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1、：初值 x0 a,b 】使得 f （x） f （x） ： 0 ；则Newt on迭代法收敛于根 。6）多点迭代法：f （Xi） f （Xi） f（Xi）Xj 1 Xj X 1 Xjf（Xi） f（Xi） f（Xi） f（Xi1） f（X1）f（x）Xi X收敛阶：PJ 527） Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛） ，对Newt on法进行修改已知根的重数，x卄“老（平方收敛）未知根的重数：Xi 1 二 X - （ ） ,u（x） ，（），：为 f （x）的重根，则为 u（x）的单u （Xi） f （X）根。8）迭代加速收敛方法:Xi 2XiXdg 一x“Xi 2 -2Xi 1 XiV

2、（Xj ） 当不动点迭代函数（X）在=（X 1）:的某个邻域内具有二阶导数，- ） = L -1,0平方收敛9）确定根的重数：当 Newt on迭代法收敛较慢时，表明方程有重根XX 2 Xi 1X 2 2Xi 1 Xi X 2 Xi 1Xi 1Xi _XHH10）拟 Newton 法x十=x - AF（Xi）A+（Xi4 -XiF（Xi+HF（Xi）若A非奇异，则 HiAr1A 卅=A +、Ai 十 i u 匸 / ix =x - H F （x ）Hi 1（F（x 1） - F（x） =（x 1 -x）已+=已Hi_f口 i其中A =f，（x）=滾二 HIf I-X2f IIIX2cf2TTx

3、nIII：fnfi11）秩 1 拟 Newt on 法：J 1显*（】）i i （ri）T，其中 rxCyF&E） F（x）A十A +（y -Ar ）卄+、 （r ） rBroyden秩1方法i+=xi -HiF（xi） （r i）T hHipHi+LHiy）（仁打i （r ） Hiy第二章线性代数方程组数值解法1）向量范数：非负性：|x0,且x =0的充要条件是x=0 ； ：齐次性:三角不等式:1范数：nxh =为 xi3n 12 2 范数：|x|2 =（迟 |x）2i 二乜范数：|x|J=maxxin 丄P 范数：|x|p =（送 x 卩）P=12）矩阵范数：1：A 0，且| A -0的充

4、要条件是A=0 ；2：齐次性：| a A| =|叫| A| ：乘法不等式：|ab|兰广n n2 IIAIf -szaz_j#F范数:iia|l aij ，列和最大00范数：| Ah = fax迟aij ,行和最大 空j _i2范数：| A2 = Jp（Ah A），其中Jp（AhA） =max州，人为AhA的特征值，P（A）勻A1 33） Gauss消元法（上三角阵）：M n ；3一 1 3Gauss-Jordan消兀法（对角阵）：M n ;列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置； （可用于求逆矩阵）全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于

5、对角线主元位置；4） 三角分解法：Doolittle分解法：A=LU , L单位下三角阵， U上三角阵Crout分解法：A=LU , L下三角阵，U单位上三角阵3：Cholesky分解法：A对称正定， A = LLT , L为单位下三角阵4：改进的Cholesky分解法：A对称正定， A二LDLT , L为单位下三角阵， D为对角阵5：追赶法：Crout分解法解三对角方程65）矩阵的条件数cond（A） - A A_1，谱条件数：cond2（A） | A2 A27）迭代法基本原理：珥B） ：1（!imBi =0，迭代格式收敛迭代法：xi 1二Bxi K至少存在一种矩阵的从属范数，使8） Jac

6、obi 迭代：A = L D Ux，1 =（1 -D4A）xi D 无 9） Gauss-Seidel迭代：x，-（L D）Ux， （L D）b10）超松弛迭代法 x，x， r2 111） 二次函数的一维搜索： x =x怦二iR12） 最速下降法：选择方向 Z。- -gradf （x） = r0 二b-Ax进行一维搜索：x =x - ：-or，其中氏-（A 0 0）（Ar ,r ）13）共轭梯度法：第二步：过x1选择P0的共轭方向yp0，其中，过x1以p1为方第一步：最速下降法， P0=r，fnb-Ax1，（r0,r1H0向的共轭直线为 x1 tp1，进行二次函数的一维搜索14）一般的共轭梯度

7、法： 第三章插值法与数值逼近1）Lagrange 插值：Ln （x x l j （x） f （xj），（x-xj H|（X-Xj）（X-Xj 1）l|l（x-xn） _ Fn 1 （x）（Xj -xj （Xj -Xj（Xj -Xj 1）（Xj -xn） （X-Xj）P.1（Xj）余项:f （卄心E（X（n V巳 1（X）2） Newton插值：差商表Xof （Xo）X1f （X1）fXo X1f （X2）fXo X2fXo X1 X2X3f （X3）fXo X3fXo X1 X3f Xo X! X2 X3f（x） =f（Xo） fX）X（X-Xo）川 fX0X川 Xn（X-X0）川（X-XnJ

8、 fXoMllxnXI（X-Xo）Ml（X-Xn）f（册疋）余项 EgNXoXNXnXXx-xMgXnVfPn dx）3）反插值4） Hermite 插值（待定系数法） 出“ i（x）八:j （x） f （Xj） ： j （x） f （Xj）j=01j（x） =（x-Xj）lx）X-Xi 卑 X-Xi5）分段线性插值：Lj（x） 一 f （xj） - f （Xj .JXj Xj 卅 Xj*XjX_Xj ,Xj4 兰 X EXj Xj _XjI x Xj 卅lj（x） = ，Xj 兰X 兰 Xj 卅Xj _Xj 卅0,7）正交多项式的计算：定理：在a,b上带权函数 P（x）的正交多项式序列 gn

9、（x）：，若最高项系数唯一唯一的，且由以下的递推公式确定丄- （xOtW Bd Of （Xn , n） B （n Fn ） _ 0 n1-（X-n）n-nn4 n 、， 、，=-0, 0 -（n, n 丿 （n-1, n-1 丿其中（巴严j） = f P（x）W#jdx定理3.8，它便是误差:E（f）二b f（n 1）（）a （n 1）!Pn l（x）dX9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）法方程 a （ j ；k）aj = （f, ） j =0f （x）dx 化送 H j f （xj），其中 H j =丨 j（x）dx a j=0 &数值积分公式具至少有 n次代数精度 其是差值型

10、的3）等距节点的 Newton-Cotes公式b a将拉格朗日差值积分公式中的差值节点 x a ih即可，其中h =（1）n_jh n n 比Hj （t -i）dt，令 Cj L （Cotes系数）则：j!（n - j）! 0 申羽 b aQ（f） =（b-a） Cjf（Xj）j勻N-C公式的数值稳定性：当 Cj同号时是稳定的，否则不稳定， Fl兰（b-a）吃 Cj （其中j=o当n为偶数时，f（n42）化）bE（f）=（n ；丿 aXPn.1（x）dx当n为奇数时，f（F 心 bE（f）二 （丿.apn1（x）dx（n +1）! a4）复化的N-C公式nx复化的梯形公式：将积分区间 n等分，

11、然后在每个区间上应用梯形公式b xj n一 f （Xj） + f （Xjh En（f）二Tn En（f）Ff（xWf（x）dx% j j1 h 2 巴一石（；）2（b-a）f （）12 2f（Xj）丄4f（xj 也）I 6 6f（Xj 1）nh nJ 2 XJ 5）ph复化的Simpson公式：将积分区间 n等分，然后在每个区间上应用 Simpson公式1 hEn（f） （）4（b-a） f （）180 24T2n -Tn5） Romberg积分法0（h）=T（h）Tm（h）-d）2mTm（h） 4mTm（h）Tm（h）T 丄=2 2 = 2 I m 1 -m .1_（丄）2m 4 TL. 2

12、Tm（h）逼近I（f）的阶为h2（m1）h h hTo（h） To（-） To（-） To（-）2 4 8（h） T1（h） Tj（-）6） 求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度 0时有yn y（xn）则称（*）式收敛数值稳定性：若一数值方法在 yn上有扰动Sn而于以后的各节点值 ym（m n）上产生的偏差均不超过Sn，则称该方法绝对收敛y=ky 九 E R, kcO试验方程： a,bl 用以求解绝对稳定区间W（0） =y 0E C,Re（扎）cO绝对收敛：用单步法求解试验方程，若绝对收敛则称该方法绝对稳定6）线性多步法德一般格式：p py（Xn卅）=迟 aiy（Xn_L）+h送 biy（

13、Xnd）i=0 i=1局部阶段误差 Tn =COy（xn） Ghy （xn） IH Cqhqy（q）（xn） II| （系数通过 Taylor 展开构造）pCO = 1 -i =0P P其中 G =1 -迟（-i）q +迟 bi =0 i=1卜（i）qa+q瓦（i）q=0 i 9线性多步法的阶数通过误差系数来判断，最高阶数 r =2p 27）线性多步法的收敛性判断： C0 = 0 G = 0称线性多步法相容满足根条件：第一特征多项式 ：十）二rp1八 airp第二特征多项式b（r）=：Z brp当第一特征多项式所有根的模均不大于 1,且模为1的根均是单根，称满足根条件收敛相容且满足根条件8）数值稳定性判断：稳定多项式（特征多项式） 二（r, h ） = f（r） - h 二（r）令h氛二h，ri（h）是稳定多项式的根，r0（h1 o（h2）若对任意h Ea,b匚R有ri （h）兰r0（h），且当A（h） = r0（h）时，ri（h）为单根，则称a,b为相对稳定区间;若对任意h a, b R有ri （h） : 1，则称a,b为绝对稳定区间