正弦定理与余弦定理Word文件下载.docx
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xv-yu.
第二形式：
b2+c2-a2
cosA=.
2bc
记忆：
绝对“平行”的一半
9.解三角形（按边分三类）
（1）一边两角
解数：
一解
利用余弦定理，可以解决以下三类问题：
（1）已知三边，求三个角（三边）；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角
（两边夹角）；
（3）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角（两边对角）.
3.在△ABC中，有
A+B+C=π（内角和定理）；
sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，tan（A+B）=-tanC；
定理：
正弦定理
（2）两边一角
①两边夹角解数：
余弦定理
②两边对角解数：
讨论
正、余弦定理
（3）三边
一解或无解
余弦定理两边对角问题：
（1）角A钝角
a
b
C
AcB
技巧：
作未知边上的高
10.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊角正、余弦关系的应用，比如互补角的
正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数，等；
11.三角恒等式的证明或三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用.
三、过程与方法
12
1.已知△ABC中，tanA＝－5，则cosA＝（）
a<
b：
无解
A．12B．5
C．－5
D．12
a=b：
a>
13
【答案】D
【解析】
∵tanA
1313
50，
－13
（2）角A直角
＝－12＜
A是△ABC的内角，
π
∴2＜A＜π.
∴cosA＜0.
∵sinA＝tanA5
cosA
＝－12，
且sin2A＋cos2A＝1，
∴cosA12
（3）角A锐角
ba
ADcB
b
①a>
bsinA：
两解
②a=bsinA：
③a<
＝－13.
2.在△ABC中，C＞90°
，则tanAtanB与1的大小关系是（）
D．不能确定
【答案】B
∵C＞90°
，
∴A＋B＜90°
∴tan（A＋B）＞0，tanA＋tanB＞0，
3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于（）
A．1B322
．
D
4．443
ABC的形
2，则△
∵a、b、c成等比数列，
∴b2＝ac.
状为（）
A．直角三角形
B．等边三角形
又c＝2a，
∴b2＝2a2.
C．等腰三角形
【答案】C
D．等腰直角三角形
a2＋c2－b2
2，得
∴cosB＝
2ac
a2＋4a2－2a2
＝4a2
＝
3
4.
4.锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是
（）
＝1＋cosA，
＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
A．1<
a<
B．1<
5
∴sinB·
sinC＋cosBcosC＝1，
C．3<
D．不确定
即cos（B－C）＝1，
又－π<
B－C<
π.
∴B－C＝0，
若a为最大边，则b2＋c2－a2>
0，即a2<
5，
∴a<
5，
若c为最大边，则a2＋b2－c2>
0，即a2>
3，
∴a>
3，故3<
5.
23
另法：
即B＝C．
∴△ABC为等腰三角形.7.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为
75
a,b,c，若ac62，且A，则
b
A．2B．4
5.在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°
，B为锐角，那么角A，B，C的大小关系为（）A．A>
B>
CB．B>
A>
C．C>
AD．C>
B
由正弦定理得
ab
12
22
32
＝，
C．4D．
6
【答案】A
【解析】正弦定理
sin750
sinA
sin（300450）
sin300cos450cos300sin450
sin30°
sinB
＝2，
∴sinB3
又∵B为锐角，
∴B＝60°
∴C＝90°
，即C>
A．
.
26
4
由ac，得CA
750.
∴B300，sinB.
又a62，由正弦定理得
asinB
22×
1×
42×
2
＝1＋32－
＝25，
∴b＝5，
sinB
所以△ABC外接圆的直径2R＝b
＝52.
10.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C
621
2.
所对的边，若a
1，b，AC
2B，
262
故选A．
则sinC.
【答案】1
BC180
余弦定理另法：
射影定理
bacosCccosA.
由AC
2B及A，
作高，简单得B
8.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，
60.
c，若a，b，c满足（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则A
＝.
sin60
由正弦定理，得，即
【答案】3
由已知得（b＋c）2－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc.
sinA1.
由ab，得AB，
30
∴A，
C180AB
1803060
b2＋c2－a21
∴2bc＝2，
∴cosA1
90
＝2，
∴Aπ
sin90
＝3.
9.在△ABC中，a＝1，B＝45°
，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为.
【答案】52
S
2
又因为S△ABC＝2，所以c＝42，
由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accosB
sinC
1.
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为
6，c
2，B120
a，b，c，若b，则
a
.
【答案】
解：
（余弦定理）
由b2
a2c22accosB，得
=63，
65
ba
6a2
222acos120，
由正弦定理得，=
sinBsinA
21
a22a
40.
解得b=.
1213.在△ABC中，已知a
2bcosC，
∴a2.
求证：
△ABC为等腰三角形.
a2b2c2
2ab
a,2b
【解析】证：
（正弦定理）
c
∵cosC
，cosC
csinB
∴.
2b
c2.
化简后得b2
∴bc.
2sin120
∴△ABC是等腰三角形.另证：
∵a2bcosC，由正弦定理，得
2RsinA22RsinBcosC
∵cb，
∴CB，
∴C是锐角，
C，A
∴2sinBcosC
sinBC
sinBcosC
∴sinBcosC
cosBsinC.
cosBsinC
0，即
ac
12.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
sinBC0，
CkkZ.
∴B
若cosA=4，cosC=5
513
，a=1，则b=.
∵B,C是三角形的内角，
∴B，即三角形为等腰三角形.
另证：
根据射影定理，有
bcosCccosB，
∵cosA=4，cosC=5，且A,C为三角形内角，
又∵a2bcosC，
∴sinA=3，sinC=12，
∴2bcosCbcosCccosB，
∴bcosCccosB，即
∴sinB=sin（A+C）
cosB.
cosC
=sinAcosC+cosAsinC
16
又∵，.
∴
tanC
tanB
CkkZ
cosB,即
又cosC
cos180
AB
cosAB
∴cosC
∴BC，即三角形为等腰三角形.
欲证△ABC为等腰三角形，可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只含角的三角函数.
14.在△ABC中，已知cosA3，
点评：
此题要求在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值确定角的范围，以便对正负进行取舍.
15.在△ABC中，
BCa，ACb，a,b是方程
x223x20的两个根，且
（1）角C的度数；
（2）边AB的长度；
（3）△ABC的面积.
∵cosA
sinB，求cosC的值.
2cosAB
1，求：
A180
0，
∴sinA4.
（1）∵cosC
cosAB1.
120
ab23
ab
∵sinB
54
135
sinA，
∴C.
A,B为三角形的内角，
∴BA，
（2）由题设，得
∴B为锐角，
∴c2
a2b22abcos120
a2b2
∴cosB12.
∴cosA
cosAcosB
31245
（ab）2ab
（23）22
sinAsinB
10，
10
513513
即AB.
（3）
ABC
1absinC
1absin120
17
=
∴ac，
∵cosB=15，
a2+c2-b215
∴=，
2ac17
123
∴a2+c2-b2=15，
∴（a+c）-2ac-b
=15，
16.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sin（A+C）=8sin2B.
又a+c=6，
∴36-17-b2=15，
∴b=2.
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b.
（1）由题设及A+B+C=π得
sinB=8sin2B
=8⋅1-cosB=4（1-cosB）.
上式两边平方，得
16（1-cosB）2=sin2B
又sin2B+cos2B=1，
∴16（1-cosB）2+cos2B=1，
∴（17cosB-15）（cosB-1）=0，
∴cosB=15，或cosB=1（舍去）．
（2）由
（1）可知sinB=8.
∵S△ABC=2，
∴1acsinB=2，
∴1ac⋅8
217
=2，
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