简单几何体的面积与体积.doc

1、简单几何体的面积与体积教学目标：1. 熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.2.学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题.知识点梳理1.多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长直棱柱棱锥棱锥各侧面积之和正棱锥棱台棱台各侧面面积之和h(S上底+S下底+)正棱台 表中表示面积，、分别表示上、下底面周长，表斜高，表示斜高，表示侧棱长.2. 旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球V(即)表中分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台 上、下底面半径，表示半径.例题讲解题型1：柱体的体积和表面积例1

2、一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.例2如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=.（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积. 题型2：锥体的体积和表面积例3. 在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD， PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥PABCD的体积. 例4. 在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，且AC=BC=5，SB=5.（1）证明：SCBC

3、；（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（3）求三棱锥的体积VSABC.例5ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2， 求点B到平面EFC的距离？例6. 如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）AS1S2CS1=S2 DS1，S2的大小关系不能确定题型3：棱台的体积、面积及其综合问题例7. 在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下底面平行且

4、均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等， 侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且ac，bd，两底面间的距离为h.（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；（2）证明：EF面ABCD；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面h来计算.已知它的体积公式是 V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.题型4：球的体积、表面积例8已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积.例9. 如图，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=

5、PC=a，求这个球的表面积. 例10. 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，在球面上，如果 ，（1）求球的表面积；（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方 体棱长为，求球的表面积和体积.题型5：球的经纬度、球面距离问题例11. 我国首都靠近北纬纬线，（1）求北纬纬线的长度等于多少？（地球半径大约为）（2）在半径为的球面上有三点，求球心到经过这三点的截面的距离.随堂练习（一）选择题1. 如果棱台的两底面积分别是S、S，中截面的面积是S0，那么（ ） A B C2S0SS DS022SS2. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）

6、 A32 B28 C24 D203. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ） A2 B3 C6 D4. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( ) A1：2 B1：3 C1：4 D1：55. 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADEBCF均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为( ) A B C D6. 已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是( ) A B C D（二）填空题7. 如图，三棱柱中，若分别为的中点，平面将三棱柱分成体积为的两部分，那么= .8. 已知

7、三棱柱的体积为V，E是棱CC1上一点，三棱锥EABC的体积是V1，则三棱锥EA1B1C1 的体积是_.9. 已知某个几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是 .（三）解答题10. 如图在中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面 积和体积.11. 表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，（1）求这个正四棱柱的表面积.（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积.12. 在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为，求两点间的球面距离.家庭作业（一

8、）选择题1. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （ ） A B C D2. 如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a(a+b=h)，则酒瓶容积与瓶内酒的 体积之比为 （ ） A. 1+且a+bh B. 1+且a+bh D. 1+且a+bh3. 设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是 （ ） 4. 在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120（如图所示），若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体 的体积是 （ ） A B C D5. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积

9、为，则这个圆锥的全面积是 （ ） A B C D（二）填空题6. 如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r， 则= . 7. 如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及 点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要_个这样的几何体， 可以拼成一个棱长为6的正方体.8. 已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=_.（三）解答题9. 在右图所示的几何体中，平面PAC平面ABC，PMBC，

10、PA=PC，AC=1，BC=2PM=2，AB=若该几何体的 侧视图的面积为（1）求证：PABC；（2）画出该几何体的正视图，并求其面积S； （3）求出多面体ABMPC的体积V. 10. 如图，是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1AAB2.（1）求证：BC平面A1AC；（2）求三棱锥A1ABC的体积的最大值参考答案例题讲解例1解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得： 由（2）的平方得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）（1）得x2+y2+z2=16，即l2=16，所以l=4(cm).点

11、评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系.例2解析：（1）如图，连结A1O，则A1O底面ABCD，作OMAB交AB于M， 作ONAD交AD于N，连结A1M，A1N. 由三垂线定得得A1MAB，A1NAD.A1AM=A1AN， RtA1NARtA1MA，A1M=A1N，从而OM=ON. 点O在BAD的平分线上.（2）AM=AA1cos=3=，AO=. 又在RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9=，A1O=，平行六面体的体积为.例3. 解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由POABCD，得PBO是PB与平面ABCD所成的角， PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1， 由POBO， 于是PO=BOtan60=，而底面菱形的面积为2. 四棱锥PABCD的体积V=2=2.