中考数学压轴题及解析分类汇编教师版.doc

1、 20132013 年中考数学压轴题及解析分类汇编年中考数学压轴题及解析分类汇编 2013 年中考数学压轴题及解析分类汇编年中考数学压轴题及解析分类汇编 2013 中考数学压轴数学压轴：相似三角形：相似三角形问题问题 2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题(一)2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)2013 中考数学压轴：等腰三角形问题中考数学压轴：等腰三角形问题 2013 中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)2013 中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)2013 中考数学压轴题函数等腰三角形问题(三)2013 中考数学压轴：直

2、角三角形问题中考数学压轴：直角三角形问题 2013 中考数学压轴题函数直角三角形问题(一)2013 中考数学压轴题函数直角三角形问题(二)2013 中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)2013 中考数学压轴数学压轴：平行四：平行四边边形形问题问题 2013 中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)2013 中考数学压轴题函数平行四边形问题(二)2013 中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)2013 中考数学压轴：梯形问题中考数学压轴：梯形问题 2013 中考数学压轴题函数梯形问题(一)2013 中考数学压轴题函数梯形问题(二)2013 中考数学压轴题函数梯形问题(三)2013 中考数学压轴：

3、面积问题中考数学压轴：面积问题 2013 中考数学压轴题函数面积问题(一)2013 中考数学压轴题函数面积问题(二)2013 中考数学压轴题函数面积问题(三)2013 中考数学压轴题中考数学压轴题:函数相似三角形问题函数相似三角形问题(一一)例例 1 直线113yx=+分别交x轴、y轴于 A、B 两点，AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90 后得到COD，抛物线 yax2bxc 经过 A、C、D 三点(1)写出点 A、B、C、D 的坐标；(2)求经过 A、C、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G 的坐标；(3)在直线 BG 上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与COD

4、 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“11 闸北 25”，拖动点 Q 在直线 BG 上运动，可以体验到，ABQ 的两条直角边的比为 13 共有四种情况，点 B 上、下各有两种 思路点拨思路点拨 1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角 2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标 3第（3）题判断ABQ90是解题的前提 4ABQ 与COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点 Q 与点B 的位置关系分上下两种情形，点 Q 共有 4 个 满分解答满分解答 （1）A(3，0)，B(

5、0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因为抛物线 yax2bxc 经过 A(3，0)、C(0，3)、D(1，0)三点，所以930,3,0.abccabc+=+=解得1,2,3.abc=所以抛物线的解析式为 yx22x3(x1)24，顶点 G 的坐标为(1，4)（3）如图 2，直线 BG 的解析式为 y3x1，直线 CD 的解析式为 y3x3，因此 CD/BG 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以 ABCD 因此 ABBG，即ABQ90 因为点 Q 在直线 BG 上，设点 Q 的坐标为(x，3x1)，那么22(3)10BQxxx=+=RtCOD 的两条直角边的比为 13，如果

6、 RtABQ 与 RtCOD 相似，存在两种情况：当3BQBA=时，10310 x=解得3x=所以1(3,10)Q，2(3,8)Q 当13BQBA=时，101310 x=解得13x=所以31(,2)3Q，41(,0)3Q 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明 ABBG；二是22(3)10BQxxx=+=我们换个思路解答第（3）题：如图 3，作 GHy 轴，QNy 轴，垂足分别为 H、N 通过证明AOBBHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG90 在 RtBGH 中，1sin110=，3cos110=当3BQBA=时，3 1

7、0BQ=在 RtBQN 中，sin 13QNBQ=，cos 1 9BNBQ=当 Q 在 B 上方时，1(3,10)Q；当 Q 在 B 下方时，2(3,8)Q 当13BQBA=时，1103BQ=同理得到31(,2)3Q，41(,0)3Q 例例 2 2 RtABC在直角坐标系内的位置如图 1所示，反比例函数(0)kykx=在第一象限内的图像与 BC边交于点 D（4，m），与 AB边交于点 E（2，n），BDE的面积为 2 （1）求 m 与 n 的数量关系；（2）当 tanA12时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的表达式；（3）设直线 AB 与 y 轴交于点 F，点 P 在射线 FD 上，在（2

8、）的条件下，如果AEO与EFP 相似，求点 P 的坐标 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“11 杨浦 24”，拖动点 A 在 x 轴上运动，可以体验到，直线 AB 保持斜率不变，n 始终等于 m 的 2 倍，双击按钮“面积 BDE2”，可以看到，点 E 正好在 BD 的垂直平分线上，FD/x 轴拖动点 P 在射线 FD 上运动，可以体验到，AEO 与EFP 相似存在两种情况 思路点拨思路点拨 1探求 m 与 n 的数量关系，用 m 表示点 B、D、E 的坐标，是解题的突破口 2第（2）题留给第（3）题的隐含条件是 FD/x 轴 3如果AEO 与EFP 相似，因为夹角相等，根据对应

9、边成比例，分两种情况 满分解答满分解答 （1）如图 1，因为点 D（4，m）、E（2，n）在反比例函数kyx=的图像上，所以4,2.mknk=整理，得 n2m（2）如图 2，过点 E 作 EHBC，垂足为 H在 RtBEH 中，tanBEHtanA12，EH2，所以 BH1因此 D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1)已知BDE 的面积为 2，所以11(1)2222BD EHm=+=解得 m1 因此 D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)因为点 D（4，1）在反比例函数kyx=的图像上，所以 k4因此反比例函数的解析式为4yx=设直线AB的解析式为ykxb，代入B(4，3)、E(2，2

10、)，得34,22.kbkb=+=+解得12k=，1b=因此直线 AB 的函数解析式为112yx=+图 2 图 3 图 4（3）如图 3，因为直线112yx=+与 y 轴交于点 F（0，1），点 D 的坐标为（4，1），所以 FD/x 轴，EFPEAO因此AEO 与EFP 相似存在两种情况：如图 3，当EAEFAOFP=时，2 552FP=解得 FP1 此时点 P 的坐标为（1，1）如图 4，当EAFPAOEF=时，2 525FP=解得 FP5 此时点 P 的坐标为（5，1）考点伸展考点伸展 本题的题设部分有条件“RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条

11、件不变，那么还有如图 5 的情况：第（1）题的结论 m 与 n 的数量关系不变 第（2）题反比例函数的解析式为12yx=，直线 AB 为172yx=第（3）题 FD 不再与 x 轴平行，AEO 与EFP 也不可能相似 图 5 2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题中考数学压轴题函数相似三角形问题(二二)例例 3 3 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1，

12、得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1 设梯形 O1A1B1C1的面积为 S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)用含 S 的代数式表示 x2x1，并求出当 S=36 时点 A1的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物

13、线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“10 义乌 24”，拖动点 I 上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x2x1随 S 的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点 Q 在 DM 上运动，可以体验到，如果GAFGQE，那么GAF 与GQE 相似 思路点拨思路点拨 1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x1，我们反其道而行之，用 x1，x2表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2y13通过代数变形就可以了 2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，

14、因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证 3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G在 x 轴的下方，或者假设交点 G 在 x 轴的上方 满分解答满分解答 （1）抛物线的对称轴为直线1x=，解析式为21184yxx=，顶点为 M（1，18）（2）梯形 O1A1B1C1的面积12122(11)3()62xxSxx+=+，由此得到1223sxx+=+由于213yy=，所以22212211111138484yyxxxx=+=整理，得212111()()384xxxx+

15、=因此得到2172xxS=当 S=36 时，212114,2.xxxx+=解得126,8.xx=此时点 A1的坐标为（6，3）（3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ 与x 轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与GQE，有一个公共角G 在GEQ 中，GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值 在GAF 中，GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF 因此只存在GQEGAF 的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD 由于3tan4GAF=，tan5DQtPQDQPt=，所以345tt=解得207t=图 3 图

16、 4 考点伸展考点伸展 第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3 例例 4 4 如图 1，已知点 A(-2，4)和点 B(1，0)都在抛物线22ymxmxn=+上（1）求 m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边形 A ABB 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为 C，试在 x 轴上找一个点 D，使得以点 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 相似 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“10 宝山 24”，拖动点 A向右平移，可以体验到，平移5 个单位后，四边形 A ABB 为菱形 再拖动点 D 在 x 轴上运动，可以体验到，BCD 与ABC 相似有两种情况 思路点拨思路点拨 1点 A 与点 B 的坐标在 3 个题目中处处用到，各具特色第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点 B 的坐标、AC 和 BC 的