正弦定理与余弦定理Word文件下载.docx

1、xv - yu .第二形式：b2 + c2 - a2cos A = . 2bc 记忆：绝对“平行”的一半9.解三角形（按边分三类）（1）一边两角解数： 一解利用余弦定理，可以解决以下三类问题：（1）已知三边，求三个角（三边）；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角（两边夹角）；（3）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角（两边对角）.3.在ABC 中，有A + B + C = （内角和定理）；sin （ A + B） = sin C ， cos （ A + B） = -cosC ， tan （ A + B） = - tan C ；定理： 正弦定理（2）两边一角两边夹角解数：

2、余弦定理两边对角解数： 讨论 正、余弦定理（3）三边 一解或无解 余弦定理两边对角问题：（1）角 A 钝角abCA c B技巧：作未知边上的高10.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系， 并注意特殊角正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值 相等 ，互补角的余弦值互为 相反数 ，等； 11.三角恒等式的证明或三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的 边角互换 作用.三、过程与方法121.已知ABC 中，tanA 5 ，则 cosA（ ）a 13【答案】D【解析】tanA13 13 5 0，13（2）角 A 直角12A 是ABC 的内角， 2A.co

3、sA0.sin AtanA 5cos A12，且 sin2Acos2A1，cosA 12（3）角 A 锐角baA D c B b a b sin A ： 两解 a = b sin A ： a 13.2.在ABC 中，C90，则 tanAtanB 与 1 的大小关系是（ ）D不能确定【答案】BC90，AB90tan（AB）0，tanAtanB0，3.ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c， 若 a，b，c 成等比数列，且 c2a，则 cosB 等于（ ）A1 B 3 2 2D4 4 4 3ABC 的形2 ，则a、b、c 成等比数列，b2ac.状为（ ）A直角三角形B等边三角形又 c

4、2a，b22a2.C等腰三角形【答案】CD等腰直角三角形a2c2b22 ，得cosB2aca24a22a2 4a234.4.锐角ABC 中，b1，c2，则 a 的取值范围是（ ）1cosA，1cosBcosCsinBsinC，A1aB15sinBsinCcosBcosC1，C 3D不确定即 cos（BC）1，又BC0，即a25，a0， 即 a23，a 3， 故 3BC BBACCA DCB由正弦定理得 a b 1 22 23 2 ，C 4 D6【答案】A【解析】正弦定理sin 750sin Asin（300 450 ）sin 300 cos 450 cos 300 sin 450sin 30

5、sin B 2 ，sinB 3又B 为锐角，B60C90， 即 C A.2 64由a c ，得C A750 . B 300 ， sin B .又a 6 2 ，由正弦定理得a sin B 2 214 2 213225，b5，sin B所以ABC 外接圆的直径 2R b 5 2.10.已知a,b,c 分别是ABC 的三个内角A,B,C6 2 12 .所对的边，若a1，b ， A C2B ，2 6 2故选 A则sinC .【答案】1B C 180余弦定理另法：射影定理b a cosC c cos A.由A C2B 及A ，作高，简单 得B8.已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，60

6、 .c，若 a，b，c 满足（abc）（bca）3bc，则 A .sin 60由正弦定理，得 ，即【答案】3由已知得（bc）2a23bc，b2c2a2bc.sin A 1 .由a b ，得A B ，30 A ，C 180 A B180 30 60b2c2a2 1 2bc 2，cosA 1902，A sin 903.9.在ABC 中，a1，B45，SABC2，则ABC的外接圆的直径为 .【答案】5 2S 2又因为 SABC2， 所以 c4 2，由余弦定理得b2a2c22accosBsinC1 .11. ABC 的内角A，B，C 的对边分别为6，c2，B 120a，b，c ，若b ，则a .【答案

7、】解：（余弦定理）由b2a2 c2 2ac cos B ，得= 63 ，65b a6 a22 2 2a cos120 ，由正弦定理得， =sin B sin A21a2 2a4 0 .解得b = .1 2 13.在ABC 中，已知a2b cosC ，a 2 .求证： ABC 为等腰三角形.a2 b2 c22aba , 2b【解析】证：（正弦定理）c cosC， cosCc sin B .2bc2 .化简后得b2b c .2 sin 120 ABC 是等腰三角形. 另证：a 2b cosC ，由正弦定理，得2R sin A 2 2R sin B cosCc b ，C B ，C 是锐角，C ， A

8、 2 sin B cosCsin B Csin B cosC sin B cosCcos B sinC .cos B sinC0 ，即a c12. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin B C 0 ，C k k Z . B若 cos A = 4 ， cos C = 55 13， a =1，则b = . B,C 是三角形的内角， B ，即三角形为等腰三角形.另证：根据射影定理，有b cosC c cos B ， cos A = 4 ，cos C = 5 ，且 A, C 为三角形内角，又a 2b cosC ， sin A = 3 ， sin C = 12 ， 2b cosC

9、 b cosC c cos B ，b cosC c cos B ，即 sin B = sin （ A + C ）cos B .cosC= sin Acos C + cos Asin C16又 ， .tanCtan BC k k Zcos B , 即又cosCcos 180A Bcos A B cosC B C ，即三角形为等腰三角形.欲证ABC 为等腰三角形，可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只含角的三角函数.14.在ABC 中，已知cos A 3 ，点评：此题要求在利用同角的正、余弦平方关系时， 应根据已知的三角函数值确定角的范围，以便对正负进行取舍.15.在ABC 中，B

10、C a ， AC b ，a,b 是方程x2 2 3x 2 0 的两个根，且（1）角C 的度数；（2）边AB 的长度；（3） ABC 的面积. cos Asin B ，求cosC 的值.2 cos A B1 ，求：A 1800 ， sin A 4 .（1） cosCcos A B 1 .120a b 2 3ab sin B5 413 5sin A ，C .A,B 为三角形的内角， B A，（2）由题设，得 B 为锐角，c2a 2 b2 2ab cos 120a2 b2 cos B 12 . cos Acos A cos B3 12 4 5（a b）2 ab（2 3）2 2sin A sin B1

11、0 ，105 13 5 13即AB .（3）ABC1 ab sinC1 ab sin 12017= ac ， cos B = 15 ，a2 + c2 - b2 15 = ，2ac 171 2 3 a2 + c2 - b2 = 15， （a + c） - 2ac - b= 15 ，16. ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ， 已知sin（ A + C） = 8sin2 B .又 a + c = 6 ， 36 -17 - b2 = 15 ， b = 2 .（1）求cos B ；（2）若 a + c = 6 ， ABC 的面积为 2 ，求b .（1）由题设及 A+B+C=得sin B = 8sin2 B= 8 1- cos B = 4（1- cos B） .上式两边平方，得16（1- cos B）2 = sin2 B又sin2 B + cos2 B = 1 ，16（1- cos B）2 + cos2 B = 1 ， （17 cos B -15）（cos B -1） = 0 ， cos B = 15 ，或cos B =1（舍去）（2）由（1）可知sin B = 8 . SABC = 2 ， 1 ac sin B = 2 ， 1 ac 82 17= 2 ，