高等数学中不等式证明的研究.doc

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高等数学中不等式证明的研究

一、用单调性证明不等式

一般方法：

构造辅助函数→判定单调性→得所证不等式。

基本依据：

若在内单增；

若在内单减.

例1（91）求证：

时，.

证明：

令，

则，故在单减，

，

所以时，.

例2（99）求证：

时，.

证明：

若令，证明过程比较麻烦，我们可令，

则，在上单减，

故，即.

例3（93）求证：

时，.（常数不等式一般化为函数不等式证明）

分析：

，可令，证单减；

或者，证，可令，证.

证明：

方法①令，则，所以在单减，又

，所以，即.

方法②令，则，

所以在单增，所以，，特别地令，得，即.

例4（92）设，证明：

，有.

证明：

令，则，又

，在单减，而，故，

，在单增，故，从而有

，特别地令，有.

例5（06）证明：

时，.

证明：

令，则

，

.

单减，，单增.又，，

即原不等式成立.

二、用中值定理证明不等式

一般方法：

构造辅助函数→据拉格朗日中值定理得等式→由的范围得所证不等式。

例6（04）设，证明：

.

证明：

令，在上用拉氏定理，得，即

，再令，

，单减，，从而，

即原不等式成立.

注：

也可令，证.

三、用最值证不等式（含≥或≤号）

一般方法：

构造辅助函数→求其最大（小）值→得所证不等式。

基本依据：

若为在上的最大值；

若为在上的最小值.

例7.（99）证明:

时，≥.

证明:

令，则，，，

，.为极小值点，但不能断定它是最小值点.

又，.为的最小值点，

≥.在上单增，又，在由负变正.故为的最小值点，≥，即≥.

注：

也可改证：

时，；时；时，

.

四、用凹凸性证明不等式

凹：

；凸：

，.

一般方法：

构造辅助函数→判定凹凸性→得所证不等式。

例8.证明：

证明：

令，则，所以函数在是凹的，据凹凸性的定义可知，对任意的有

，即.

五、积分不等式的证明

一般方法：

构造含积分上限函数的辅助函数→判定单调性→得所证不等式。

例9.设在上连续且单增，求证：

≥.

证明：

令，则.时，有

单增，≥.故原不等式成立.

例10.（04）设，在上连续，且≥，，

求证：

≤.

证明：

令，，由已知≥，，

，.

≤,

即≤,≤.

例11.（05）设，在上有连续导数，且，≥，≥.

证明：

，有≥.

证明:

令，则

≤，单调不增，

≥

.

≥.

练习：

在上连续，在内可导，，≤≤.求证：

≥.

提示：

令，，

令，则≥，

故≥，所以≥，由条件≥，≥，在上单调不减，得≥，即≥.

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