第4章牛顿插值法.pptx

1、数值计算方法,第4章插值法均差与牛顿插值公式,上一节回顾,插值问题满足插插值值多条项件式的存在唯一性 插值P余n(项xi)=f(xi),(i=0,1,2,n)n次插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn存在而且惟一.Lagrange插值多项式,插值函数,O,几何解释y,插值函数就是通过n+1个给定点的几何曲线。,x（插值）节点插值区间插值条件,Lagrange插值多项式的缺点,我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为,理论分析中很方便，但是当插值节点增减时全部插值 基函数就要随之变化，整个公式也将发生变化，这在 实际计算中是很不方便的；Lagrange 插值虽然易算，但

2、若要增加一个节点时，全部基函数 li(x)都需重新算过。,解决,由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数,基函数,有,再继续下去待定系 数的形式将更复杂。为此引入差商和差分的概念,差商(亦称均差)/*divideddifference*/,1阶差商/*the 1st divided difference of fw.r.t.xi and xj*/2阶差商,定义2.,0,0k 1,k 1,xk-xk 1,f x0,.,xk-1,xk-f x0,.,xk-1,xk

3、1,x-x,f x0,x1,.,xk-f x1,.,xk,xk 1,f x,.,x,(k+1)阶 差 商,差商的计算方法(表格法):,规定函数值为零阶差商,差商表,例 列出f(x)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值。解：列表计算,差商具有如下性质:,Warning:my head is exploding差W商ha的t is值th与e poxiin的t o顺f th序is 无for关mu！la?,Newton插值公式及其余项,12,n+1,1,+(xx0),2,+(x,x0)(x,xn),n+1,Nn(x),Rn(x),ai=f x0,xi,Newton插值公式及其余项,例：已知

4、x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商 公式求的近似值。,解,从而得二阶牛顿基本差商公式为,因此计算得,的近似值为,性质3,分段低次插值/*piecewise polynomial approximation*/,oscillating.,-4-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,-0.5-5,0,0.5,1,1.5,2,例：在 上考察的Ln(x)。取2.5,Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result,since high-degree polynomia

5、ls aren 越大，,端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象,Ln(x)f(x)Remember what I have said?,分段低次插值,也称折线插值,如右图 曲线的光滑性较差 在节点处有尖点但如果增加节点的数量 减小步长,会改善插值效果因此 则,分段线性插值/*piecewise linear interpolation*/在每个区间上，用1阶多项式(直线)逼近 f(x):,记，易证：当时，,一致,给定 在,导数一般不易得到。,失去了原函数的光滑性。How can we make a smooth分段Hermite插int值erp/*olHaetrimonitewpitieh

6、coeuwtiaseskpionlgynomials*/too much from f?,Headache 上利用两点的 y 及 y 构造3次Hermite函数,以下内容自学,上面我们讨论了节点任意分布的插值公式，但实际应 用时经常会遇到等距节点的情形，这时插值公式可以 进一步简化，计算也简单多了，为了给出等距节点的 插值公式，我们先来看一个新概念；,向前,向后,中心,差分算子,不在函数表上，要用到,函数表上的值,利用一阶差分可以定义二阶差分,差分,可以用归纳 法证明如,差分,差分表,差分与函数值之间的关系,归纳可知，k阶差商可表示为,在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,依此类推,Newton插值基本公式为,如果假设由差商与向前差分的关系,1.Newton向前(差分)插值公式,则插值公式,化为,其余项化为,称,为Newton向前插值公式,插值余项为,Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这点是Lagrange插值无法比的.但是Newton插值仍然没有改变Lagrange插值的插值曲线 在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导 等缺点.,