18空间向量在立体几何中的应用Word格式.docx

1、7.（13分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB=1，E为BC的中点（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由 17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得。，所以异面直线与所成角的余弦值为.A（2）假设在线段上存在点，使得平面.,可设又.由平面，得即故，此时.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时.8.（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 （I）证明：（II）设二面角为60，求与平面所成的角的大小。分析一：求与平面所

2、成的线面角，只需求点到面的距离即可。19（本小题满分12分，（）问5分，（）问7分）如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，求：（）点到平面的距离；（）二面角的大小 （）如答（19）图2，以S（O）为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面即点A在xoz平面上，因此又因AD/BC，故BC平面CSD，即BCS与平面yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.（）易知C（0,2,0），D（,0,0）. 因E为BS的中点.BCS为直角三角形 ,知 设B（0,2, ），0，则2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .在CD上取点G，设G（），使GECD

3、 .由故 又点G在直线CD上，即，由=（），则有联立、，解得G,故=.又由ADCD，所以二面角ECDA的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .因为=，,所以故所求的二面角的大小为 .作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。以下略。分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主

4、要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。9（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：（）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 设则，（）， ACDP，ACDB，AC平面PDB， 平面.（）当且E为PB的中点时， 设ACBD=O，连接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO为AE与平面PDB所的角， ， ，即AE与平面PDB所成的角的大小为.10.（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分） 如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB/D

5、C，BAD=，CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA平面ABCD，FC=3，ED=，求： （）直线AB到平面EFCD的距离： （）二面角F-AD-E的平面角的正切值，18.（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，D是的中点，点E在上，且。（I） 证明平面平面（II） 求直线和平面所成角的正弦值。解 （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A（

6、0,-1,0）， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。易知=（，1，0）， =（0，2，）， =（，-，） 设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有解得x=-y， z=-，故可取n=（1，-，）。所以，（n）=。由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。11.（本小题满分12分） 如图3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE（）证明：平面平面;（）求直线AD和平面所成角的正弦值。解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A（2,0,0,）, .（2,0, ）, D（-1, ）,

7、 E（-1,0.0）易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）设n=（x，y，z）是平面DE的一个法向量，则解得故可取n=（,0,-3，）于是 = 由此即知，直线AD和平面DE所成的角是正弦为12（本小题满分12分）在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则， 所以所求角的大小为。（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离

8、的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。19（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。（）因为ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因为平面ABEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D （1,

9、 0, 0 ） ,E （ 0, 0, 1 ）, C （ 1, 1, 0 ）.因为FA=FE, AEF = 45所以AFE= 90.从而，.所以,.,.所以EFBE, EFBC.因为BE平面BCE,BCBE=B , 所以EF平面BCE. （）存在点M,当M为AE中点时,PM平面BCE. M （ 0,0, ）, P （ 1, ,0 ）. 从而=,于是=0 所以PMFE,又EF平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PMM平面BCE. .8分（）设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）. ， 即 取y=1，则x=1，z=3。从而。 取平面ABD的一个法向量为。 。故二面角F-BD-A的大小

10、为arccos。.12分14.（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，,求二面角的大小。简答：第一部分 五年高考荟萃2009年高考题2005-2008年高考题解答题1. （2008全国19）（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，点在上且（）求二面角的大小以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，（）证明 因为，故，又，所以平面（）解 设向量是平面的法向量，则，令，则，等于二面角的平面角， 所以二面角的大小为2. （2008安徽）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离。作于点P

11、,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,（1）证明 设平面OCD的法向量为,则即 取,解得 （2）解 设与所成的角为, , 与所成角的大小为.（3）解 设点B到平面OCD的距离为， 则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为3. （2008湖南17 ）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（

12、0，0，2）, （）证明 因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE平面PAB. （）解 易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得 所以 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是4. （2008福建18）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD底面 ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC AD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.PO平面ABCD；（）求异面直线PD与CD所成角的大小；（）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求

13、出的值；若不存在，请说明理由.（）证明 在PAD中PA=PD,O为AD中点，所以POAD,又侧面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.（）解 以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A（0,-1,0）,B（1,-1,0）,C（1,0,0）,D（0,1,0）,P（0,0,1）,所以所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，（）解 假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由（）知设平面PCD的法向量为n=（x0,y0,z0）.则所以即，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=（1,1,1）.设

14、由，得解y=-或y=（舍去），此时，所以存在点Q满足题意，此时.5. （2007福建理?18）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大小；（）求点C到平面A1BD的距离；（）证明 取中点，连结 为正三角形， 在正三棱柱中，平面平面， 平面取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，平面 （）解 设平面的法向量为令得为平面的一个法向量由（）知平面，为平面的法向量二面角的大小为（）解 由（），为平面法向量， 点到平面的距离6.（2006广东卷）如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，

15、AD8,BC是O的直径，ABAC6，OE/AD.（）求二面角B-AD-F的大小；（）求直线BD与EF所成的角.解 （）AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角B-AD-F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角B-AD-F的大小为450.（）以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为7.（2005江西）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=A

16、A1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为.以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x, y, z轴，建 立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）（1）证明 （2）解 因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）解 设平面D1EC的法向量， 由 令b=1, c=2,a=2x， 依题意 （不合，舍去），

17、.AE=时，二面角D1-EC-D的大小为.第二部分 三年联考汇编2009年联考题解答题1.（湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题）如图，P-ABCD是正四棱锥，是正方体，其中 （2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）求到平面PAD的距离以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系（1）证明 设E是BD的中点，P-ABCD是正四棱锥， 又， ， 即。（2）解 设平面PAD的法向量是， 取得，又平面的法向量是 ， 。（3）解 到平面PAD的距离。2. （陕西省西安铁一中2009届高三12月月考）如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC，M为BC的中点（）

18、证明：AMPM ；（）求二面角PAMD的大小；（）求点D到平面AMP的距离。（） 证明 以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系, 依题意，可得 即,AMPM . （）解 设，且平面PAM，则 即 ， 取，得 取，显然平面ABCD， 结合图形可知，二面角PAMD为45 （） 设点D到平面PAM的距离为，由（）可知与平面PAM垂直，则 = 即点D到平面PAM的距离为 3.（厦门市第二外国语学校2008-2009学年高三数学第四次月考）已知点H在正方体的对角线上，HDA=（）求DH与所成角的大小；（）求DH与平面所成角的大小 解：以为原点，为单位长建立空间直角坐

19、标系则，连结，设，由已知，由可得解得，所以（）因为，所以即DH与所成的角为（）平面的一个法向量是因为， 所以可得DH与平面所成的角为4.（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离 证明 连结OC， 在中，由已知可得 而， 即 平面 （2）解 以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 异面直线AB与CD所成角的余弦值为解 设平面ACD的法向量为则，令得是平面ACD的一个法向量又 点E到平面ACD的距离 5.（广东省高明一中2009届高三上学期第四次月

20、考）如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.（1） 求证：（2） 求证：平面平面；（3） 求直线和平面所成角的正弦值.设，建立如图所示的坐标系，则为的中点，. （1） 证明 ， ，平面，平面. （2） 证明 ， ，. 平面，又平面， 平面平面. （3） 解 设平面的法向量为，由可得： ，取. 又，设和平面所成的角为，则 .直线和平面所成角的正弦值为. 6. （2009年广东省广州市高三年级调研测试）如图，已知 等腰直角三角形，其中=90o， 点A、D分别是、的中点，现将沿着边 折起到位置，使，连结、（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值 （1）证明 点A、D分别是、的中点， . =

21、90o. . , , 平面. 平面,（2）解 建立如图所示的空间直角坐标系 则（1，0，0），（2，1，0），（0，0，1）.=（1，1，0），=（1，0，1）, 设平面的法向量为=（x，y，z），则： ， 令，得，=（1，1，1）.显然，是平面的一个法向量，=（） cos= 二面角的平面角的余弦值是. 9月份更新1. 连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点M 弦AB、CD可能相交于点NMN的最大值为5 MN的最小值为l，其中真命题的个数为 A1个 B2

22、个 C3个 D4个答案 C2.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A.B.C.D.3.等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 答案 .4.如图，在三棱锥中，（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离解法一：（）取中点，连结，平面平面，（），又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，二面角的大小为（）由（）知平面，平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离由（）知，又，且，平面平面，在中，

23、 点到平面的距离为解法二：（），又，（）如图，以为原点建立空间直角坐标系则设，取中点，连结，是二面角的平面角，二面角的大小为（），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离如（）建立空间直角坐标系，点的坐标为点到平面的距离为5.如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且四点共面；（4分）；（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求（1）建立如图所示的坐标系，则，所以，故，共面又它们有公共点，所以四点共面（2）如图，设，则，而，由题设得，得因为，有，又，所以，从而，故平面（3）设向量截面，于是，而，得，解得，所以又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）于是 故2007-2008年联考题1. （江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟）已知斜三棱柱,在底面上的射影恰为的中点,又知. （）求证： （）求到平面的距离； （）求二面角的大小.（）证明 如图,取的中点,则,又平面,以为轴建立空间坐标系,则,由,知,又,从而平