简单几何体的面积与体积.doc

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简单几何体的面积与体积

教学目标：

1.熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.

2.学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题.

知识点梳理

1.多面体的面积和体积公式

名称

侧面积（S侧）

全面积（S全）

体积（V）

棱

柱

棱柱

直截面周长×

直棱柱

棱

锥

棱锥

各侧面积之和

正棱锥

棱

台

棱台

各侧面面积之和

h（S上底+S下底+）

正棱台

表中表示面积，、分别表示上、下底面周长，表斜高，表示斜高，表示侧棱长.

2.旋转体的面积和体积公式

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

V

（即）

表中分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台上、下底面半径，表示半径.

例题讲解

题型1：

柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.

例2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=.

（1）求证：

顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；

（2）求这个平行六面体的体积.

题型2：

锥体的体积和表面积

例3.在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，

PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积.

例4.在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5.

（1）证明：

SC⊥BC；

（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（3）求三棱锥的体积VS－ABC.

例5．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，

且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？

例6.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截

于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）

A．S1S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定

题型3：

棱台的体积、面积及其综合问题

例7.在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，

侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.

（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；

（2）证明：

EF∥面ABCD；

（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是

V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.

题型4：

球的体积、表面积

例8．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积.

例9.如图，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积.

例10.如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，在球面上，如果

，

（1）求球的表面积；

（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方

体棱长为，求球的表面积和体积.

题型5：

球的经纬度、球面距离问题

例11.我国首都靠近北纬纬线，

（1）求北纬纬线的长度等于多少？

（地球半径大约为）

（2）在半径为的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离.

随堂练习

（一）选择题

1.如果棱台的两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S0，那么（）

A．B．C．2S0＝S＋S′D．S02＝2S′S

2.已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）

A．32 B．28 C．24 D．20

3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）

A．2 B．3 C．6 D．

4.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（）

A．1：

2B．1：

3C．1：

4 D．1：

5

5.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE､△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）

A．B．C．D．

6.已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是（）

A．B．C．D．

（二）填空题

7.如图，三棱柱中，若分别为的中点，平面将三棱柱分成体积为的两部分，那么=.

8.已知三棱柱的体积为V，E是棱CC1上一点，三棱锥E—ABC的体积是V1，则三棱锥

E—A1B1C1的体积是________.

9.已知某个几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：

cm），可得这个几何体的体积是.

（三）解答题

10.如图在中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面

积和体积.

11.表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，

（1）求这个正四棱柱的表面积.

（2）正四面体ABCD的棱长为

a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积.

12.在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为，求两点间的球面距离.

家庭作业

（一）选择题

1.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）

A． B．C． D．

2.如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′（a′+b=h），则酒瓶容积与瓶内酒的

体积之比为（）

A.1+且a+b>hB.1+且a+b

C.1+且a+b>hD.1+且a+b

3.设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是（）

4.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体

的体积是（）

A． B． C． D．

5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（）

A． B．

C． D．

（二）填空题

6.如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，

则=.

7.如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及

点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，

可以拼成一个棱长为6的正方体.

8.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=________.

（三）解答题

9.在右图所示的几何体中，平面PAC⊥平面ABC，PM∥BC，PA=PC，AC=1，BC=2PM=2，AB=若该几何体的

侧视图的面积为

（1）求证：

PA⊥BC；

（2）画出该几何体的正视图，并求其面积S；

（3）求出多面体A—BMPC的体积V.

10.如图，是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A＝AB＝2.

（1）求证：

BC⊥平面A1AC；

（2）求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．

参考答案

例题讲解

例1．解：

设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm

依题意得：

由

（2）的平方得：

x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）

由（3）－

（1）得x2+y2+z2=16，即l2=16，所以l=4（cm）.

点评：

涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系.

例2．解析：

（1）如图，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD，作OM⊥AB交AB于M，

作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N.

由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN，

∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA，∴A1M=A1N，从而OM=ON.

∴点O在∠BAD的平分线上.

（2）∵AM=AA1cos=3×=，∴AO==.

又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－=，

∴A1O=，平行六面体的体积为.

例3.解：

（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，

∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO，

于是PO=BOtan60°=，而底面菱形的面积为2.

∴四棱锥P－ABCD的体积V=×2×=2.