关于矩阵奇异值的不等式Word文件下载.docx

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文献[14-15]研究了矩阵的奇异值不等式和范数不等式;

文献[16-17]通过弱受控的一些知识得到了矩阵奇异值构成的向量和特征值构成的向量的弱受控关系,详细描述了矩阵酉不变范数的相关不等式．本文借助以上相关研究和已有的奇异值不等式的结果,利用奇异值分解及排序不等式,获得了一些新的有关矩阵奇异值不等式的结论．

1预备知识

为了叙述方便,对符号约定如下:

Rn表示实数域上的n维列向量的集合,A*表示矩阵A的共轭转置矩阵,AT表示矩阵A的转置;

Mm,n表示m×

n阶矩阵的集合;

tr（A）是矩阵A的迹,Mn表示n×

其他未加说明的符号参见文献[3].

定义1[4]如果A=（aij）∈Mn的每行每列有一个且只有一个元素为1,其余元素为0,则称A是n×

n置换矩阵.

定义2[5]设a1≤…≤an,b1≤…≤bn是两组实数,c1,…,cn是b1,…,bn的任一排列,称a1b1…+anbn为a1,…,an与b1,…,bn的顺序和,a1bi1+…+anbin为a1,…,an与b1,…,bn的乱序和,a1bn+…+anb1为a1,…,an与b1,…,bn的反序和.

引理1[5]在定义2中,称a1bn+…+anb1≤a1c1+…+ancn≤a1b1+…+anbn为排序不等式,当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.

引理2[3]矩阵A∈Mn为双随机矩阵,当且仅当对某个N<

∞,存在置换矩阵P1,…,PN∈Mn和正纯量α1,…,αN∈R,使得α1+…+αN=1,且A=α1P1+…+αNPN.

引理3[1]设A∈Mn是给定的非负矩阵,下面四条等价:

（1）A为次双随机矩阵.

（2）A可以扩张成一个双随机矩阵,即A是一个双随机矩阵的左上角主子阵.

（3）A是有限个部分置换矩阵的凸组合.

（4）存在一个双随机矩阵S∈Mn,使得0≤A≤S.

引理4[1]设A∈Mm,n的奇异值σ1（A）≥…≥σq（A）≥0,且q=min{m,n},对∀k=1,…,q,都有

max{|trAC|:

C∈Mn,m是秩为k的部分等距}.

引理5[1]设A∈Mn的奇异值σ1（A）≥…≥σn（A）≥0,A的特征值|λ1（A）|≥…≥|λn（A）|,那么

n.特别地,

）.

（2）若实值函数f（t）在区间[σn（A）,σ1（A）]是递增凸函数,则

n.

2主要结论及证明

定理1设x=（xi）,y=（yi）∈Rn,x1≥…≥xn≥0,y1≥…≥yn≥0,则

（1）x1y2+x2y1=x1y1+x2y2-（x1-x2）（y1-y2）≤x1y1+x2y2.

（2）对于任意的置换矩阵P∈Mn,满足xTPy≤xTy.

（3）对于任意的双随机矩阵S∈Mn,满足xTSy≤xTy.

（4）对于任意的次双随机矩阵Q∈Mn,满足xTQy≤xTy.

（5）设A∈Mm,n的奇异值分解A=VΣW*,则满足

（6）设X=（xij）∈Mm,k,Y=（yij）∈Mn,k,X*X=Y*Y=Ik,那么tr（X*AY）=σ（A）TZη,其中{m,n,k}.

（7）max{|tr（X*AY）|:

X∈Mm,k,Y∈Mn,k,X*X=I,Y*Y=I}≤σ1（A）+…+σk（A）.

证明

（1）由于x1≥…≥xn≥0,y1≥…≥yn≥0,因此x1-x2≥0,y1-y2≥0,（x1-x2）（y1-y2）≥0.于是

（2）对于任意的置换矩阵P∈Mn,y=（yi）∈Rn,y1≥…≥yn≥0,Py可以看做是对y1,…,yn的任一排列,则由引理1得XTPy≤XTy.

（3）由引理2知,S∈Mn是双随机矩阵,则对某个N<

∞,存在置换矩阵P1,…,PN∈Mn和正纯量α1,…,αN∈R,使得α1+…+αN=1且S=α1P1+…+αNPN,再结合

（2）的结论,于是

（4）由引理3知,Q为次双随机矩阵,则存在双随机矩阵S,使得0≤Q≤S,结合（3）的结论得xTQy≤xTSy≤xTy.

（5）A∈Mm,n有奇异值分解A=VΣW*,其中V∈Mm,W∈Mn,Σ∈Mm,n,那么对∀X∈Mm,k,Y∈Mn,k,X*X=I,Y*Y=I,有

X*AY=X*VΣW*Y=（V*X）*Σ（W*Y）,其中（V*X）*（V*X）=（W*Y）*（W*Y）=I.

因此{X*AY:

X∈Mm,k,Y∈Mn,k,X*X=I,Y*Y=I}⊂

{X*ΣY:

X∈Mm,k,Y∈Mn,k,X*X=I,Y*Y=I.

同理{X*ΣY:

X∈Mm,k,Y∈Mn,k,X*X=I,Y*Y=I⊂

{X*AY:

X∈Mm,k,Y∈Mn,k,X*X=I,Y*Y=I}.

于是{X*AY:

X∈Mm,k,Y∈Mn,k,X*X=I,Y*Y=I}=

故max{|tr（X*AY）|:

max{|tr（X*ΣY）|:

（6）当m≥n时,q=n,此时

于是

其中.

同理,当m<

n时,tr（X*ΣY）=σ（A）Zη也成立.

（7）由于

将X扩充成X1=[X⋮X0]∈Mm,将Y扩充成Y1=[Y⋮Y0]∈Mn,且,即X1,Y1为酉矩阵,因为.则也是酉矩阵.

则是次双随机矩阵,结合（4）的结论得σ（A）TZη≤σ（A）Tη.因此,

根据引理4,设A的奇异值分解A=VΣW*,其中V∈Mm,W∈Mn,Σ∈Mm,n,且V,W为酉矩阵,取C=YX*为秩为k的部分等距.令Cmax=WPkV*,即

那么

因此,当YX*=WPkV*时,等号成立.

定理2设A=（aij）∈Mm,n,q=min{m,n},A的主对角元素构成的列向量是a≡（a11,…,aqq）T∈Cq,且|a|[1]≥…≥|a|[q]是A的主对角元素的绝对值按递减顺序排列,A的奇异值构成的列向量是σ（A）≡（σ1（A）,…,σq（A））T∈Rq,且σ1（A）≥…≥σq（A）,那么

（1）|a|[1]+…+|a|[k]≤σ1（A）+…+σk（A）,k=1,…,q.

q.

（3）对于,则[σ1（A）-σ2（A）]≥（|a|-|d|）2,且∀A∈M2有|a|[1]-|a|[2]≤σ1（A）-σ2（A）.

（4）设σ1≥σ2≥0,a1,a2∈C,|a1|≥|a2|,且|a1|+|a2|≤σ1+σ2,|a1|-|a2|≤σ1-σ2.那么存在A∈M2,使得a1,a2是A的主对角元素,σ1,σ2是A的奇异值.

证明

（1）设A∈Mm,n的奇异值分解A=VΣW*,其中V∈Mm,W∈Mn,V,W都是酉矩阵,则

.

这里

因此

由引理5知

即|a|[1]+…+|a|[k]≤σ1（A）+…+σk（A）,k=1,…,q.

（2）设f（t）=t2,则f（t）在区间{min（|a|[q],σq（A））,σ1（A）}是递增凸函数,结合引理5中

（2）和定理2中

（1）的结论知,q.即

则,q.

则A的特征值的绝对值为其奇异值,于是

tr（A*A）=λ1（A*A）+λ2（A*A）,|detA|=|λ1（A）λ2（A）|=σ1（A）σ2（A）,

则

又因为

tr（A*A）=|a|2+|b|2+|c|2+|d|2,|detA|=|ad-bc|,

其中|a|,|d|是矩阵A的主对角元的绝对值.

对于A∈M2,记|a|[1],|a|[2]是A的主对角元的绝对值,且|a|[1]≥|a|[2],σ1（A）,σ2（A）是A的奇异值,且σ1（A）≥σ2（A）,就有（|a|[1]-|a|[2]）2≤（σ1（A）-σ2（A））2,又因为|a|[1]≥|a|[2],σ1（A）≥σ2（A）,于是|a|[1]-|a[2]|≤σ1（A）-σ2（A）.

（4）设σ1≥σ2≥0,a1,a2∈C,|a1|≥|a2|,而且|a1|+|a2|≤σ1+σ2,|a1|-|a2|≤σ1-σ2,则有（|a1|+|a2|）2≤（σ1+σ2）2,（|a1|-|a2|）2≤（σ1-σ2）2,即,即,然而2||a1a2|-σ1σ2|≥||a1a2|-σ1σ2|,因此.

设,则，结合定理2中（3）知.构造一个对角酉矩阵.则

其中a1,a2是A的主对角元.

detA=det（DB）=detD·

detB=|a1a2|-ξη=σ1σ2,

于是σ1,σ2是A的奇异值.

注

（1）当的主对角元的奇异值是成立,即满足

（1）的结论.

成立,即满足

（2）的结论.

（3）然而,a1-a2>

σ1（A）-σ2（A）,即不满足（3）的结论.

定理3设A∈Mn,则,n.其中U∈Mn是任意的酉矩阵,标准正交向量{x1,…,xk}⊂Cn.

证明由于,其中Xk的列向量标准正交,这里Xk=（x1…xk）∈Mn,k.

由引理4得,由奇异值的酉不变性得σi（UA）=σi（A）,i=1,…,k,于是

设A=VΣW*,V,W∈Mn是酉矩阵,Σ=diag（σ1（A）,…,σn（A））,且σ1（A）≥…≥σn（A）≥0,令Xk=（x1…xk）∈Mn,k的列向量标准正交,U=WPnV*其中,此时U是酉矩阵.于是

因此取U=WPnV*,Xk的列向量取标准正交向量时,等号成立.

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编辑、校对：

师琅

启事

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本刊编辑部

2016-03-20

基金项目：

国家自然科学基金资助项目（11471200）

E-mail:

rfangguo@

引文格式：

宫琴,任芳国.关于矩阵奇异值的不等式[J].纺织高校基础科学学报,2016,29

（1）：

1-7.

GONGQin,RENFangguo.Studyonsingularvalueinequalityofmatrix[J].BasicSciencesJournalofTextileUniversities,2016,29

（1）: