盈不足问题Word格式.docx

1、 （1） （2） （3）按照这组公式，开始所述问题可得解有一个盈数和一个不足数是简单的标准的盈不足问题，使用公式（1）、（2）、（3）问题便迎刃而解。如果把这组公式作适当的变通，则可以解出“两盈”、“两不足”。“一盈一适足”、“一不足一适足”等问题。下面是这四类问题的例子。“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数金价各几何？”“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数羊价各几何？“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数豕价各几何？“今有共买犬，人出五，不足九十，人出五十，适足。问人数犬价各几何？以上四个问题的解题公式是：对于“两盈”或“两不足”问

2、题，有对于“一盈一适足”或“一不足一适足”问题，有其中a1、a2是前后两次付款数，b1、b2是相应的或盈，或不足，或适足数。据上述公式，可分别计算出上述四题的答案，按顺序为：33人，金价9800；21人，羊价150；10人，豕价900；2人，犬价100。在九章算术的盈不足章中，前八个题目是明显的盈不足问题。而后面的十二个题，在形式上不属于盈不足问题，但是作者仍然用盈不足术来解，十分巧妙。例如，“今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸，瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？有一堵高9尺的墙，墙顶上长一棵瓜，瓜蔓日长7寸往下爬；墙脚种瓠，瓠蔓日长1尺往上爬，问几天后瓜和瓠相逢，相逢时瓜和

3、瓠各长多少？我们假设生长了5日，瓜瓠共长了（0.71）5=8.5（尺），距9尺还差5寸，再设生长了6日，瓜瓠共长了（0.71）6=10.2（尺），比9尺又多出了1.2尺。即“假令五日，不足五寸，令之六日，有余一尺二寸。”可见，此时问题表现就是盈不足问题。瓜瓠相逢日数=瓜长长度=瓠长长度=这种计算方法在形式上是先采取两次假设，得出相应数值，以此为条件便构成盈不足问题，进而用盈不足术解之。盈不足术后来被传到西方，受到数学家们的高度重视，得到了辉煌的发展，在世界数学只上占有相当高的地位，特别是通过两次假设再使用盈不足术的解题方法（假设法）倍受人们推崇。13世纪的阿拉伯数学家们对“假设法”作了力学解释

4、，并称之为“秤盘法”。这在1222年伊本阿尔班纳的著作塔尔基斯中有记载“秤盘法是一种几何方法，其内容为：取一定形式的秤，并在支架上放上已知量。在一秤盘上放一任选量，然后根据要求增加，所得结果与已知量比较，如果任选量对了，则秤盘上的量即等于已知量；如果没选对，则记下这一盘的误差。然后，在另一秤盘中放入另一任选量，重复以上步骤。做完这些之后，将每盘误差乘以另一盘之量，如果两盘误差都是正数或都是负数，则从较大误差中减去较小误差，同时，从较大的乘积减去较小的乘积，之后，将乘积之差除以误差之差。如果两盘之误差一正一负，则将乘积之和除以误差之和。假设法（或称秤盘法）可以算是一种一次内插法，在高等数学中求某

5、些方程的近似实根时，要借助这种方法。著名科学史专家李瑟说得好：“盈和不足的要领在哲学上是十分重要的，它推动了所有的古代数学，也推动了希腊的生物学。第七讲 盈亏问题解盈亏问题，常常用到比较法。例1：三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动，如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖，这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？（共有少先队员9人，砖的总数是43块。）例2：妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少5个苹果，那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？（有苹果128个，计划吃20天。例3：学校规定上午8时到校，小明去上学，如

6、果每分钟走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？（小明7点40分离家去上学刚好8时到校；小明的家离校有600米。例4：学校为新生分配宿舍，每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，由空出3个房间，问宿舍有多少间？新生有多少人？（有19间宿舍，新生有80人）例5：少先队员去植树，如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完，问有多少先队员 参加植树，一共种多少树苗？（有7个少先队员，一共种38棵树。例6：红山小学学生乘汽车到香山春游，如果每车坐65人，则有5人不能乘

7、上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？（一共有15辆汽车，980名学生）练习：1、阿姨给幼儿园小朋友分饼干，如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干，问有多少小朋友，有多少块饼干？2、某校同学排队上操，如果每行站9人，则多37人；如果每行站12人，则少20人，一共有多少学生？3、小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，小强家到学校的路程是多少米？4、少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍，如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵；如果每人栽7棵苹果树苗，要少6棵，问有多少少先队员？他们准备栽多少棵苹果树和梨树？5、学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4 块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？