最新数值分析重点公式Word文件下载.docx
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④：
初值x0•〔a,b】使得f（x）f（x）：
0；
则Newton迭代法收敛于根〉。
6）多点迭代法：
f（Xi）f（Xi）f（Xi」）
Xj1—XjX1Xj
f（Xi）—f（Xi」）f（Xi）—f（Xi1）—f（X1）—f（x）
Xi—X」
收敛阶：
PJ'
5
2
7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改
已知根的重数「，x卄“老（平方收敛）
未知根的重数：
Xi1二X-'
（）,u（x），（），：
•为f（x）的重根，则〉为u（x）的单
u（Xi）f（X）
根。
8）迭代加速收敛方法:
Xi2
XiXdg一x“
Xi2-2Xi1Xi
V（Xj）当不动点迭代函数（X）在
=「（X1）
:
的某个邻域内具有二阶导数，
\-）=L-1,0平方收敛
9）确定根的重数：
当Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根
XX2—Xi1
X2—2Xi1XiX2—Xi1
Xi1
Xi^_XHH
10）拟Newton法
x"
十=x"
-A’F（Xi）
^A^+（Xi4^-Xi^F（Xi+HF（Xi）若A非奇异，则Hi^Ar1
A卅=A+、A
「i十iu匸/i\
x=x-H"
F（x）
Hi1（F（x"
1）-F（x"
））=（x"
1-x"
）
已+=已"
Hi
「_f
口i
其中A=f，（x"
）=滾
二HI
fI
-X2
fIII
X2
cf2
TT
°
xn
III
■：
fn
f
i
11）秩1拟Newton法：
J1显"
*（】）
ii（ri）T，其中r'
x—Cy'
F&
E）—F（x）
A十A+（y-Ar）卄+
、、（r）r
Broyden秩1方法
\i+=xi-HiF（xi）
<
（ri）Th
HipHi+L—Hiy）（仁打
i（r）Hiy
第二章线性代数方程组数值解法
1）向量范数：
非负性：
|x・0,且x=0的充要条件是x=0；
②：
齐次性:
三角不等式:
1范数：
n
xh=为x
i3
n1
2—
2范数：
||x||2=（迟|x』）2
i二
乜范数：
||x|J=maxxi
n丄
P范数：
||x||p=（送x卩）P
\=1
2）矩阵范数：
1：
A0，且|A-0的充要条件是A=0；
2：
齐次性：
|aA|=|叫|A|
④：
乘法不等式：
||ab||兰
广nn
2・
IIAIf-
sz
a
z_
j#
F范数:
iia|laij，列和最大
00范数：
||Ah=fax迟aij,行和最大空j_i
2范数：
||A2=Jp（AhA），其中Jp（AhA）=max州，人为AhA的特征值，P（A）勻A
13
3）Gauss消元法（上三角阵）：
Mn；
3
一13
Gauss-Jordan消兀法（对角阵）：
Mn;
列选主元消元法：
在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；
（可
用于求逆矩阵）
全选主元消元法：
全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位
置；
4）三角分解法：
Doolittle分解法：
A=LU,L单位下三角阵，U上三角阵
Crout分解法：
A=LU,L下三角阵，U单位上三角阵
3：
Cholesky分解法：
A对称正定，A=LLT,L为单位下三角阵
4：
改进的Cholesky分解法：
A对称正定，A二LDLT,L为单位下三角阵，D为对角阵
5：
追赶法：
Crout分解法解三对角方程
6
5）矩阵的条件数cond（A）-AA」_1，谱条件数：
cond2（A）||A2A」2
7）迭代法基本原理：
珥B）：
1（
!
imBi=0，迭代格式收敛
迭代法：
xi1二BxiK
至少存在一种矩阵的从属范数，使
8）Jacobi迭代：
A=LDU
x，1=（1-D4A）xiD无9）Gauss-Seidel迭代：
x，-（LD）^Ux，（LD）^b
10）超松弛迭代法x，^x，r
21
11）二次函数的一维搜索：
x=x怦二iR
12）最速下降法：
选择方向Z。
--gradf（x°
）=r0二b-Ax°
进行一维搜索：
x=x-：
-or，其中氏-（A00）
（Ar,r）
13）共轭梯度法：
第二步：
过x1选择P0的共轭方向
yp0，其中'
，过x1以p1为方
第一步：
最速下降法，P0=r°
，fnb-Ax1，（r0,r1H0
向的共轭直线为x1tp1，进行二次函数的一维搜索
14）一般的共轭梯度法：
第三章插值法与数值逼近
1）Lagrange插值：
Ln（x^xlj（x）f（xj），
（x-xjH|（X-Xj」）（X-Xj1）l|l（x-xn）_Fn1（x）
（Xj-xj（Xj-Xj』（Xj-Xj1）（Xj-xn）（X-Xj）P'
.1（Xj）
余项:
f（卄心
E（X^（nV
巳1（X）
2）Newton插值：
差商表
Xo
f（Xo）
X1
f（X1）
f[XoX1]
f（X2）
f[XoX2]
f[XoX1X2]
X3
f（X3）
f[XoX3]
f[XoX1X3]
f[XoX!
X2X3]
f（x）=f（Xo）f[X）X]（X-Xo）川f[X0X川Xn]（X-X0）川（X-XnJf[XoMllxnXI（X-Xo）Ml（X-Xn）
f（册疋）
余项EgNXoXNXnXXx-xMgXnVf^Pndx）
3）反插值
4）Hermite插值（待定系数法）出“i（x）八[:
j（x）f（Xj）：
j（x）f（Xj）]
j=0
1j（x）=（x-Xj）l"
x）
X-Xi卑X-Xi
5）分段线性插值：
Lj（x）一f（xj）-f（Xj.J
Xj—Xj卅Xj*—Xj
X_Xj」
Xj4兰XEXjXj_Xj」
Ix—Xj卅
lj（x）=』，Xj兰X兰Xj卅
Xj_Xj卅
0,
7）正交多项式的计算：
定理：
在［a,b］上带权函数P（x）的正交多项式序列gn（x）｝：
，若最高项系数唯一
唯一的，且由以下的递推公式确定
④丄-（xOtWBdOf—（X®
n,®
n）B—（®
nFn）④_0④
n1-（X--n）n-nn4'
n~、，「、，=-0,0-
（n,n丿（n-1,n-1丿
其中（巴严j）=fP（x）W#jdx
定理3.8
，它便是
误差:
E（f）二
bf（n1）（）
a（n1）!
Pnl（x）dX
9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）
法方程a（j；
k）aj=（f,\）j=0
[f（x）dx化送Hjf（xj），其中Hj=[丨j（x）dxaj=0&
数值积分公式具至少有n次代数精度其是差值型的
3）等距节点的Newton-Cotes公式
b—a
将拉格朗日差值积分公式中的差值节点x^aih即可，其中h=
（―1）n_jhnn比
Hj（t-i）dt，令CjL（Cotes系数）则：
j!
（n-j）!
0申羽b—a
Q（f）=（b-a）'
Cjf（Xj）
j勻
N-C公式的数值稳定性：
当Cj同号时是稳定的，否则不稳定，Fl兰（b-a）吃Cj（其中
j=o
当n为偶数时，
f（n42）化）b
E（f）=（n；
丿aXPn.1（x）dx
当n为奇数时，
f（F心b
E（f）二（丿.apn1（x）dx
（n+1）!
a
4）复化的N-C公式
n」x
复化的梯形公式：
将积分区间n等分，然后在每个区间上应用梯形公式
bxjn」一f（Xj）+f（Xj』
hEn（f）二TnEn（f）
Ff（xWf（x）dx%jj
1h2巴⑴一石（；
）2（b-a）f（）
122
「f（Xj）丄4f（xj也）
I66
f（Xj1）
n」hnJ2
■"
XJ5）"
ph
复化的Simpson公式：
将积分区间n等分，然后在每个区间上应用Simpson公式
1h
En（f）—（—）4（b-a）f⑷（）
1802
4T2n-Tn
5）Romberg积分法
〒0（h）=T（h）
Tm（h）-d）2mTm（h）4mTm（h）—Tm（h）
T丄=—22=2
Im^1-m.
1_（丄）2m4T
L.2
Tm（h）逼近I（f）的阶为h2（m1）
hhh
To（h）To（-）To（-）To（-）
248
£
（h）T1（h）Tj（-）
6）求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度<
=2n+1；
7）Gauss求积公式
f（x）八:
j（x）f（Xj）1j（x）f（Xj）E（x）
j卫-
b"
_-,b
1（f）=
af（x）dx=a=卜j（x）f（Xj）：
j（x）f（Xj）dxaE（x）dx
j」J
bnb'
b
a：
j（x）dxf（Xj）、■j（x）dxf（Xj）E（x）dx
a.aa
nn
「Hjf（Xj）、Hjf'
（Xj）
jzSjz9
—b2bp„（x）
Hj「a（X-Xj）lj（x）d"
aP^lj（X）dX
Fn1（x）在［a,b］上与所有次数＜=n的多项式带权『三1正交上式为Gauss求积公式、
8）
（3x-1）-2
1dn
Pn（X）=2nn!
dx
「（x2-1门
Gauss-Legendre求积公式
给出区间［1,-1］上的求积公式，取Pn（x）的零点为求积节点
1取P（x）零点为0
b
ff（x）dx=H°
f（X0）+E（f）H°
=2
2取P,零点为—
23
.f（x）dx二H°
f（x。
）H/（X1）E（f）h。
二H。
=1
a+hha
对于区间［a,b］上的Gauss求积公式，令xt,L［a,b］，
22
a+bb—af（x）二f（工厂t）二g（t），则:
b1b—ab—a1
［f（x）dx=Jg（t）—^-dt=—2-Jg（t）dt
b-ag2（n1}（）12
余项：
E（f）4Pl1（t）dtlPm（t）=（t-t°
）M（t-tn）
（2n2）!
/
第五章乘幂法
1）基本定理：
若为A的特征值，P（X）为某一多项式，则矩阵P（A）的特征值是
kkkk
P
（1）,P（-2）JH，P（-n）。
特别地，A'
的特征值是’l,'
2,|l「n。
如果A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，且存在n个线性无关的特征向量；
不同特征值所对应的特征向量正交。
设A与B为相似矩阵，即存在非奇异阵P,使PAP丄=B，则A与B有相同的特征值。
如果A有n个不同的特征值，则存在一个相似变换矩阵P,使得P-1AP=D，其
中D是一个对角矩阵，它的对角线元素就是A的特征值。
定理五：
对于任意方阵A，存在一个酉变矩阵Q,使得QHAQ=T，其中T是一个上三角
H
矩阵，Q是Q是共轭转置矩阵。
推论：
如果A是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵Q，使QtAQ士，其中D是对角矩阵，
它的对角线元素是A的特征值，而Q的各列即为A的特征向量，并且QTQ=QQT=I。
定理六：
设A=（aJnnC（i|I1,是以aii为中心的一些圆，其半径为
A=瓦aik,i=1」||,n，设O=|Jci，则A的所有特征值都位于区域Q内。
1,k-iiA
是任意复向量，xH表示x的共轭转置。
定理八：
对任意非奇异矩阵A，有一1”鱼州鱼P（ATA），其中人i为A的任一特征
P[（ATA）]
值。
Vm二AUm斗
Amv。
max（Am4v0）
max（Vm）》‘1
2）求按模最大的特征值和对应的特征向量
第六章常微分方程的数值解法（差分法）
1）离散化方法：
Taylor展开、差商代替求导、数值积分
2）Euler公式：
工y（Xn1）—y（Xn.1）=hf（Xn,y（Xn））
y。
二
Euler隐式皿1）"
小hg，y（Xn1））（!
阶）lyo」
h
改进的Euler公式y（Xn1^y（Xn1^2（f（Xn,y（Xn））f（Xm,y（Xm）））（2阶精确解）ij0」
3）截断误差和P阶精确解：
截断误差Tn1=0（hP/l）
4）S级Runge-Kuta法
[S
yn1=ynh'
biki
=OKi=f（x,y）
i1
ki=f（Xnyh,ynh'
：
ijkj
yn1~n•hdk1hb2k2k1=f（Xn,yn）其中
k^f（XnC2h,ynh21k1
2c2
2C2
（2阶精度）
「21=6
2级Runge-Kuta法
C2的取值1/2（中点公式）、2/3（Heun公式）、1（改进的Euler方法）
5）单步法yn1二yn•hf（Xn,yn,h）（*）
相容性：
（xn,yn,0^f（Xryn）则（*）式与初值问题相容
收敛性：
对于固定的X^x0nh当h>
0时有yn>
y（xn）则称（*）式收敛
数值稳定性：
若一数值方法在yn上有扰动Sn而于以后的各节点值ym（m•n）上产生的偏差
均不超过Sn，则称该方法绝对收敛
y=ky「九ER,kcO
试验方程：
a,bl用以求解绝对稳定区间
W（0）=y°
0EC,Re（扎）cO
绝对收敛：
用单步法求解试验方程，若绝对收敛则称该方法绝对稳定
6）线性多步法德一般格式：
pp
y（Xn卅）=迟aiy（Xn_L）+h送biy（Xnd）
i=0i=1
局部阶段误差Tn=COy（xn）•Ghy（xn）•IH•Cqhqy（q）（xn）•II|（系数通过Taylor展开构
造）
p
CO=1-'
i=0
PP
其中<
G=1-[迟（-i）q+迟b]
i=0i=1
卜（—i）qa+q瓦（—i）q"
」=0i9
线性多步法的阶数通过误差系数来判断，最高阶数r=2p•2
7）线性多步法的收敛性判断：
C0=0G=0称线性多步法相容
满足根条件：
第一特征多项式：
十）二rp1八airp
第二特征多项式b（r）=：
Zbrp
当第一特征多项式所有根的模均不大于1,且模为1的根均是单根，称满足根条件
收敛相容且满足根条件
8）数值稳定性判断：
稳定多项式（特征多项式）二（r,h■）=f（r）-h■二（r）
令h'
氛二h，ri（h）是稳定多项式的根，r0（h^1o（h2）
若对任意hE[a,b]匚R有ri（h）兰r0（h），且当A（h）=r0（h）时，ri（h）为单根，则称
[a,b]为相对稳定区间;
若对任意h[a,b]R有ri（h）:
1，则称[a,b]为绝对稳定区间
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