曲面一定等距等价. （ ） 10 三 计算题（10 1. 求曲线C：r= 挠率. 2. 设曲线C： r=?acost,asint,?f?dt?是平面曲线， 求f（x）. 3. 求圆柱面 r=?Rcosu,Rsinu,v?在?u0,v0?处的切平面方程， 并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面. 4. 求曲面S：a?u?v?,b?u

10、-v?,uv?0,b?的高斯曲率. 四 证明题（10如果一条曲线C：r=r（s） （s是弧长参数）的所 有从切面都经过一个固定点，则C 的挠率和曲率之比是s的一次函数. 2?1?证明：可展曲面上的直母线是曲率线. 5812cost, ?sint, cost的曲率和131313如果可展曲面上有两族直母线，则是平 面. 微分几何测试题（三） r（t）具有固定方向的充要条件是_。 挠率_的曲线其副法向量是常矢。 曲线r?r（t）在P（t0）点的主法向量是?，则曲线在P点的从切面方程是 11 。 如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向 。 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件

11、是_。 6曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 _。 7半径为R的球面的高斯曲率K= . 8. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的_恒等于零。 9. 曲面上坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。 10在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 ?。 1、圆柱螺线x?cost,y?sint,z?t在点?1,0,0?的切线为_。 x?1yz? B、y?z?0 011 D、y?0 C、100A、 2、曲面的三个基本形式之间的关系为_。 A、+2H+K=0 B、-2H+K=0 C、-2K+H=0 D、-2H-K=0 3、在直纹面r?a（u）?vb（u）（b（u）为单位向量）中，导线

12、a（u）是腰曲线 的充要条件是_。 A、a?b?0 B、a?/b? C、a?0 D、a/b 4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_。 A、M = 0 B、L = N = 0 C、M = F = 0 D、F = 0 5、下列曲面中_不是可展曲面。 A、柱面 B、锥面 C、一条曲线的切线曲面 D、正螺面 6、曲面上， 不是曲面的内蕴量。 A、两曲线的夹角 B、曲线的弧长 C、曲面域的面积 D、在一点沿一方向的法曲率 7、曲面r?r（s,t），n是其单位法向量， 是不正确的。 A、N = rtt?n B、N = ?rt?nt C、N = rt?nt D、N = n?rtt 9、球面r?（Rcos?,

13、Rcos?,Rsin?）的坐标曲线构不成 。 12 A、正交的渐近网 B、共轭网 C、曲率线网 D、半测地坐标网 10、曲线r?r（s）在P点的基本向量是?,曲率为k（s） ,挠率为?（s），则?（s）。 B、? C、? D、? 三计算题：（1、2题各10分，3题8分，共26 分） 1、求螺线x?t上点?的曲率和挠率。 2、确定螺旋面x?ucosv,y?usinv,z?cv上的曲率线和在任一点的高斯 曲率。 四证明题：（每小题8分，共24分）如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。 微分几何测试题（四） 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、变矢（t）满足?&的充要条件是

14、_。 2、曲线（C）上P点处的三个基本向量为、?，则过P点由和?确定的平面叫曲线（C）在P点的_。 3、若曲线在各点的曲率_，则曲线是直线。 4、曲线穿过_和密切平面，但从不穿过_。 5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向_。 6、两个曲面间的变换是_的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第一基本形式。 7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的_。 9、曲面的高斯曲率为K，测地曲率为可kg ，G是单连通曲面域，G的边界?G是一条光滑闭曲线，则?Kd?_ G? 二、选择题（每小题3分，共30分） 11、若曲面S上曲线（C）是平面曲线，则一定有_恒

15、等于零。 13 A、法曲率k n B、挠率 C、测地曲率k g D、曲率k 12、在圆柱面上，圆柱螺线是_。 A、平面曲线 B、曲率线 C、测地线 D、渐近线 13在椭圆抛物面上，高斯曲率K_。 A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、不确定 14、设、?是曲线（C）在一点的三个基本向量，则?=_（k,分别表示曲线在该点的曲率和挠率）。 A、k B、? C、 D、 15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_。 A、F= 0 B、M = 0 C、F = M = 0 D、L = N = 0 16、曲面上的直线不一定是_。 A、渐近线 B、曲率线 C、测地线 D、法截线 19、下列直纹曲面中，

16、_是可展曲面。 A、锥面 B、单叶双曲面 C、双曲抛物面 D、挠曲线的主法线曲面 三、解答与证明题（22题、24题各9分，其余各8分） 21、求曲线r（t） = t , t , e 在t = 0点的密切平面和主法线。 22、求曲线r（t） = a （1sint） , a （1cost） ，b t 的曲率和挠率。 23、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这条曲线是直线或平面曲线。 2 2 24、求抛物面z = a （ x+ y） 在 （ 0 ,0 ） 点的高斯曲率和平均曲率。 25、证明挠曲线（C）的主法线曲面不是可展曲面。 2 t 微分几何试题（五） 变矢r（t）具有固定方向的充要

17、条件是_。 设曲线（C）的参数表示是r?r（s），s是弧长，则?r_。 14 r叫作曲线（C）的 如果曲线在各点的曲率_，则曲线是直线。r（t）在P点有挠率?=3，则曲线r?r（t）在P点附近的形状是_。 一般螺线的切线和一固定方向成固定角，而它的副法线与这个固定方向_。 两个曲面之间的变换是_的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第基本形式。 曲面的第一类基本量是E、F、G，第二类基本量是L、M、N。则曲面上曲率线的微分方程是 。 在曲面上非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外，曲线的_重合于曲面的法线。 曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的_。 曲面上连接两点P、

18、Q的_是曲面上连接P、Q的曲线中弧长最短的曲线。 二选择填空题： 11、若曲面S上曲线（C）恒有法曲率?n=0，则曲线一定是曲面上的_。 A、渐近曲线 B、平面曲线 C、曲率线 D、测地线 12、在圆柱面上，圆柱螺线是_。 13、在曲面上的双曲点，LN?M_。 14、设?=_。（k,?分别表示曲线在该点的曲率和挠率） 15、正螺面r?ucosv,usinv,bv的第二基本形式是_。 A 、?222 B 222?0 22C、du?（u?b）dv D、（u?b）du?dv 16、曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_。 15 2 A、M=0 B、F=M=0 C、F=0 D、L=N=0 17、若曲面

19、在其上某点处的两个主曲率分别为2，1，则这点是曲面的_。 A、椭圆点 B、双曲点 C、抛物点 D、脐点 18、曲面在一点的单位法向量是n，则在同一点的方向dr是主方向的充要条件是_。 A、dn?dr?0 B、存在方向?r使dn? C、存在方向?r使?n?0 D、drdndr 19、在下列直纹曲面中，_是可展曲面。 A、双曲抛物面 B、挠曲线的副法线曲面 C、挠曲面的切线曲面 D、单叶双曲面 20、一条有拐点的曲线绕一直线旋转所得旋转曲面上的点是_。 A、椭圆点 B、抛物点 C、双曲点 D、A或B或C 三解答与证明题（21、22各9分，23-26各8分） 21、求圆柱螺线x?acost,y?asint,z?t在点（a,0,0）处的密切平面和主法线。 22、求曲线r（t）?a（1?sint）,a（1?cost）,bt?如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。 24、求抛物面z?a（x?y）在（0,0）点的高斯曲率和平均曲率。 25、证明曲线（C）的副法线曲面是可展曲面的充要条件是曲线（C）为平面曲 线。 26、求证旋转曲面r?（u）cos?（u）sin?（u）?的径线是测地线。（其 中?0）。 22 16