盈不足问题Word格式.docx

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（1）

（2）

（3）

按照这组公式，开始所述问题可得解

有一个盈数和一个不足数是简单的标准的盈不足问题，使用公式

（1）、

（2）、（3）问题便迎刃而解。

如果把这组公式作适当的变通，则可以解出“两盈”、“两不足”。

“一盈一适足”、“一不足一适足”等问题。

下面是这四类问题的例子。

“今有共买金，人出四百，盈三千四百；

人出三百，盈一百。

问人数金价各几何？

”

“今有共买羊，人出五，不足四十五；

人出七，不足三。

问人数羊价各几何？

“今有共买豕，人出一百，盈一百；

人出九十，适足。

问人数豕价各几何？

“今有共买犬，人出五，不足九十，人出五十，适足。

问人数犬价各几何？

以上四个问题的解题公式是：

对于“两盈”或“两不足”问题，有

对于“一盈一适足”或“一不足一适足”问题，有

其中a1、a2是前后两次付款数，b1、b2是相应的或盈，或不足，或适足数。

据上述公式，可分别计算出上述四题的答案，按顺序为：

33人，金价9800；

21人，羊价150；

10人，豕价900；

2人，犬价100。

在《九章算术》的盈不足章中，前八个题目是明显的盈不足问题。

而后面的十二个题，在形式上不属于盈不足问题，但是作者仍然用盈不足术来解，十分巧妙。

例如，“今有垣高九尺。

瓜生其上，蔓日长七寸，瓠生其下，蔓日长一尺。

问几何日相逢？

瓜、瓠各长几何？

有一堵高9尺的墙，墙顶上长一棵瓜，瓜蔓日长7寸往下爬；

墙脚种瓠，瓠蔓日长1尺往上爬，问几天后瓜和瓠相逢，相逢时瓜和瓠各长多少？

我们假设生长了5日，瓜瓠共长了（0.7＋1）×

5=8.5（尺），距9尺还差5寸，再设生长了6日，瓜瓠共长了（0.7＋1）×

6=10.2（尺），比9尺又多出了1.2尺。

即“假令五日，不足五寸，令之六日，有余一尺二寸。

”可见，此时问题表现就是盈不足问题。

瓜瓠相逢日数=

瓜长长度=

瓠长长度=

这种计算方法在形式上是先采取两次假设，得出相应数值，以此为条件便构成盈不足问题，进而用盈不足术解之。

盈不足术后来被传到西方，受到数学家们的高度重视，得到了辉煌的发展，在世界数学只上占有相当高的地位，特别是通过两次假设再使用盈不足术的解题方法（假设法）倍受人们推崇。

13世纪的阿拉伯数学家们对“假设法”作了力学解释，并称之为“秤盘法”。

这在1222年伊本—阿尔班纳的著作《塔尔基斯》中有记载“秤盘法是一种几何方法，其内容为：

取一定形式的秤，并在支架上放上已知量。

在一秤盘上放一任选量，然后根据要求增加，所得结果与已知量比较，如果任选量对了，则秤盘上的量即等于已知量；

如果没选对，则记下这一盘的误差。

然后，在另一秤盘中放入另一任选量，重复以上步骤。

做完这些之后，将每盘误差乘以另一盘之量，如果两盘误差都是正数或都是负数，则从较大误差中减去较小误差，同时，从较大的乘积减去较小的乘积，之后，将乘积之差除以误差之差。

如果两盘之误差一正一负，则将乘积之和除以误差之和。

假设法（或称秤盘法）可以算是一种一次内插法，在高等数学中求某些方程的近似实根时，要借助这种方法。

著名科学史专家李瑟说得好：

“盈和不足的要领在哲学上是十分重要的，它推动了所有的古代数学，也推动了希腊的生物学。

第七讲盈亏问题

解盈亏问题，常常用到比较法。

例1：

三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动，如果每人搬4块砖，还剩7块；

如果每人搬5块，则少2块砖，这个班少先队有几个人？

要搬的砖共有多少块？

（共有少先队员9人，砖的总数是43块。

）

例2：

妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；

如果每天吃6个，则又少5个苹果，那么妈妈买回的苹果有多少个？

计划吃多少天？

（有苹果128个，计划吃20天。

例3：

学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分钟走60米，可提早10分钟到校；

如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？

由家到学校的路程是多少？

（小明7点40分离家去上学刚好8时到校；

小明的家离校有600米。

例4：

学校为新生分配宿舍，每个房间住3人，则多出23人；

每个房间住5人，由空出3个房间，问宿舍有多少间？

新生有多少人？

（有19间宿舍，新生有80人）

例5：

少先队员去植树，如果每人种5棵，还有3棵没人种；

如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完，问有多少先队员参加植树，一共种多少树苗？

（有7个少先队员，一共种38棵树。

例6：

红山小学学生乘汽车到香山春游，如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；

如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？

（一共有15辆汽车，980名学生）

练习：

1、阿姨给幼儿园小朋友分饼干，如果每人分3块，则多出16块饼干；

如果每人分5块，那么就缺4块饼干，问有多少小朋友，有多少块饼干？

2、某校同学排队上操，如果每行站9人，则多37人；

如果每行站12人，则少20人，一共有多少学生？

3、小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；

如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，小强家到学校的路程是多少米？

4、少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍，如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵；

如果每人栽7棵苹果树苗，要少6棵，问有多少少先队员？

他们准备栽多少棵苹果树和梨树？

5、学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；

若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？