天津大学研究生最优化方法复习题Word格式.docx
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二D」Rn:
设f:
DRn>
R.若x：
Rn，对于一切Rn恒有f（x”）^f（x），则称x为
D二Rn>
R.若x”•D，存在X”的某邻域N（x）,使得对一切
x・N（x）恒有f（x”）：
：
f（x），则称x”为最优化问题
优解•
给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值•V
非空集合DRn为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于D.V
非空集合DRn为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D.V
任意两个凸集的并集为凸集.
函数f:
DRn>
R为凸集D上的凸函数当且仅当-f为D上的凹函数.V
R为凸集D上的可微凸函数，X：
D.则对D,有f（X）-f（x）乞If（x）T（x-x）.
若c（x）是凹函数，则D二｛x・Rnc（x）—0｝是凸集。
V
则对—k「0,1,2,i恒有f（xk』乞f（xk）.
算法迭代时的终止准则（写出三种）
14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。
15
函数f:
R在点xk沿着迭代方向dk•Rn{C}进行精确一维线搜索的
步长:
k，则其搜索公式为
16
R在点xk沿着迭代方向d^Rn{0}进行精确一维线搜索的
-k，则if（x'
-.^d）d=0.
17
设dk•Rn{0}为点xk•DRn处关于区域D的一个下降方向，则对于
kk
_>
0，二*三（0,丁）使得xhid-D.
、
简述题
写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。
怎样判断一个函数是否为凸函数.
（例如：
判断函数f（x）2X1X2•2x；
-10X15X2是否为凸函数）
三、
证明题
证明一个优化问题是否为凸规划.（例如
1Tt
minf（x）xGxcxb
判断s.t.Ax=b（其中G是正定矩阵）是凸规划
x_0
2熟练掌握凸规划的性质及其证明.
第二章线性规划
考虑线性规划问题：
（LP）mincTx
s.t.Ax=b,x_0,
其中，Rn,ARmn,bRm为给定的数据，且rankA=m,m空n.
一、判断与选择题
1（LP）的基解个数是有限的.V
2若（LP）有最优解，则它一定有基可行解为最优解.V
3（LP）的解集是凸的.V
4对于标准型的（LP），设乂“由单纯形算法产生，则对匕「0,1,2「」，有
TkTk1、/
cxcx.x
**t*T*
5若x为（LP）的最优解，y为（DP）的可行解，则cx_by.V
6设x。
是线性规划（LP）对应的基B=（R,…，Pm）的基可行解，与基变量
为，…，xm对应的规范式中，若存在二k”：
0，则线性规划（LP）没有最优解。
X
7求解线性规划（LP）的初始基可行解的方法：
8对于线性规划（LP），每次迭代都会使目标函数值下降.X
1将以下线性规划问题化为标准型：
maxf（x）-2x23x3
s.t.捲x2x3_6,
2x24x3亠12,
xi-x2*X3一2,
X2_0,X3_0.
2写出以下线性规划的对偶线性规划:
maxf（x）=3为2x2x34x4
s.t.2x「4x23x3x4=6,-2x「4x23x3x4_3,
Xi,X2,X3,X4—0.
三、计算题
M法及二阶段
法）.见书本：
例2.5.1
例2.6.1
例2.6.2
熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大
（利用单纯形表求解）；
（利用大M法求解）;
（利用二阶段法求解）.
四、证明题
熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用对偶理论证明相关结论。
、判断与选择题
设G•Rnn为正定矩阵，则关于G共轭的任意n-1向量必线性相关.V在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向•X经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的.X
PRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法.X
用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关•V
FR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收敛性.X
共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性.V
Rn>
R在xk处的最速下降方向为
求解min
f（x）的经典Newton法在xk处的迭代方向为pk=
若f（x）在X*的邻域内具有一阶连续的偏导数且\f（x*）=0,则X*为的局
部极小点•X
若f（x）在x*的某邻域内具有二阶连续的偏导数且x*为f（x）的严格局部
xk处的迭代方向为Pk二
极小点，贝UG*=0：
f（x*）正定.X
求解mjnf（x）的最速下降法在
求解minf（x）的阻尼Newton法在xk处的迭代方向为pk=
可达其极小点•X
牛顿法具有二阶收敛性•V
二次函数的共轭方向法具有二次终止性.X共轭梯度法的迭代方向为:
14
二、证明题
1设f:
Rn》R为一阶连续可微的凸函数，x”.Rn且if（x”）=O，贝Ux为
（dk）TGdk
讥•[0,•：
）为由精确一维搜索所的步长，则:
k
试证：
Newton法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点
1简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点.
2简述共轭梯度法的基本思想.
五、计算题
1利用最优性条件求解无约束最优化问题•
31
例如：
求解minf（x）x：
x；
-x^-2论
22
2用FR共轭梯度法无约束最优化问题.
见书本：
例341.
3用PRP共轭梯度法无约束最优化问题.
例3.4.1.
31
minf（x）xjxf-x1x2-2x1其中x0二（0,0）T,；
=0.01
22
考虑约束最优化问题：
（NLP）minf（x）
s.t.G（x）=0,iE=i1,2,,l；
C（x）_0,iI—I1,l2,,ml
其中，f,q（i=1,2,,m）:
Rn>
R.
-、判断与选择题
1外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT.X
2使用外罚函数法和内罚函数法求解（NLP）时，得到的近似最优解往往不是（NLP）的可行解.X
3在求解（NLP）的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数为.
4在（NLP）中l=0，则在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数
为.
5在（NLP）中l=0，贝U在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为
（k1）i=，对i「1,,m〔
6在（NLP）中m=l，则在求解该问题的乘子法中，增广的Lagrange函数为：
7对于（NLP）的KT条件为：
计算题
2用外罚函数法求解约束最优化问题见书本：
例421;
例422.
3用内罚函数法求解约束最优化问题
例423.
4用乘子法求解约束最优化问题.
例4.2.7;
例4.2.8.
三、简述题
1简述SUMT外点法的优缺点
2简述SUMT内点法的优缺点
利用最优性条件证明相关问题.
Q设为正定矩阵，A为列满秩矩阵.试求规划
（P）minf（x）=1xQxcxa
s.t.Ax二b
的最优解，并证明解是唯一的
1求解多目标最优化问题的评价函数法包括.
2通过使用评价函数，多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题.V
3设F:
D乂Rn>
Rm，则F在D上的一般多目标最优化问题的数学形式
使得F（x）_F（x）且F（x）严F（x），则x为该最优化冋题的有效解.V
一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解.V
fi（i=1,2，…，m）的权系数，则求解以上问题的线性加权和法中所求解优
化的目标函数为.
F（X）=（fjx），…，你&
））丁的线性加权和法所得到的
解，或者为原问题的有效解，或者为原问题的弱有效解•V
、简述题
1简单证明题
☆绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系.
第5.2节中几个主要结论的证明.
2简单叙述题
★简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想.简述求解一般多目标规划的线性加权和法的基本思想.
★简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想.简述在求解一般多目标规划的评价函数法中，确定权系数方法的基本思想.
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