关于矩阵奇异值的不等式Word文件下载.docx

1、文献14-15研究了矩阵的奇异值不等式和范数不等式;文献16-17通过弱受控的一些知识得到了矩阵奇异值构成的向量和特征值构成的向量的弱受控关系,详细描述了矩阵酉不变范数的相关不等式本文借助以上相关研究和已有的奇异值不等式的结果,利用奇异值分解及排序不等式,获得了一些新的有关矩阵奇异值不等式的结论1 预备知识为了叙述方便,对符号约定如下:Rn表示实数域上的n维列向量的集合,A*表示矩阵A的共轭转置矩阵,AT表示矩阵A的转置;Mm,n表示mn阶矩阵的集合;tr（A）是矩阵A的迹,Mn表示n其他未加说明的符号参见文献3.定义14 如果A=（aij）Mn的每行每列有一个且只有一个元素为1,其余元素为0

2、,则称A是nn置换矩阵.定义25 设a1an,b1bn是两组实数,c1,cn是b1,bn的任一排列,称a1b1+anbn为a1,an与b1,bn的顺序和,a1bi1+anbin为a1,an与b1, ,bn的乱序和,a1bn+anb1为a1,an与b1,bn的反序和.引理15 在定义2中,称a1bn+anb1a1c1+ancna1b1+anbn为排序不等式,当且仅当a1=a2=an或b1=b2=bn时,反序和等于顺序和.引理23 矩阵AMn为双随机矩阵,当且仅当对某个N,存在置换矩阵P1,PNMn和正纯量1,NR,使得1+N=1,且A=1P1+NPN.引理31 设AMn是给定的非负矩阵,下面四条

3、等价:（1） A为次双随机矩阵.（2） A可以扩张成一个双随机矩阵,即A是一个双随机矩阵的左上角主子阵.（3） A是有限个部分置换矩阵的凸组合.（4） 存在一个双随机矩阵SMn,使得0AS.引理41 设AMm,n的奇异值1（A）q（A）0,且q=minm,n,对k=1,q,都有max|trAC|:CMn,m是秩为k的部分等距.引理51 设AMn的奇异值1（A）n（A）0,A的特征值|1（A）|n（A）|,那么,n.特别地,）.（2） 若实值函数f（t）在区间n（A）,1（A）是递增凸函数,则,n.2 主要结论及证明定理1 设x=（xi）,y=（yi）Rn,x1xn0,y1yn0,则（1） x1

4、y2+x2y1=x1y1+x2y2-（x1-x2）（y1-y2）x1y1+x2y2.（2） 对于任意的置换矩阵PMn,满足xTPyxTy.（3） 对于任意的双随机矩阵SMn,满足xTSyxTy.（4） 对于任意的次双随机矩阵QMn,满足xTQyxTy.（5）设AMm,n的奇异值分解A=VW*,则满足（6） 设X=（xij）Mm,k,Y=（yij）Mn,k,X*X=Y*Y=Ik,那么tr（X*AY）=（A）TZ,其中m,n,k.（7） max|tr（X*AY）|:XMm,k,YMn,k,X*X=I,Y*Y=I1（A）+k（A）.证明 （1） 由于x1xn0,y1yn0,因此x1-x20,y1-y

5、20, （x1-x2）（y1-y2）0.于是（2） 对于任意的置换矩阵PMn,y=（yi）Rn,y1yn0,Py可以看做是对y1,yn的任一排列,则由引理1得XTPyXTy.（3） 由引理2知,SMn是双随机矩阵,则对某个N,存在置换矩阵P1,PNMn和正纯量1,NR,使得1+N=1且S=1P1+NPN,再结合（2）的结论,于是（4） 由引理3知,Q为次双随机矩阵,则存在双随机矩阵S,使得0QS,结合（3）的结论得xTQyxTSyxTy.（5） AMm,n有奇异值分解A=VW*,其中VMm,WMn,Mm,n,那么对XMm,k,YMn,k,X*X=I,Y*Y=I,有X*AY=X*VW*Y=（V*

6、X）*（W*Y）,其中（V*X）*（V*X）=（W*Y）*（W*Y）=I.因此 X*AY:XMm,k,YMn,k,X*X=I,Y*Y=IX*Y:XMm,k,YMn,k,X*X=I,Y*Y=I.同理 X*Y:XMm,k,YMn,k,X*X=I,Y*Y=IX*AY:XMm,k,YMn,k,X*X=I,Y*Y=I.于是 X*AY:XMm,k,YMn,k,X*X=I,Y*Y=I=故 max|tr（X*AY）|:max|tr（X*Y）|:（6） 当mn时,q=n,此时于是其中.同理,当m1（A）-2（A）,即不满足（3）的结论.定理3 设AMn,则,n.其中UMn是任意的酉矩阵,标准正交向量x1,xkC

7、n.证明 由于,其中Xk的列向量标准正交,这里Xk=（x1 xk）Mn,k.由引理4得,由奇异值的酉不变性得i（UA）=i（A）,i=1,k,于是设A=VW*,V,WMn是酉矩阵,=diag（1（A）,n（A）,且1（A）n（A）0,令Xk=（x1 xk）Mn,k的列向量标准正交,U=WPnV*其中,此时U是酉矩阵.于是因此取U=WPnV*,Xk的列向量取标准正交向量时,等号成立.参考文献（References）：1 HOM R A,JOHNSON C R.Matrix analysisM.Cambridge:Cambridge University Press,1985:279-372.2

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15、998（4）:466-470.编辑、校对：师 琅启 事本刊已被中国学术期刊（光盘版）、清华同方“中国知网”、重庆维普“中国科技期刊数据库”、万方数据-数字化期刊群、中国科技期刊开放获取平台“COAJ”等收录，作者文章著作权使用费与本刊稿酬一次性付给，本刊不另付酬。凡不同意文章被收录入编的作者，请在投稿时声明（不影响论文被本刊录用）。本刊编辑部2016-03-20基金项目：国家自然科学基金资助项目（11471200）E-mail:rfangguo引文格式：宫琴,任芳国.关于矩阵奇异值的不等式J.纺织高校基础科学学报,2016,29（1）：1-7.GONG Qin,REN Fangguo.Study on singular value inequality of matrixJ.Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29（1）: