信号与系统习题答案710.docx

1、信号与系统习题答案7107.22信号y(t)由两个均为带限的信号Xi(t)和X2(t)卷积而成，即y(t) xi(t)X2(t) 其中Xi(j ) 0, | | 1000X2(j ) 0 , 2000现对y(t)作冲激串采样，以得到yp(t) y(nT) (t nT)请给出y(t)保证能从yp (t)中恢复出来的采样周期T的范围解：根据傅立叶变换性质，可得Y(j ) Xi(j )X2(j )因此，有当 1000 时，Y(j ) 0yp(t)中恢复出来1.画出输出X2 t的频谱X2 j2.确定最大采样周期T ,以使得xt可以从Xp t恢复;图 7.27 (a)j、L1蚀 ar图 7.27(b)H

2、O解:1、x（t）经复指数调制后的X1（t） x（t）e j 0t，其傅立叶变换为X1(j ) X(j( 0)经低通滤波器H（j ）的输出X2（t）的频谱X2（j ）如图（b）所示。Xmax8.3设x t是一实值信号，并有X j 0，2000，现进行幅度调制以产2 1生信号g t x t sin 2000 t ,图4-1给出一种解调方法，其中g t是输入，y t是输出，理想低通滤波器截止频率为 2000，通带增益为2,试确定y t o理想低通滤波器cos 2000 t图4-1解：w(t) g t cos(2000 )sin 2000 t cos(2000 ) 1x t sin 4000 t对w

3、(t)进行傅立叶变换W(j )j( 4000)X j( 4000 ) 4j因为X j0,2000很明显,W(j )0,2000，所以w(t)通过截止频率为2000的理想低通滤波器后的输出y(t)9.17解:系统可以看作是由H1s和H2 s的并联构成H1H214(2 s) s81 s112(1 s) s2H1s H2 si2sY(s) 3s122 s2ssH s10sX(s)1216s2 10s 16Y(s)(s2 10s16) X(s)(3s 12)求上式反变换，有2警 10竽 16y(t) 12x(t)3购dt9.28考虑一 LTI系统，其系统函数H s的零极点图如图9.28所示。1.指出与

4、该零极点图有关的所有可能的收敛域 ROC。2./VV .-2-1+1ReIm+2图 9.28对于1中所标定的每个ROC，给出有关的系统是否是稳定和/或因果的解：1.可能的收敛域ROC为：（1） Res 2（2） 2 Res 1（3） 1 Res 1（4） Res 12.（ 1）Res 2，不稳定和反因果的。（2） 2 Res 1，不稳定和非因果的（3） 1 Res 1，稳定和非因果的。（4） Res 1，不稳定和因果的。9.31有一连续时间LTI系统，其输入xt和输出y t由下列微分方程所关联:设X s和Y s分别是xt和y t的拉普拉斯变换，H s是系统单位冲激响应h t的拉普拉斯变换1.求

5、H s，画出H s的零极点图。2.对下列每一种情况求h t :（1）系统是稳定的。（2）系统是因果的。（3）系统既不稳定又不是因果的 解：1、对给出的微分方程两边作拉普拉斯变换，得s2Y ssY s2Y s X所以得Y(s)X(s)1s2 s 2其零一极点图如图(a)所示。2、 H sY(s)X(s)12s s 2 (s 2)(s 1)Im( s)712图(a)1 1 1 13s 2 3s 1(s 2)(S 1)所以有2，se(s)(1)当系统是稳定时，其收敛域为ht 3e2tu(七)h t 】e2tu( t) 1 e tu( t)3 310.18解：(a)1 2H Z 丄空 也(此为直接型U

6、结构，详见第二章课件分析)彳 2 1 1 21 z z3 9由HZY(Z)X(Z)1 6z 1 8z 2得,2112z z3 91 2、9z )求上式z反变换，得2 1yn yn 1(b)Y(Z)(1X(Z)(1 6z 1 8z2)2 xn 6x n 1 8xn 2系统有一个二阶极点z1，由于系统是因果的，所以收敛域为13，包括单位圆故系统是稳定的10.28 已知序列 x n n 0.95 n 6a.求该序列的Z变换X(z)0b.画出X(z)零极点图。c.利用考虑极点向量和零点向量沿单位圆横穿一周时的特性， 近似画出x n傅里叶变换的模特性。解：a、 X n的Z变换为6 Z 0.95X(z)

7、1 0.956 ，|z| 0 zb、 由X(z)可知，在z 0处有一 6阶极点,其零点为.kzk (0.95/3，k 0,1,ggg5其零一极点图如图(a)所示图(a)c、傅氏变换的幅值近似图如图(b)所示。X(ej) * _ - - I 一 _ j. I _ _ _ .一 * 7 小 加/3 0 JT/3 2JT/3 n图(b)10.34( P583)有一个因果LTI系统，其差分方程为yn yn1 yn2 xn11.求该系统的系统函数，画出Hz的零极点图，指出收敛域2.求系统的单位脉冲响应。3.判断该系统是不是稳定的？如果是不稳定的， 试求一个满足该差分方程的稳定(非因果)单位脉冲响应。解：

8、1、1、对所给的差分方程两边进行z变换，得Y(z) z1Y(z) zV zgz1所以得| | 1 751 2 |z| X(z) 1 z1 z2 (z J 2)， 21 5 1 5其中，11.62 2 0.622 ， 2系统函数H的零点为z 0，极点为z i和z 2所以1岳3、系统是不稳定的，因为系统的收敛域为|z| 可，不包括单位圆。若要使系5 115统稳定，则收敛域应包括单位圆，即收敛域为2|z| 2此时有1 1 n 1hn 爲丁 S n U 711、5nun210.59 一个数字滤波器的结构如图10.59所示xn yn1zk- 4图 10.59 a.求这个因果滤波器的H z，画出零极点图，并指出收敛域b.当k为何值时，该系统是稳定的。n2c.如果k 1且对所有的n，xn ，确定yn。3解：a.由图（1）得Y(z) W(z) W2(z)W(z) X(z) fzWdz)3所以1 kz 1 W(z) X(z)3得 Y(z) W(z)她（z）X(z)1kz1X(z)4彳k i1 z3.k1 z_4_彳k 11 z3其零极点图和收敛域示意图如图(2)(a)(b)图（2）b.只有k 3时,k 4所示。收敛域才包含单位圆，系统才能是稳定的。2c.由于xn 3n是LTI系统的特征函数，所以输出yn H(z)|k 1时，代入得5 2 n12 31咕 y n1 1z1 z3