微分几何测试题集锦含答案Word格式.docx
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0B、?
0C、?
0D、?
三．计算与证明题：
（22题14分，其余各9分）
21、已知圆柱螺线r?
cost,sint,t?
，试求
0,1,⑴在点?
的切线和法平面。
⑵曲率和挠率。
22、对于圆柱面?
:
cos?
sin?
u?
⑴?
的第一、第二基本形式；
2
⑵?
在任意点处沿任意方向的法曲率；
⑶?
在任意点的高斯曲率和平均曲率；
⑷试证?
的坐标曲线是曲率线。
《微分几何》测试题
（二）
一．单项选择题（2×
10=20分）
1．若向量函数r?
r（t）的终点在通过原点的一条直线上，则
（）
A．r?
（t）是定长的；
B.r?
（t）是定向的；
C．r?
（t）?
1；
D.r&
#39;
2.
2．对于向量函数r（t），若r（t）?
（t），则（）
A．r（t）是定长向量；
B.r?
（t）定长向量；
C．r（t）是定向向量；
D.r?
（t）是定向向量.
3．设a,b均为非零向量，且ab?
0，则（）
Ａ.a,b线性相关；
Ｂ.a,b线性无关；
Ｃ.a可以由b线性表示；
D.b可以a由线性表示.
4．挠率?
0,曲率k?
2的曲线是（）
A．半径为4的圆；
B.半径为的圆；
4
3
C．半径为2的圆；
D.半径为的圆.
5．空间曲线的形状由（）决定
A．由曲率和挠率；
B.仅由曲率；
C．仅由挠率；
D.由参数的选取.
6．曲率是常数的曲线（）
A．一定是直线；
B.一定是圆；
C．一定是球面上的曲线；
.答案A,B,C都不
对.
7．设S是球面，则（）
A．S上每一点是双曲点；
B.S上每一点是抛物点；
C．S上的圆的?
指向球心；
D.S上的测地线的?
指
向球心.
8．若曲面S在每一点的高斯曲率为，则它可以与半径为（）的球面贴合
A．；
B.2；
C.；
D.4.
9．圆柱螺线r?
{acost,asint,bt}在任一点的切线与z轴的夹角?
（）12141214
A．为；
90?
B.0?
；
C.与t有关；
D.与b
有关.
10．设非直线的曲线C是曲面S:
r?
r（u,v）上的测地线，则有
A.C在每一点?
∥n;
B.C在每一点?
n;
C.C在每一点?
D.C在每一点?
n.
一．判断题（2×
1．向量函数r?
t?
满足?
dt,r?
r?
0，则必有一常向量a，
满足a⊥r?
.
2．如果曲线C:
的所有向径共面，则r?
必与某一固
定向量垂直.
3．曲线的形状只由曲率和挠率决定.
4．直纹面上的直母线一定是曲率线.（）
5．若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为r?
0?
R?
的
圆C相切，则C是S上的测地线.
6．如果两个曲面S1与S2之间的一个对应关系，使得它们在
对应点有相同的高斯曲率，则S1与S2等距等价.
7．设曲面S：
r=r?
u,v?
如果L:
E?
M:
F,则v—线是曲率线.
5
8．设曲面S：
，如果L:
N?
E:
F:
G，则曲面上的
所有曲线都是曲率线.
9．曲面上任意两点的连线中，测地线段最短.
10．球面上的曲率线是大圆.
二．计算题（10×
4=40分）
1．求曲线C：
r=?
at,bt2,ct3?
｝上在t?
0处的密切面方程.
2．已知曲线C：
s?
（s是弧长参数）的曲率和挠率分别是?
和?
且?
是不为零的常数，求曲线C：
（s）?
（s）ds的?
1
曲率和挠率.
3．求曲面z?
xy2上的渐近线.
4．求圆环面S：
r={（b+acos?
）cos?
（b+acos?
）sin?
a
sin?
}
0?
上的椭圆点，双曲点和抛物点.
6
三．证明题（10×
2=20分）
1．证明：
如果曲线的所有?
都经过一个固定点，则曲线是以
固定点为圆心的圆.
2．设C是半径为R的球面上半径为r?
的圆，?
g是曲
率.证明：
κg?
211?
.r2R2
B
一．单项选择题（2×
1．设a?
{1,0?
3},b?
{?
2,x,6}，若a∥b则（）
A．x?
B.x?
2；
C.x?
0；
D.x为任意实数.
2．设曲线C:
满足r?
1则（）
A.C是单位球面上的曲线；
B.t是C的弧长参数；
C.变向量r（t）具有固定方向；
D.变向量r（t）具有固定长度.
3．若向量函数r?
r（t）对于任意t都有r（t）?
1.则
A.r（t）是定向的向量；
B.r（t）是定长的向712
量；
C.r?
D.r?
0.
4．可展曲面上每一点都是（）
A.椭圆点；
B.抛物点；
C.圆点；
D.平点.
5．若曲线C的曲率k?
2,?
0则（）
A.C是半径为2的圆;
B.C是半径为的圆;
C.C是半径为2的圆;
D.C是半径为
圆.
6．曲面上与u线正交的曲线满足（）
A.Ldu?
Mdv?
0;
B.Edu?
Fdv?
C.Ldu?
Ndv?
D.Edu?
Gdv?
7．设曲面S上一条非直线的曲线C是S上的测地线，则
A．C在每一点，?
∥n；
B.C在每一点,?
n；
C．C在每一点，?
D.C在每一点，?
8．在曲面S:
r（u,v）上，u线的微分方程是（）
A．dudv?
B.du?
C．dv?
D.du?
dv.
81212的
9．若两个曲面等距等价，则（）
A.它们有相同的第一基本形式；
B.它们有相同的第二基本形式；
C．它们有相同的第三基本形式；
D.把其中一个经过连续的弯曲变形，就能和另一个贴合.
10．若曲面S:
r（u,v）上任一点，都有F?
M?
A．参数曲线网是渐近线网；
B.参数曲线网是曲率线网；
C．参数曲线网是测地线网；
D.答案A,B,C都不对.
二．判断题（2×
1.向量函数r?
0,则必有一常向量a，满足a⊥r?
.（）
的所有向径共面，则C就在通过原点的一个平面上.（）
3.曲线C：
r=r?
与曲线C：
在s?
s0处有相同的
曲
率
.
9
（
）
4.曲率是常数2的曲线一定是半径为的圆.（）
5.设S是平面，则S上每一点，都有?
1=?
2=0.
6.
7.可展曲面上没有双曲点球面上的圆的?
12指向球心..
8.高斯曲率K≡0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面.
9.若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为
的圆C相切，则S在C上每一点，沿着C的方向，都有，?
n=r.（）
10.两个常高斯曲率曲面一定等距等价.（）
10
三．计算题（10×
1.求曲线C：
r=｛
挠率.
2.设曲线C：
r=?
acost,asint,?
f?
dt?
是平面曲线，求f（x）.
3.求圆柱面r=?
Rcosu,Rsinu,v?
在?
u0,v0?
处的切平面方程，
并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.
4.求曲面S：
a?
u?
v?
b?
u-v?
uv?
0,b?
的高斯曲率.
四．证明题（10×
如果一条曲线C：
r=r（s）（s是弧长参数）的所
有从切面都经过一个固定点，则C的挠率和曲率之比是s的一次函数.
2．?
1?
证明：
可展曲面上的直母线是曲率线.5812cost,?
sint,cost｝的曲率和131313
如果可展曲面Ｓ上有两族直母线，则Ｓ是平
面.
《微分几何》测试题（三）
⒈r（t）具有固定方向的充要条件是______________________。
⒉挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。
⒊曲线r?
r（t）在P（t0）点的主法向量是?
，则曲线在P点的从切面方程是11
。
⒋如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向。
⒌曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。
6．曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为____________。
7．半径为R的球面的高斯曲率K=.
8.一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。
9.曲面上坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。
10．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和?
。
1、圆柱螺线x?
cost,y?
sint,z?
t在点?
1,0,0?
的切线为______。
x?
1yz?
B、y?
z?
0011
D、y?
0C、100A、
2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。
A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0
C、Ⅲ-2KⅡ+HⅠ=0D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=0
3、在直纹面r?
a（u）?
vb（u）（b（u）为单位向量）中，导线a（u）是腰曲线的充要条件是_____。
A、a?
b?
0B、a?
//b?
C、a?
0D、a//b
4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。
A、M=0B、L=N=0C、M=F=0D、F=0
5、下列曲面中_____不是可展曲面。
A、柱面B、锥面C、一条曲线的切线曲面D、正螺面
6、曲面上，不是曲面的内蕴量。
A、两曲线的夹角B、曲线的弧长
C、曲面域的面积D、在一点沿一方向的法曲率
7、曲面r?
r（s,t），n是其单位法向量，是不正确的。
A、N=rtt?
nB、N=?
rt?
ntC、N=rt?
ntD、N=n?
rtt
9、球面r?
（Rcos?
Rcos?
Rsin?
）的坐标曲线构不成。
12
A、正交的渐近网B、共轭网C、曲率线网D、半测地坐标网
10、曲线r?
r（s）在P点的基本向量是?
曲率为k（s）,挠率为?
（s），则?
（s）。
B、?
C、?
D、?
三．计算题：
（1、2题各10分，3题8分，共26分）
1、求螺线x?
t上点?
的曲率和挠率。
2、确定螺旋面x?
ucosv,y?
usinv,z?
cv上的曲率线和在任一点的高斯曲率。
四．证明题：
（每小题8分，共24分）
如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。
《微分几何》测试题（四）
一、填空题（每小题2分，共20分）
1、变矢（t）满足?
&
的充要条件是______________________。
2、曲线（C）上P点处的三个基本向量为、、?
，则过P点由和?
确定的平面叫曲线（C）在P点的________________________。
3、若曲线在各点的曲率_________________，则曲线是直线。
4、曲线穿过__________和密切平面，但从不穿过_______________。
5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向________________。
6、两个曲面间的变换是_________________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第一基本形式。
7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的________________________。
9、曲面的高斯曲率为K，测地曲率为可kg，G是单连通曲面域，G的边界?
G是一条光滑闭曲线，则?
Kd?
__________
G?
二、选择题（每小题3分，共30分）
11、若曲面S上曲线（C）是平面曲线，则一定有_____恒等于零。
13
A、法曲率knB、挠率τ
C、测地曲率kgD、曲率k
12、在圆柱面上，圆柱螺线是_____。
A、平面曲线B、曲率线C、测地线D、渐近线
13在椭圆抛物面上，高斯曲率K_____。
A、大于零B、小于零C、等于零D、不确定
14、设、、?
是曲线（C）在一点的三个基本向量，则?
=_____（k,τ分别表示曲线在该点的曲率和挠率）。
A、kB、τ?
C、－τD、τ
15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_____。
A、F=0B、M=0C、F=M=0D、L=N=0
16、曲面上的直线不一定是_____。
A、渐近线B、曲率线C、测地线D、法截线
19、下列直纹曲面中，_____是可展曲面。
A、锥面B、单叶双曲面C、双曲抛物面D、挠曲线的主法线曲面
三、解答与证明题（22题、24题各9分，其余各8分）
21、求曲线r（t）={t,t,e}在t=0点的密切平面和主法线。
22、求曲线r（t）={a（1－sint）,a（1－cost），bt}的曲率和挠率。
23、证明：
如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这条曲线是直线或平面曲线。
2224、求抛物面z=a（x+y）在（0,0）点的高斯曲率和平均曲率。
25、证明挠曲线（C）的主法线曲面不是可展曲面。
2t
《微分几何》试题（五）
⒈变矢r（t）具有固定方向的充要条件是__________________。
⒉设曲线（C）的参数表示是r?
r（s），s是弧长，则?
r___________。
14r叫作曲线（C）的
⒊如果曲线在各点的曲率____________，则曲线是直线。
r（t）在P点有挠率?
=3，则曲线r?
r（t）在P点附近的形状是__________。
⒌一般螺线的切线和一固定方向成固定角，而它的副法线与这个固定方向__________。
⒍两个曲面之间的变换是_________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第Ⅰ基本形式。
⒎曲面的第一类基本量是E、F、G，第二类基本量是L、M、N。
则曲面上曲率线的微分方程是。
⒏在曲面上非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外，曲线的________重合于曲面的法线。
⒐曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的__________。
⒑曲面上连接两点P、Q的________是曲面上连接P、Q的曲线中弧长最短的曲线。
二．选择填空题：
11、若曲面S上曲线（C）恒有法曲率?
n=0，则曲线一定是曲面上的_______。
A、渐近曲线B、平面曲线C、曲率线D、测地线
12、在圆柱面上，圆柱螺线是______。
13、在曲面上的双曲点，LN?
M_____。
14、设?
=_____。
（k,?
分别表示曲线在该点的曲率和挠率）
15、正螺面r?
{ucosv,usinv,bv}的第二基本形式是_____。
A
、?
222B
222?
022C、du?
（u?
b）dvD、（u?
b）du?
dv
16、曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_______。
152
A、M=0B、F=M=0C、F=0D、L=N=0
17、若曲面在其上某点处的两个主曲率分别为2，1，则这点是曲面的_____。
A、椭圆点B、双曲点C、抛物点D、脐点
18、曲面在一点的单位法向量是n，则在同一点的方向dr是主方向的充要条件是______。
A、dn?
dr?
0B、存在方向?
r使dn?
C、存在方向?
r使?
n?
0D、drdn‖dr
19、在下列直纹曲面中，_____是可展曲面。
A、双曲抛物面B、挠曲线的副法线曲面
C、挠曲面的切线曲面D、单叶双曲面
20、一条有拐点的曲线绕一直线旋转所得旋转曲面上的点是______。
A、椭圆点B、抛物点C、双曲点D、A或B或C
三．解答与证明题（21、22各9分，23-26各8分）
21、求圆柱螺线x?
acost,y?
asint,z?
t在点（a,0,0）处的密切平面和主法线。
22、求曲线r（t）?
a（1?
sint）,a（1?
cost）,bt?
如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。
24、求抛物面z?
a（x?
y）在（0,0）点的高斯曲率和平均曲率。
25、证明曲线（C）的副法线曲面是可展曲面的充要条件是曲线（C）为平面曲线。
26、求证旋转曲面r?
（u）cos?
（u）sin?
（u）?
的径线是测地线。
（其中?
0）。
22
16
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