第4章牛顿插值法.pptx

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数值计算方法,第4章插值法均差与牛顿插值公式,上一节回顾,插值问题满足插插值值多条项件式的存在唯一性插值P余n（项xi）=f（xi）,（i=0,1,2,n）n次插值多项式Pn（x）=a0+a1x+a2x2+anxn存在而且惟一.Lagrange插值多项式,插值函数,O,几何解释y,插值函数就是通过n+1个给定点的几何曲线。

x（插值）节点插值区间插值条件,Lagrange插值多项式的缺点,我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为,理论分析中很方便，但是当插值节点增减时全部插值基函数就要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的；Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li（x）都需重新算过。

解决,由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？

显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数,基函数,有,再继续下去待定系数的形式将更复杂。

为此引入差商和差分的概念,差商（亦称均差）/*divideddifference*/,1阶差商/*the1stdivideddifferenceoffw.r.t.xiandxj*/2阶差商,定义2.,0,0k1,k1,xk-xk1,fx0,.,xk-1,xk-fx0,.,xk-1,xk1,x-x,fx0,x1,.,xk-fx1,.,xk,xk1,fx,.,x,（k+1）阶差商,差商的计算方法（表格法）:

规定函数值为零阶差商,差商表,例列出f（x）=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值。

解：

列表计算,差商具有如下性质:

Warning:

myheadisexploding差W商ha的tis值th与epoxiin的to顺fth序is无for关mu！

la?

Newton插值公式及其余项,12,n+1,1,+（xx0）,2,+（x,x0）（x,xn）,n+1,Nn（x）,Rn（x）,ai=fx0,xi,Newton插值公式及其余项,例：

已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商公式求的近似值。

解,从而得二阶牛顿基本差商公式为,因此计算得,的近似值为,性质3,分段低次插值/*piecewisepolynomialapproximation*/,oscillating.,-4-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,-0.5-5,0,0.5,1,1.5,2,例：

在上考察的Ln（x）。

取2.5,IncreasingthedegreeofinterpolatingpolynomialwillNOTguaranteeagoodresult,sincehigh-degreepolynomialsaren越大，,端点附近抖动越大，称为Runge现象,Ln（x）f（x）RememberwhatIhavesaid?

分段低次插值,也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果因此则,分段线性插值/*piecewiselinearinterpolation*/在每个区间上，用1阶多项式（直线）逼近f（x）:

记，易证：

当时，,一致,给定在,导数一般不易得到。

失去了原函数的光滑性。

Howcanwemakeasmooth分段Hermite插int值erp/*olHaetrimonitewpitiehcoeuwtiaseskpionlgynomials*/toomuchfromf?

Headache上利用两点的y及y构造3次Hermite函数,以下内容自学,上面我们讨论了节点任意分布的插值公式，但实际应用时经常会遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单多了，为了给出等距节点的插值公式，我们先来看一个新概念；,向前,向后,中心,差分算子,不在函数表上，要用到,函数表上的值,利用一阶差分可以定义二阶差分,差分,可以用归纳法证明如,差分,差分表,差分与函数值之间的关系,归纳可知，k阶差商可表示为,在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,依此类推,Newton插值基本公式为,如果假设由差商与向前差分的关系,1.Newton向前（差分）插值公式,则插值公式,化为,其余项化为,称,为Newton向前插值公式,插值余项为,Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这点是Lagrange插值无法比的.但是Newton插值仍然没有改变Lagrange插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.,