天津大学研究生最优化方法复习题Word格式.docx

1、二 DRn:设f : D Rn R.若x： Rn，对于一切Rn恒有f（x”）f（x），则称x为 D二Rn R.若x” D，存在X”的某邻域N （x ）,使得对一切xN （x ）恒有f（x”）： f （x），则称x”为最优化问题优解给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值 V非空集合D Rn为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于 D. V非空集合D Rn为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于 D. V任意两个凸集的并集为凸集.函数f:D Rn R为凸集D上的凸函数当且仅当 -f为D上的凹函数. V R为凸集D上的可微凸函数，X： D .则对D ,有 f（X）- f（x ）乞 I

2、f （x ）T（x -x ）.若c（x）是凹函数，则 D二xRn c（x）0是凸集。 V则对k0,1,2,i 恒有 f（xk乞 f （xk） .算法迭代时的终止准则（写出三种）14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。15函数f : R在点xk沿着迭代方向dk Rn C进行精确一维线搜索的步长:k，则其搜索公式为16 R在点xk沿着迭代方向d Rn 0进行精确一维线搜索的-k，则 i f （x -.d ） d = 0 .17设dk Rn 0为点xk D Rn处关于区域D的一个下降方向，则对于k k_ 0，二* 三（0, 丁）使得 x hid - D. 、简述题写出Wolfe-Powell非精确一

3、维线性搜索的公式。怎样判断一个函数是否为凸函数.（例如：判断函数f （x） 2X1X2 2x； -10X1 5X2是否为凸函数）三、证明题证明一个优化问题是否为凸规划.（例如1T tmin f （x） x Gx c x b判断s.t. Ax =b （其中G是正定矩阵）是凸规划x _02熟练掌握凸规划的性质及其证明.第二章线性规划考虑线性规划问题：（LP） min cTxs.t. Ax = b, x _0,其中，Rn, A Rm n, b Rm为给定的数据，且ran kA = m, m空n.一、 判断与选择题1（LP）的基解个数是有限的. V2若（LP）有最优解，则它一定有基可行解为最优解. V

4、3 （LP）的解集是凸的.V4对于标准型的（LP），设乂“由单纯形算法产生，则对 匕0,1,2，有T k T k 1 、/c x c x . x* * t * T *5若x为（LP）的最优解，y为（DP）的可行解，则c x _b y . V6设x。是线性规划（LP）对应的基B = （R,，Pm）的基可行解，与基变量为，xm对应的规范式中，若存在 二k ”：0，则线性规划（LP）没有最优解。X7求解线性规划（LP）的初始基可行解的方法： 8对于线性规划（LP），每次迭代都会使目标函数值下降.X1将以下线性规划问题化为标准型：max f（x） -2x2 3x3s.t.捲 x2 x3 _ 6,2x2

5、 4x3 亠 12,xi - x2 * X3 一 2,X2 _ 0, X3 _ 0.2写出以下线性规划的对偶线性规划:max f（x） =3为 2x2 x3 4x4s.t. 2x4x2 3x3 x4 =6, -2x4x2 3x3 x4 _ 3,Xi, X2, X3, X4 0.三、计算题M法及二阶段法）. 见书本：例 2.5.1例 2.6.1例 2.6.2熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大（利用单纯形表求解）；（利用大M法求解）; （利用二阶段法求解）.四、证明题熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用 对偶理论证明相关结论。、判断与选择题设G Rn n

6、为正定矩阵，则关于G共轭的任意n - 1向量必线性相关.V 在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向 X 经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的.XPRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法.X用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭 代方向一定线性无关 VFR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次 收敛性.X共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性.VRn R在xk处的最速下降方向为 求解minf （x）的经典Newton法在xk处的迭代方向为pk =若f（x）在X*的邻域内

7、具有一阶连续的偏导数且f（x*） = 0,则X*为的局部极小点 X若f（x）在x*的某邻域内具有二阶连续的偏导数且 x*为f （x）的严格局部xk处的迭代方向为Pk二极小点，贝U G* =0：f（x*）正定.X求解mjn f （x）的最速下降法在求解min f （x）的阻尼Newton法在xk处的迭代方向为pk =可达其极小点 X牛顿法具有二阶收敛性 V二次函数的共轭方向法具有二次终止性.X 共轭梯度法的迭代方向为:14二、证明题1设f:RnR为一阶连续可微的凸函数，x”. Rn且i f（x”）=O，贝U x为（dk）TGdk讥 0, ：）为由精确一维搜索所的步长，则:k试证：Newton法求

8、解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点1简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点.2简述共轭梯度法的基本思想.五、计算题1利用最优性条件求解无约束最优化问题3 1例如：求解 min f（x） x： x； -x -2论222用FR共轭梯度法无约束最优化问题.见书本：例341.3用PRP共轭梯度法无约束最优化问题.例3.4.1.31min f （x） xj xf - x1 x2 -2x1 其中 x0 二（0,0）T, ； = 0.012 2考虑约束最优化问题：（NLP） min f （x）s.t. G （x） = 0, i E = i1, 2, , l ；C（x） _0, i I I 1, l 2, ,

9、 ml其中，f, q （i = 1, 2, , m）: Rn R.-、判断与选择题1外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于 SUMT. X2使用外罚函数法和内罚函数法求解（NLP ）时，得到的近似最优解往往 不是（NLP ）的可行解.X3在求解（NLP ）的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数 为 .4在（NLP）中l =0，则在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数为 .5在（NLP ）中l = 0，贝U在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为（k 1）i = ，对 i 1, ,m6在（NLP）中m = l，则在求解该问题的乘子法中，增广的 Lagrange函数 为：7对于（NLP）的K

10、T条件为：计算题2用外罚函数法求解约束最优化问题 见书本：例421;例 422.3用内罚函数法求解约束最优化问题例423.4用乘子法求解约束最优化问题.例4.2.7;例 4.2.8.三、简述题1简述SUMT外点法的优缺点2简述SUMT内点法的优缺点利用最优性条件证明相关问题.Q设为正定矩阵，A为列满秩矩阵.试求规划（P） min f （x） = 1 x Qx c x as.t. A x 二 b的最优解，并证明解是唯一的1求解多目标最优化问题的评价函数法包 括 .2通过使用评价函数，多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题 .V3设F : D 乂 Rn Rm，则F在D上的一般多目标最优化问题的

11、数学形式使得F （x） _ F （x ）且F （x）严F （x ），则x为该最优化冋题的有效解.V一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解. Vfi （i =1,2，m）的权系数，则求解以上问题的线性加权和法中所求解优化的目标函数为 .F（X）= （fjx），你&）丁的线性加权和法所得到的解，或者为原问题的有效解，或者为原问题的弱有效解 V、简述题1简单证明题 绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系 .第 5.2 节中几个主要结论的证明 .2 简单叙述题 简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想 . 简述求解一般多目标规划的线性加权和法的基本思想 . 简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想 . 简述在求解一般多目标规划的评价函数法中，确定权系数方法的 基本思想 .