正弦定理与余弦定理Word文件下载.docx
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xv-yu.
第二形式:
b2+c2-a2
cosA=.
2bc
记忆:
绝对“平行”的一半
9.解三角形(按边分三类)
(1)一边两角
解数:
一解
利用余弦定理,可以解决以下三类问题:
(1)已知三边,求三个角(三边);
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角
(两边夹角);
(3)已知两边和其中一边的对角,求第三边和其它两个角(两边对角).
3.在△ABC中,有
A+B+C=π(内角和定理);
sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC;
定理:
正弦定理
(2)两边一角
①两边夹角解数:
余弦定理
②两边对角解数:
讨论
正、余弦定理
(3)三边
一解或无解
余弦定理两边对角问题:
(1)角A钝角
a
b
C
AcB
技巧:
作未知边上的高
10.在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系,并注意特殊角正、余弦关系的应用,比如互补角的
正弦值相等,互补角的余弦值互为相反数,等;
11.三角恒等式的证明或三角形形状的判断,重在发挥正、余弦定理的边角互换作用.
三、过程与方法
12
1.已知△ABC中,tanA=-5,则cosA=()
a<
b:
无解
A.12B.5
C.-5
D.12
a=b:
a>
13
【答案】D
【解析】
∵tanA
1313
50,
-13
(2)角A直角
=-12<
A是△ABC的内角,
π
∴2<A<π.
∴cosA<0.
∵sinA=tanA5
cosA
=-12,
且sin2A+cos2A=1,
∴cosA12
(3)角A锐角
ba
ADcB
b
①a>
bsinA:
两解
②a=bsinA:
③a<
=-13.
2.在△ABC中,C>90°
,则tanAtanB与1的大小关系是()
D.不能确定
【答案】B
∵C>90°
,
∴A+B<90°
∴tan(A+B)>0,tanA+tanB>0,
3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cosB等于()
A.1B322
.
D
4.443
ABC的形
2,则△
∵a、b、c成等比数列,
∴b2=ac.
状为()
A.直角三角形
B.等边三角形
又c=2a,
∴b2=2a2.
C.等腰三角形
【答案】C
D.等腰直角三角形
a2+c2-b2
2,得
∴cosB=
2ac
a2+4a2-2a2
=4a2
=
3
4.
4.锐角△ABC中,b=1,c=2,则a的取值范围是
()
=1+cosA,
=1-cosBcosC+sinBsinC,
A.1<
a<
B.1<
5
∴sinB·
sinC+cosBcosC=1,
C.3<
D.不确定
即cos(B-C)=1,
又-π<
B-C<
π.
∴B-C=0,
若a为最大边,则b2+c2-a2>
0,即a2<
5,
∴a<
5,
若c为最大边,则a2+b2-c2>
0,即a2>
3,
∴a>
3,故3<
5.
23
另法:
即B=C.
∴△ABC为等腰三角形.7.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为
75
a,b,c,若ac62,且A,则
b
A.2B.4
5.在△ABC中,已知a=1,b=3,A=30°
,B为锐角,那么角A,B,C的大小关系为()A.A>
B>
CB.B>
A>
C.C>
AD.C>
B
由正弦定理得
ab
12
22
32
=,
C.4D.
6
【答案】A
【解析】正弦定理
sin750
sinA
sin(300450)
sin300cos450cos300sin450
sin30°
sinB
=2,
∴sinB3
又∵B为锐角,
∴B=60°
∴C=90°
,即C>
A.
.
26
4
由ac,得CA
750.
∴B300,sinB.
又a62,由正弦定理得
asinB
22×
1×
42×
2
=1+32-
=25,
∴b=5,
sinB
所以△ABC外接圆的直径2R=b
=52.
10.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C
621
2.
所对的边,若a
1,b,AC
2B,
262
故选A.
则sinC.
【答案】1
BC180
余弦定理另法:
射影定理
bacosCccosA.
由AC
2B及A,
作高,简单得B
8.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,
60.
c,若a,b,c满足(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则A
=.
sin60
由正弦定理,得,即
【答案】3
由已知得(b+c)2-a2=3bc,
∴b2+c2-a2=bc.
sinA1.
由ab,得AB,
30
∴A,
C180AB
1803060
b2+c2-a21
∴2bc=2,
∴cosA1
90
=2,
∴Aπ
sin90
=3.
9.在△ABC中,a=1,B=45°
,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为.
【答案】52
S
2
又因为S△ABC=2,所以c=42,
由余弦定理得
b2=a2+c2-2accosB
sinC
1.
11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为
6,c
2,B120
a,b,c,若b,则
a
.
【答案】
解:
(余弦定理)
由b2
a2c22accosB,得
=63,
65
ba
6a2
222acos120,
由正弦定理得,=
sinBsinA
21
a22a
40.
解得b=.
1213.在△ABC中,已知a
2bcosC,
∴a2.
求证:
△ABC为等腰三角形.
a2b2c2
2ab
a,2b
【解析】证:
(正弦定理)
c
∵cosC
,cosC
csinB
∴.
2b
c2.
化简后得b2
∴bc.
2sin120
∴△ABC是等腰三角形.另证:
∵a2bcosC,由正弦定理,得
2RsinA22RsinBcosC
∵cb,
∴CB,
∴C是锐角,
C,A
∴2sinBcosC
sinBC
sinBcosC
∴sinBcosC
cosBsinC.
cosBsinC
0,即
ac
12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
sinBC0,
CkkZ.
∴B
若cosA=4,cosC=5
513
,a=1,则b=.
∵B,C是三角形的内角,
∴B,即三角形为等腰三角形.
另证:
根据射影定理,有
bcosCccosB,
∵cosA=4,cosC=5,且A,C为三角形内角,
又∵a2bcosC,
∴sinA=3,sinC=12,
∴2bcosCbcosCccosB,
∴bcosCccosB,即
∴sinB=sin(A+C)
cosB.
cosC
=sinAcosC+cosAsinC
16
又∵,.
∴
tanC
tanB
CkkZ
cosB,即
又cosC
cos180
AB
cosAB
∴cosC
∴BC,即三角形为等腰三角形.
欲证△ABC为等腰三角形,可证明其中有两角相等,因而在已知条件中化去边元素,使只含角的三角函数.
14.在△ABC中,已知cosA3,
点评:
此题要求在利用同角的正、余弦平方关系时,应根据已知的三角函数值确定角的范围,以便对正负进行取舍.
15.在△ABC中,
BCa,ACb,a,b是方程
x223x20的两个根,且
(1)角C的度数;
(2)边AB的长度;
(3)△ABC的面积.
∵cosA
sinB,求cosC的值.
2cosAB
1,求:
A180
0,
∴sinA4.
(1)∵cosC
cosAB1.
120
ab23
ab
∵sinB
54
135
sinA,
∴C.
A,B为三角形的内角,
∴BA,
(2)由题设,得
∴B为锐角,
∴c2
a2b22abcos120
a2b2
∴cosB12.
∴cosA
cosAcosB
31245
(ab)2ab
(23)22
sinAsinB
10,
10
513513
即AB.
(3)
ABC
1absinC
1absin120
17
=
∴ac,
∵cosB=15,
a2+c2-b215
∴=,
2ac17
123
∴a2+c2-b2=15,
∴(a+c)-2ac-b
=15,
16.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B.
又a+c=6,
∴36-17-b2=15,
∴b=2.
(1)求cosB;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
(1)由题设及A+B+C=π得
sinB=8sin2B
=8⋅1-cosB=4(1-cosB).
上式两边平方,得
16(1-cosB)2=sin2B
又sin2B+cos2B=1,
∴16(1-cosB)2+cos2B=1,
∴(17cosB-15)(cosB-1)=0,
∴cosB=15,或cosB=1(舍去).
(2)由
(1)可知sinB=8.
∵S△ABC=2,
∴1acsinB=2,
∴1ac⋅8
217
=2,