18空间向量在立体几何中的应用Word格式.docx
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7.（13分）
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，
，且MD=NB=1，E为BC的中点
（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值
（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？
若存在，求线段AS的长；
若不存在，请说明理由
17.解析：
（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标
依题意，得。
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.A
（2）假设在线段上存在点，使得平面.
可设
又.
由平面，得即
故，此时.
经检验，当时，平面.
故线段上存在点，使得平面，此时.
8.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面
（I）证明：
（II）设二面角为60°
，求与平面所成的角的大小。
分析一：
求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
如题（19）图，在四棱锥中，且；
平面平面，；
为的中点，．求：
（Ⅰ）点到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的大小．
（Ⅰ）如答（19）图2，以S（O）为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面
即点A在xoz平面上，因此
又
因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面
yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.
（Ⅱ）易知C（0,2,0），D（,0,0）.因E为BS的中点.
ΔBCS为直角三角形,
知
设B（0,2,），＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1）.
在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD.
由故
①
又点G在直线CD上，即，由=（），则有 ②
联立①、②，解得G＝ ,
故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为.
因为=，,所以
故所求的二面角的大小为.
作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.
设点到面的距离为，与平面所成的角为。
利用，可求得，又可求得
即与平面所成的角为
分析二：
作出与平面所成的角再行求解。
如图可证得，所以面。
由分析一易知：
四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。
。
以下略。
分析三：
利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。
具体解法详见高考试题参考答案。
总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：
传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。
命题人在这里一定会兼顾双方的利益。
9．（本小题共14分）
如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与
平面PDB所成的角的大小.
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设
则，
（Ⅰ）∵，
∴，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵，
∴，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.
10.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=，CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=，求：
（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离：
（Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值，
18.（本小题满分12分）
如图4，在正三棱柱中，
D是的中点，点E在上，且。
（I）证明平面平面
（II）求直线和平面所成角的正弦值。
解（I）如图所示，由正三棱柱的性质知平面
又DE平面ABC，所以DEAA.
而DEAE。
AAAE=A所以DE平面ACCA，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACCA。
解法2如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设
AA=，则AB=2，相关各点的坐标分别是
A（0,-1,0），B（，0，0），C（0，1，），D（，-，）。
易知=（，1，0），=（0，2，），=（，-，）
设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有
解得x=-y，z=-，
故可取n=（1，-，）。
所以，（n·
）===。
由此即知，直线AD和平面ABC所成角的正弦值为。
11.（本小题满分12分）
如图3，在正三棱柱ABC-中，AB=4,A=,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE
（Ⅰ）证明：
平面平面;
（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。
解法2如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各
点的坐标分别是A（2,0,0,）,.（2,0,）,D（-1,）,E（-1,0.0）
易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）
设n=（x，y，z）是平面DE的一个法向量，则
解得
故可取n=（,0,-3，）于是
=
由此即知，直线AD和平面DE所成的角是正弦为
12．（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.
（1）求证：
平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小；
（3）求点到平面的距离.
方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，；
设平面的一个法向量，由可得：
，令，则
。
设所求角为，则，
所以所求角的大小为。
（3）由条件可得，.在中，,所以,则,，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。
19（本小题满分12分）
如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互
相垂直，△是等腰直角三角形，
（I）求证：
；
（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？
若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；
若不存在，请说明理由；
（III）求二面角的大小。
（Ⅰ）因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D（1,0,0）,
E（0,0,1）,C（1,1,0）.
因为FA=FE,∠AEF=45°
所以∠AFE=90°
.
从而，.
所以,,.
,.
所以EF⊥BE,EF⊥BC.
因为BE平面BCE,BC∩BE=B,
所以EF⊥平面BCE.
（Ⅱ）存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.
M（0,0,）,P（1,,0）.
从而=,
于是·
=·
=0
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，
故PMM∥平面BCE.....................................8分
（Ⅲ）设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）.
，
即
取y=1，则x=1，z=3。
从而。
取平面ABD的一个法向量为。
。
故二面角F-BD-A的大小为arccos。
..........................................12分
14.（本题满分14分）
如图，在直三棱柱中，,
求二面角的大小。
简答：
第一部分五年高考荟萃
2009年高考题
2005-2008年高考题
解答题
1.（2008全国Ⅱ19）（本小题满分12分）
如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅱ）求二面角的大小．
以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系．依题设，．
．
（Ⅰ）证明因为，，
故，．
又，
所以平面．
（Ⅱ）解设向量是平面的法向量，则
，．
令，则，，．
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为．
2.（2008安徽）如图，在四棱锥中，底面四边长
为1的菱形，,,,为
的中点，为的中点
直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为
轴建立坐标系
,
（1）证明
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
（2）解设与所成的角为,
,与所成角的大小为.
（3）解设点B到平面OCD的距离为，
则为在向量上的投影的绝对值,
由,得.所以点B到平面OCD的距离为
3.（2008湖南17）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面
ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°
，E是CD
的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：
平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的
坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
P（0，0，2）,
（Ⅰ）证明因为，
平面PAB的一个法向量是，
所以共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为平面PBE，
故平面PBE⊥平面PAB.
（Ⅱ）解易知
设是平面PBE的一个法向量，则由得
所以
设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
4.（2008福建18）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，
其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？
若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）证明在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD,平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）解以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、
z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得
A（0,-1,0）,B（1,-1,0）,C（1,0,0）,D（0,1,0）,P（0,0,1）,
所以
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，
（Ⅲ）解假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，
由（Ⅱ）知
设平面PCD的法向量为n=（x0,y0,z0）.
则所以即，
取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=（1,1,1）.
设由，得
解y=-或y=（舍去），
此时，所以存在点Q满足题意，此时.
5.（2007福建理?
18）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有
棱长都为2，D为CC1中点。
AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；
（Ⅰ）证明取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．
平面．
（Ⅱ）解设平面的法向量为．
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
二面角的大小为．
（Ⅲ）解由（Ⅱ），为平面法向量，
．
点到平面的距离．
6.（2006广东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直
径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，
AB＝AC＝6，OE//AD.
（Ⅰ）求二面角B-AD-F的大小；
（Ⅱ）求直线BD与EF所成的角.
解（Ⅰ）∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD是二面角B-AD-F的平面角，
依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角B-AD-F的大小为450.
（Ⅱ）以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）
所以，
设异面直线BD与EF所成角为，
则
直线BD与EF所成的角为
7.（2005江西）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：
D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为.
以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），
E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）
（1）证明
（2）解因为E为AB的中点，则E（1，1，0），
从而，
，
设平面ACD1的法向量为，
则
也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）解设平面D1EC的法向量，
∴
由令b=1,∴c=2,a=2－x，
依题意
∴（不合，舍去），.
∴AE=时，二面角D1-EC-D的大小为.
第二部分三年联考汇编
2009年联考题
解答题
1.（湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题）如图，P-ABCD是正四棱锥，是正方体，其中
（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）求到平面PAD的距离
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
（1）证明设E是BD的中点，P-ABCD是正四棱锥，∴
又，∴∴∴
∴，即。
（2）解设平面PAD的法向量是，
∴取得，又平面的法向量是∴，∴。
（3）解∴到平面PAD的距离。
2.（陕西省西安铁一中2009届高三12月月考）如图，边长为2的等
边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，
M为BC的中点
（Ⅰ）证明：
AM⊥PM；
（Ⅱ）求二面角P－AM－D的大小；
（Ⅲ）求点D到平面AMP的距离。
（Ⅰ）证明以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系,
依题意，可得
∴
即,∴AM⊥PM.
（Ⅱ）解设，且平面PAM，则
即
∴，
取，得
取，显然平面ABCD，∴
结合图形可知，二面角P－AM－D为45°
（Ⅲ）设点D到平面PAM的距离为，由（Ⅱ）可知与平面PAM垂直，则
=
即点D到平面PAM的距离为
3.（厦门市第二外国语学校2008-2009学年高三数学第四次月考）已知点H在正方体的对角线上，∠HDA=．
（Ⅰ）求DH与所成角的大小；
（Ⅱ）求DH与平面所成角的大小．
解：
以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
则，．连结，．
设，由已知，
由
可得．解得，
所以．（Ⅰ）因为，
所以．即DH与所成的角为．
（Ⅱ）平面的一个法向量是．
因为，所以．
可得DH与平面所成的角为．
4.（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考）如图，
在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）求点E到平面ACD的距离．
⑴证明连结OC
，．
在中，由已知可得
而，
即
∴平面．
（2）解以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
，
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为．
⑶解设平面ACD的法向量为则
∴，令得是平面ACD的一个法向量．
又∴点E到平面ACD的距离．
5.（广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考）如图，
已知平面，平面，△为
等边三角形，，为的中点.
（1）求证：
（2）求证：
平面平面；
（3）求直线和平面所成角的正弦值.
设，建立如图所示的坐标系，则
∵为的中点，∴.
（1）证明，
∵，平面，∴平面.
（2）证明∵，
∴，∴.
∴平面，又平面，
∴平面平面.
（3）解设平面的法向量为，由可得：
，取.
又，设和平面所成的角为，则
.
∴直线和平面所成角的正弦值为.
6.（2009年广东省广州市高三年级调研测试）如图，已知
等腰直角三角形，其中∠=90o，．
点A、D分别是、的中点，现将△沿着边
折起到△位置，使⊥，连结、．
（1）求证：
⊥；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
（1）证明∵点A、D分别是、的中点，
∴.
∴∠=90o.
∴.
∴,
∵,
∴⊥平面.
∵平面,
（2）解建立如图所示的空间直角坐标系．
则（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.
∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,
设平面的法向量为=（x，y，z），则：
，
令，得，
∴=（1，1，－1）.
显然，是平面的一个法向量，=（）．
∴cos<
，>
=．
∴二面角的平面角的余弦值是.
9月份更新
1.连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5④MN的最小值为l，其中真命题的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案C
2.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）A. B. C. D.
3.等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于
答案.
4.如图，在三棱锥中，，，．
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
解法一：
（Ⅰ）取中点，连结．，．，．
，平面．平面，．
（Ⅱ），，．又，．
又，即，且，平面．取中点．连结．
，．是在平面内的射影，．
是二面角的平面角．在中，，，，．二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．过作，垂足为．
平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．
在中，，，
．．点到平面的距离为．
解法二：
（Ⅰ），，．又，．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．
设．，，．取中点，连结．
，，，．是二面角的平面角．
，，，
．二面角的大小为．
（Ⅲ），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．
点到平面的距离为．
5.如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．
四点共面；
（4分）；
（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：
（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．
（1）建立如图所示的坐标系，则，，，
所以，故，，共面．又它们有公共点，所以四点共面．
（2）如图，设，则，而，由题设得，
得．因为，，有，又，，所以，，从而，．故平面．
（3）设向量截面，于是，．
而，，得，，解得，，所以．又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．
于是．故．
2007-2008年联考题
1.（江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟）已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求到平面的距离；
（Ⅲ）求二面角的大小.
（Ⅰ）证明如图,取的中点,则,∵,∴,
又平面,以为轴建立空间坐标系,
则,,,,,,
,由,知,
又,从而平
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