高等数学中不等式证明的研究.doc

1、高等数学中不等式证明的研究一、用单调性证明不等式一般方法：构造辅助函数判定单调性得所证不等式。基本依据：若在内单增； 若在内单减.例1（91）求证：时，.证明：令 ，则 ， 故在单减，所以 时，.例2（99）求证：时，.证明：若令，证明过程比较麻烦，我们可令，则，在上单减，故 ，即 .例3（93）求证：时，. (常数不等式一般化为函数不等式证明)分析： ，可令，证单减；或者，证，可令，证.证明：方法 令，则，所以在单减，又，所以，即.方法 令 ，则 ，所以在单增，所以，特别地令，得，即.例4（92）设，证明：，有.证明：令，则 ，又，在单减，而，故，在单增，故，从而有，特别地令，有.例5（06

2、）证明：时，.证明：令，则 ， .单减，单增. 又，即原不等式成立.二、用中值定理证明不等式一般方法：构造辅助函数据拉格朗日中值定理得等式由的范围得所证不等式。例6（04）设，证明：.证明：令，在上用拉氏定理，得 ，即 ，再令 ，单减，从而，即原不等式成立. 注：也可令 ，证.三、用最值证不等式（含或号）一般方法：构造辅助函数求其最大（小）值得所证不等式。基本依据：若为在上的最大值； 若为在上的最小值.例7.（99）证明:时，.证明:令，则， ，.为极小值点，但不能断定它是最小值点.又，.为的最小值点，.在上单增，又，在由负变正.故为的最小值点，即.注： 也可改证：时，；时；时，.四、用凹凸性证明不等式凹：；凸：，.一般方法：构造辅助函数判定凹凸性得所证不等式。例8.证明：证明：令，则，所以函数在是凹的，据凹凸性的定义可知，对任意的有，即.五、积分不等式的证明一般方法：构造含积分上限函数的辅助函数判定单调性得所证不等式。例9.设在上连续且单增，求证：.证明：令，则.时，有单增，.故原不等式成立.例10.（04）设，在上连续，且，,求证： .证明：令，由已知， ，.,即,.例11.（05）设，在上有连续导数，且，.证明：，有.证明:令 ，则， 单调不增，. .练习：在上连续，在内可导，.求证：.提示：令，令，则，故，所以，由条件，在上单调不减，得，即.4