全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案Word格式.docx

1、 + P （ x） y = q （ x） ,即 （ + ） q （ x） = q （x） ,由 q （ x） 0 可知 + = 1, 1由求解得 = = ,故应选（A）2（3） 【答案】 （B）.【解析】 f g（x） = f g（x） g（x）, f g（x） = f （x） = f g（x）g（x）2 + f g（x） g （x）由于 g（x0 ） = a 是 g（x） 的极值,所以 g（x0 ） = 0 .所以 f g（x0 ）= f g（x0 ） g （x0 ） = f （a） g （x0 ）由于 g（x0 ） 0 ,要使 f g（x） 0 ,故答案为 B. （4）【答案】 （C）.h

2、（x）e10 x 1【解析】因为 lim= lim e10 = + ,所以,当 x 充分大时, h（x） g（x） .x+ g（x）x+ xx+10又因为 limf （x） = lim lnx = lim 10ln9 x 1 9x = 10 lim ln x10x+ x x+1= 10 9 2 lim ln xx+ln8 x 1= 10 9 lim x = 10! lim = 0 .x+ 1 x+ x所以当 x 充分大时, f （x） g（x） ,故当 x 充分大, f （x） g（x） h（x）.（5） 【答案】 （A）【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以r（I） r（II）

3、 ,即,r ） r（1, , s ） sr（1,若向量组 I 线性无关, 则 r（1, ,r ） = r , 所以 r = r（1, , 即r s ,选（A）.（6） 【答案】 （D）.【解析】设 为 A 的特征值,由于 A2 + A = O ,所以2 + = 0 ,即（ +1） = 0 ,这样 A 的特征值只能为-1 或 0. 由于 A 为实对称矩阵, 故 A 可相似对角化, 即 A , -1 -1 r（A） = r（） = 3,因此, = ,即 A = . 0 （7） 【答案】 （C）.【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中

4、F （x） 的形式,得到随机变量 X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即PX = 1 = PX 1 - PX 1 = F （1） - F （1- 0） = 1- e-1 - 1 = 1 - e-1 , 故本题选2 2（C）.（8） 【答案】 （A）.1 - x21 ,-1 x 3【解析】根据题意知, f1（ x） = e 22（ - x + ）, f2（ x） = 40, 其它+利用概率密度的性质: -f （ x） dx = 1,故f （ x） dx =0 af

5、（ x） dx + bf （ x）dx = a + f （ x）dx + b3 1 dx = a + 3 b = 1- 10 2 2 - 10 4 2 4所以整理得到2a + 3b = 4 ,故本题应选（A）. 二、填空题（9） 【答案】-1. 【解析】 x+ y e-t2 dt = x x sin t2dt ,令 x = 0 ,得 y = 0 ,等式两端对 x 求导：0 0e-（x+ y）2 （1+ dy ） = x sin t2dt + x sin x2 dydxdx 0将 x = 0 , y = 0 代入上式,得1+ 2x=0= 0 .所以 dydx x=0= -1.（10） 【答案】

6、.4【解析】根据绕 x 轴旋转公式, 有V = + y2dx = + dx e e x （1+ ln2 x）= d ln x= arctan （ln x） + = - = 2 .e 1+ ln2 x2 4 1（P3 -1） e （11） 【答案】 p e3.dR p3 dR 1 2 1 2【解析】由弹性的定义,得 = 1+ p,所以R= p + p dp ,即ln R = ln p + 3 pC ,dp R1 1 1（ p3 -1）又 R （1） = 1,所以C =- .故ln R = ln p +3p - ,因此 R = p e3 .3 3（12） 【答案】b = 3 .【解析】函数为 y

7、= x3 + ax2 + bx +1 , 它的一阶导数为 y = 3 x2 + 2ax+ b;二阶导数为y = 6x + 2a ,又因为（-1, 0） 是拐点,所以 y = 0 ,得- a = -1 ,所以a = 3,又因为曲线x=-1 3过点（-1, 0） ,所以将 x = -1, y = 0 代入曲线方程,得b = 3 .（13） 【答案】3.【解析】由于 A（A-1 + B）B-1 = （E + AB）B-1 = B-1 + A ,所以A + B-1 =A（A-1 + B）B-1 = AA-1 + BB-1因为 B = 2 ,所以 B-1-1 1= =B ,因此A + B-1 = A（1

8、4）【答案】 2 + 2 .= 3 2 = 3 . 1 n2 1 n2 12 2 2 2【解析】 E （T ） = E Xi =E nE （ X） = E （ X） = + .三、解答题 n i=1 n i=1 n 1 1 ln x 1 ln xx -1ln e x -11 - ln x lim （15） 【解析】 lim xx 1= lim eln x= ex+ ln x= ex+ ln xx+ e其中lim ln（e x-1） = lim （e x-1）-1 ln x x1- ln x = lim1- ln x = lim eln x （ 1-1） = -1.x+1x2 x+ ln x x

9、故原式= e-1 .（16） 【解析】积分区域 D = D1,其中 D1 = （ x, y ） 0 y 1, 2 y x 1+ y 2 D2D2 = （ x, y） -1 y 0, -2 y x 1+ y2 （ x + y）3 dxdy = （x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 ）dxdyD D因 为 区 域 D 关于 x 轴对称 , 被 积 函 数（3x2 y + y3 ）dxdy = 0 D3x2 y + y3是 y 的 奇 函 数 , 所以 3 3 2 3 2 1 3 2 1+ y2（ x + y） dxdy = （x + 3xy ）dxdy = 2（x + 3xy ）dxdy

10、 = 2 0 dy 2 y （x + 3xy ）dxD D D1 = 2 1 1 x4 + 3 x2 y2 dy = 21 - 9 y4 + 2 y2 + 1 dy = 14 .0 4 2 4 4 152 y（17） 【解析】令 F （ x, y, z, ） = xy + 2yz + （x2 + y2 + z2 -10）,用拉格朗日乘数法得Fx = y + 2 x = 0,F = x + 2z + 2 y = 0, yF = 2 y + 2 z = 0, zF = x2 + y2 + z2 -10 = 0,求解得六个点：A（1, 5, 2）, B （-1, -5, -2）,C （1, - 5,

11、 2）, D （-1, 5, -2）,E （2 2, 0, - 2 ）, F （-2 2, 0, 2 ）.由于在点 A 与 B 点处, u = 5 5 ；在点C 与 D 处, u = -5 5 ；在点 E 与 F 处, u = 0 又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以umax = 5 5 , umin = -5 5 （18） 【解析】 （I）当0 1时0 ln（1+ x） x ,故ln（1+ t）n tn ,所以ln t ln（1+ t）n ln t tn ,则 1 ln t ln（1+ t）ndt 1 ln t tndt （n = 1, 2, ） .（II）1 ln t tnd

12、t = - 1 ln t tndt = - 11 ln td （tn+1 ） =,故由0 0n +1 0（n +1）20 un 1 ln t tndt =,根据夹逼定理得0 lim un lim 2 = 0 ,所以lim un = 0 .nn （n +1）（19） （I） 因为2 f （0） = 2 f （x）dx ,又因为 f （ x） 在0, 2 上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点 0, 2 ,使得0 f （ x）dx = f （ ）（2 - 0）即2 f （0） = 2 f （ ） ,所以存在 0, 2 ,使得 f （ ） = f （0） .（）因为 f （2） + f （3） =

13、 2 f （0） ,即f （2） + f （3） = f （0） ,又因为 f （ x） 在2, 3 上连续,由介值定理知,至少存在一点1 2,3使得 f （1 ） = f （0）.因为 f （ x） 在0, 2 上连续,在0, 2 上可导,且 f （0） = f （2） ,所以由罗尔中值定理知,存在1 （0, 2） ,有 f （1 ） = 0 .又因为 f （ x） 在2,1上连续,在（2,1 ） 上可导,且 f （2） = f （0） = f （1 ） ,所以由罗尔中值定理知,存在2 （2,1 ） ,有 f （2 ） = 0 .又因为 f （ x） 在1,2 上二阶可导,且 f （1 ）

14、= f （2 ） = 0 ,所以由罗尔中值定理,至少有一点 Ax = b （0,3） ,使得 f （ ） = 0 .（20） 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于 3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法 1：（ I ）已知 Ax = b 有 2 个不同的解,故r（ A） = r（A） 3 ,对增广矩阵进行初等行变换,得 1 1a 1 1 1 aA = 0 -1 0 1 0 -1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 -1 0 01 -1 0 1 0 1- 1- 2a - 0 0 1- 2a - +1 1 1 1当 = 1

15、时, A 0 0 0 0 0 01 1 1 11 a 1 1 ,此时, r（A） r（ A） ,故 Ax = b 无解（舍去） 1 1 -1 1 当 = -1时, A 0 -2 0 1 ,由于r（A） = r（A） 3 ,所以a = -2 ,故 = -1, a = -2 . 0 0 0 a + 2方法 2：已知 Ax = b 有 2 个不同的解,故r（ A） = r（A） 3 ,因此 A = 0 ,即A = 01 1= （ -1）2 （ +1） = 0 ,1 1 知 = 1或-1.当 = 1时, r（ A） = 1 r（ A） = 2 ,此时, Ax = b 无解,因此 = -1 .由 r（

16、A） = r（ A） ,得a = -2 .（ II ） 对增广矩阵做初等行变换 -1 1 1-2 1-1 -1 2 1 0 -1 3 -2 0 0 2 0-1 0 1 0- 1 2 1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 3 3 x 1 2 x1 - x3 = 2 1可知原方程组等价为,写成向量的形式,即 x = x 0 + - .2 3x =- 1 x 1 2 2 3 1 3 2 因此 Ax = b 的通解为 x = k - 1 ,其中k 为任意常数. 0 0 -1 4 （21） 【解析】由于 A = -1 3 a ,存在正交矩阵Q ,使得QT AQ 为对角阵,且Q 的第一 4 a 0

17、 6列为 （1, 2,1）T ,故 A 对应于 的特征向量为 =（1, 2,1）T . 1 1 6 6 根据特征值和特征向量的定义,有 A 2 = 2 ,即 6 1 1 1 0 -1 4 1 1 -1 3 a 2 ,由此可得a = -1, = 2 .故 A = -1 3 -1 . 4 a0 1 4 -1 0 1 -4由 E - A = 1 - 3 1= （ + 4）（ - 2）（ - 5） = 0 ,-4 1 可得 A 的特征值为1 = 2, 2 = -4, 3 = 5 . -4 1 -4 x1 由（ E - A）x = 0 ,即 1 -7 1 x = 0 ,可解得对应于 = -4 的线性无关

18、的2 2 2 -4 1-4 x 3 特征向量为 = （-1, 0,1）T . 5 1 -4 x1 由 （ E - A）x = 0 , 即 1 2 1 x = 0 , 可解得对应于 = 5 的特征向量为3 2 3 -4 1 5 = （1,- 1, 1T）.由于 A 为实对称矩阵, 1,2,3 为对应于不同特征值的特征向量,所以1,2,3 相互正交,只需单位化：123 = 1 = （1, 2,1）T , = 2 = （-1, 0,1）T ,= 3 =（1, -1,1）T ,1 2 1 1 2 1 T 2 取Q = （ , , ） = 0 - ,则Q AQ = = -4 .1 2 3 3 5 （22

19、） 【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度f （ x, y） 后,要求条件概率密度f （x, y）fY |X （ y | x） ,可以根据条件概率公式 fY |X （ y | x） =A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.fX （x）来进行计算.本题中还有待定参数,f （ x） =f （ x, y） dy = A+ e-2 x2 +2 xy- y2 dy = A+ e-（ y-x）2 -x2 dy = Ae- x2+ e-（ y-x）2 dyX -= A e-x2 , - + .根据概率密度性质有1 =- fX（ x）dx = A+ e- x2 dx = A ,即 A = -1 ,-

20、故 fX（ x） =1 e-x2 , - +.当- +时,有条件概率密度 f （x, y）Ae-2 x2 +2xy- y2 12 2 1 2A e-x2ff （ y x） = = =e- x +2xy- y =e-（x-y） , - +, - y Y X X（23） 【解析】（I） X 的所有可能取值为0,1 , Y 的所有可能取值为0,1, 2 C2 3 1PX = 0,Y = 0 = 3 = = ,其中 X = 0,Y = 0 表示取到的两个球都是黑球；CC1C115 56 2PX = 0,Y = 1 = 2 3 = = ,其中 X = 0,Y = 1表示取到的一个是白球,一个是黑球；2 15 5C2 1PX = 0,Y = 2 = 2 = ,其中 X = 0,Y = 2 表示取到的两个球都是白球；2 15C1C1 3 1PX = 1,Y = 0 = 1 3 = = ,其中 X = 1,Y = 0表示取到的一个是红球,一个是PX = 1,Y = 1 = 1 2 = ,其中 X = 1,Y = 1表示取到的一个是红球,一个是白球； = = = C =P X 1,Y 2 2 0 ,因此二维离散型随机变量（ X ,Y ） 的概率分布为Y5815