河南专升本高数第一章知识点详细解析Word文件下载.docx

1、x 1 .即它的定义域为由 lgx 1 得 0.1所以它的定义域为0.1,10 由lnx 0得，x 1 .即定义域为（1,）.1 12环）.（1）设f （x）的定义域为 4,4，求f （x2）的定义域.（2）设f（x）的定义域为0,1求f（1 x）的定义城.（1）由4 x2 4得，2x2 .即定义城为 2,2 .（2）由 0 1 x 1得,0 .即定义域为 1,0 .例3 f（x）的定义域是0,1 ,（x）f（x4）4）的定义域是A. 0,1C.定义域D :例 4 函数 y arcsin（2x1）45D：因此选A （0,1）选A.由2xln x的定义域是（B （0,1（0,2）D （0,21

2、1及x 0, x 1解的函数arcs in（2x域为（0,1）.ln（x 1）的定义域是（、x 1A （ 1,）B （ 1,）1,3） （3,（1,3） （3,）选D.由题意：x 3 0 , x 1 0 , x 1 0 ,所以得到函数y ln（x 1）的定义域为（1,3） （3,）.x 3 ,x 1例6下列各对函数哪些是同一函数？（1） x 与 i x2（3） 2lnx 与 Inx2两个函数相同，必须是定义域相同且对应关系一致只有（ 1）中的两个函数才是相同的，其余各对均不是相同的函数这是因为：（1） 两个函数的定义域都是 R,对应关系也完全相同，即x x2 .（2） 定义域不同.y x的定义

3、域为R, y （、x ）2 的定义域为0,.（3） 定义域不同. y In x2的定义域为 ，0 0, , y= 2Inx的定义域为0,.x2 1（4）定义域不同.y x 1的定义域为R, y 的定义域为xx R,x 1 .x 1例7在区间（0,）内，与函数f（x） In2 x相等的函数是（ ）（200503）.A. In x B. - In x2 C. I n x D .Inx我们知道处 x，因此选D .II、函数之间的运算和函数性质的题目。函数之间的运算主要涉及求复合函数或外层函数。给出一个函数，只要能看 出是由哪些初等函数、基本初等函数符合而成的就可以了。 利用常用方法就能解 题。函数的

4、性质：（1）单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上任意两点x1,x2，间I上任意两点x1, x2，当x1 x2，恒有f （x1） f（x2），则称f（x）在I上是单调 减少，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. （关于函数的单调性问题，将在“导数的应用”中讨论.）（2）有界性如果存在正数M，使得|f（x）| M对任一 x X都成立，则称函数f（x）在X 上有界，如果这样的M不存在，就称函数f （x）在X上无界；这就是说，如果对 于任何正数M总存在x1 X，使f（xj M，那么就称函数f（x）在X上无界.1有界性与区间I有关，如y -在1,2上有界，但在0,1上无界.

5、2若函数f（x）在I上有一个界M，则比M大的数都可以作为它的界，即界 不唯一.3在现阶段我们将会学到三个有界函数，在定义域是 （，）情况下，分别是 y sin x, y cosx, y arctan x .4在极限计算中，当有界函数与其他函数相乘时，我们接触到的一般都是“有 界函数乘无穷小等于零”.（3）奇偶性设函数f（x）的定义域D关于坐标原点对称.如果对任一 x D，f（ x） f（x） 恒成立，则称f （x）为偶函数；如果对任一 x D，f（ x） f （x）恒成立，则称f （x） 为奇函数.函数奇偶性判断方法：1根据奇偶性定义：如证得 f（ x） f（x），那么此函数为偶函数，如证得f

6、（ x） f （x），那么此函数为奇函数.2根据四则运算：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇+偶=非奇非偶.奇 奇=偶， 偶 偶=偶， 奇 偶=奇.3指数运算用除法：丄3 1,偶，f（x） 1 奇举例：f（x） 运用丄S 1,得f（x）为奇函数.2 1 f（x）对数运算用加法：f（x） f （ x）0, 奇2 f （x）偶，f（ x） 0，得 f （x）为奇函数.e.g. f （x） In（ . x2 1 x） 运用 f （x）如y x3,y sin x, y arctanx等是奇函数；而y x2, y cosx是偶函数.（特别要说的是，0是既奇又偶的函数）（4）周期性设函数f（x）的定义域为D .如

7、果存在一个正数，使得对于任一 x D有（x l） D且f （x l） f （x）恒成立，则称f （x）为周期函数.l为f （x）的周期，通常我们说的周期函数的周期是指最小正周期.这里我们总结一个正弦函数的周期公式： y A Bsi n（wx l）A表示的是上下移动，B表示的是振幅，l表示的水平移动.，w与二角函数周期2有关T 一 .w一般的，对周期函数进行有限次的四则运算仍就是周期函数；公式中常量变 成变量的均不是周期函数.周期函数在每一个周期上的图形是相同的.例如：y sin2 x, ysi nx 1, y cos4 x是周期函数.y sinx ,yxcosx, y x cosx, y si

8、n 不是周期函数. x（5）反函数设函数f : Df（D）是单射，则它存在映射f _f（D） D，称此映射f 1为例 1 设 y f （sin x） cos x 2，求 f （x）.因为f （sin x）1 sin2 x2 3sin2 x，所以f （x） 3 x2.例2讨论下列函数的奇偶性.（1）f（x）xsin xX*./X ln（X）因为f （x） xsin（x）f（x），所以f（x）为偶函数.X） X （x）21 XX2 1f（x），所以,f（x）为奇函数X 1既不是奇函数也不是偶函数（可称之为非奇非偶函数）.f（ X）f（x） In（-X 1）In（-ln（）数.ln（ln（# ln（

9、H 0 即f（ x） f（x），所以f（x）为奇函例3在区间1,1上,设函数f（x）是偶函数，那么f（x）（是奇函数是偶函数既不是奇函数也不是偶函数不能被判定奇偶性记g（x） f （x），则在 1,1上，有g（ x）f（ x） f（x） g（x），f （x）为偶函数，故选B .例4设f x在区间（，）内是奇函数，并且在区间（0,）内严格单调增，那么函数f x在区间（，）内（ ）A严格单调减C既不严格单调增，也不严格单调减 单调减设任意x1,x2 0, ，且x（f（xj f（X2），于是再有f （x）是B严格单调增D可能严格单调增，也可能严格X2，则f（x）由在0, 内严格单调增得上的奇函数，得

10、 X2 X1，且即f （x）在0, 上严格单增，故f（x）在内严格单调增.x 1 x 1题无可选答案.III、无穷小量阶的比较（1）定义：M o, o，当 0为无穷大，记作lim f （x）x xo注意“ ”仅是算.lim f（x）x Xo若 lim f （x）X Xo、亠 、”.注意吊数（2）无穷小与无穷大的关系：若 lim f （x），则称limx Xo f （x）某个邻域内不为零，则limx o f（x）其绝对值多么小）都不是无穷小.小的倒数是无穷大，但是要注意上述的o ;反之，若lim f（x） o，且f （x）在xo的X xo（通常说成，无穷大的倒数是无穷小，无穷lim f（x） o

11、 ,且f（x）在xo的某个邻域说明：原题为“ f（x）在0, 内严格单调增” 如果不将左端点取成闭的，则本1设函数f （x）在Xo的某一去心邻域内有定义，如果对x Xo 时，恒有f （x） M成立，则称X Xo时f （x）个记号，不是通常的“数” ，不能像数那样进行运实质上是lim f（x）不存在的特殊情况.0，则称x xo时f （x）为无穷小.0”在x的任何趋向下都是无穷小，但除此之外的任何数（无论内不为零”）（3）无穷小的运算性质（下列结论均指自变量 x的同一趋向下成立）1有限个无穷小之和仍是无穷小；2有限个无穷小之积仍是无穷小；3有界函数与无穷小之积是无穷小（4）无穷小的比较设函数（X）

12、和（X），当X xo时都是无穷小;若limX x0k（k0），则称当x x0时，（x）和（x）是同阶无穷小；特别，若lim（x） 1，则称x x0时，（x）和（x）是等价无穷小，记作x x（x）（X）.（5）等价无穷小替换（常应用于求极限的题目中）设x X0时，（x）与（x）是等价无穷小，则 lim （x）g（x） lim （x）g（x）；x x0 x x0（当 xX。时， （x） 0） lim （）lim h（x）x x0 （x）g（x）X X。 （x）g（x）注：以上两式中的等号“=”应理解为：等号“=”两边的极限同时存在或同 时不存在；若两边的极限存在则必相等.等价无穷小量替换见第二部分

13、本章重点和难点中的（3）.例1下列函数中，当x 0是，与ex 1等价的无穷小量是（ ）A xsinx B 3x2 C sin x2 D选A.本题考察的是当x 0时，ex 1与函数x2sinx的比值的极限为1. IV、求各种形式的极限。（1）两个重要极限：sin lim -（第一重要极限）；X 0 xlim （1）xe，lim （1 x）x e，特别地 lim （1 e（第二重要极限）x 0x n 0n例：lim （1 2x）3x，会有多种方法求极限，以下列出三种:丄 3 22凑形式，lim（1 2x）云 ej3零位乘无穷，在该极限题中，2x所在的位置为零位，所在的位置为无穷大,3xlim零位无

14、穷1 e（2）在下列一般形式的特例中ao O,bo 0， m和n为非负整数时，有m m 1 m 2ax ax a?x . amlim n 百n box dx box . bnao,n m例1 Pm芬I77，3 x（n m ）分子中变化最快的因子是3x* 3 4 5;分母中变化最快的因子是7x3.bo3 2 3.3x 4x 2 . 3x 3lim 3 2 lim 3 -n 7x 5x 3 n 7x 7例2求下列极限：（1） lim v 7 x 0（3） limx a / （ax a（4） lim x1 x;（5） l|mo2 . 1x sin x ；sin x, x sin x lim（1 ）

15、lim 31x 0 xx I n3e 1 limx I n 3 limIn 3（这里利用了 xIn x e1 xln 3）；（2） lim 1（3）括号内分子、分母同除以x，再用第二重要极限:alim vlimx x ae2a e（4）本题是“ 1 ”型，应用第二重要极限:lim x1 x2 e2lim 1 （x 1） rlim 1 （x 1）厂0时，x是无穷小，因此有21sin x .xsin1 0 0;（6）因为lim0，1，即 limsinx0,x sin x10 1.1 -2 x 例3设limaxb3，则a,b分别为（）.x xA 1，1B1，C 2，1选D .将D的结果代入极限式左端

16、得lxmix 1 ?x 2（X 1）（X 2）lim （x 2） 3故选D .V、函数连续性的问题。（1）我们把函数y f（x）在点xo连续的定义用不同的方法来叙述：1设函数y f （x）在xo的某邻域内有定义，如果 lim f（x） f Xo，贝U称y f （x）在Xo处连续.2设函数y f （x）在xo及xo的左侧有定义，如果 lim f （x） f xo，贝U称y f （x）在Xo处左连续.3设函数y f （x）在Xo及Xo的右侧有定义，如果lim f （x） f x，贝U称y f （x）在xo处右连续.4若函数y f （x）在区间I上每点都连续，则称y f （x）在区间I上连续.规定：

17、函数在区间端点处的连续性，左端点只要求右连续，右端点只要求左连续. 函数f（x）在Xo处连续与它在该点的左右连续性的关系； f （X）在Xo处连续的充分必要条件是它在该点既左连续又右连续.（2）初等函数的连续性1基本初等函数在定义域内连续.2在区间I上连续的函数的和、差、积、商（分母不为零），在I上连续.3由连续函数经过有限次复合而成的复合函数在定义区间上连续.4在区间I上连续且单调的反函数在对应的定义区间上连续.5初等函数在定义区间上连续.若y f （u）在uo处连续，且limuo，则 lim f （x）X 、xof lim （x） f （uo）.例1当常数a,b取何值时，函数f（x）a 1

18、x2 bo 在R上连续.o因为在x 0上f（x） sinx连续，在x 0上f （x） X2 b连续，所以只要，f（x）在x 0处也连续即可.因 lim f （x） lim Sinx 1, lim f（x） lim （x2 b） b，且 f （0） a 1x0 x0 x X0 xo /由f （x）在x 0处连续知，必有b 1 a 1即a 2, b 1例2 讨论函数f （x） x（1X 1）的连续性.x（2 x） x 1 f （x） 1 x 1，显然f （x）在X 1或X 1时是连续的.2 ”X X 1又f（1 ） f（1 ） 1 f（1），所以f（x）在R上连续.VI、函数间断点的类型。若函数f

19、（x）在X。处不连续，则称f（x）在X。处间断.间断点的分类第一类：跳跃型：左极限 右极限lim f （x） lim f （x）X X0 X X0可去型：极限值 函数值 lim f （x） f xX X0 ，第二类：无穷型 非第一类 （特点是：极限不存在）无穷型震汤型例1 设f （x）X2 1 1 1 xsin lg x 2，求f （x）的间断点并指出其类别.X 1 X因为f（x）分别在区间（ ，2, 2,0, 0,1 , 1, 内是初等函数,因此是连续的，而分别在x 2,0,1处无定义，故在这三点处间断,又lim f （x） ，所以x 2是第二类间断点（无穷间断点）；X叫f（x） 1 lg2

20、，所以x 0是第一类间断点（可去间断点）;lim f （x）2 sin1 lg3 lim f （x） 2 sin1 lg3,所以x 1是第一类间断点（跳跃间断点）.例2 求f （x） 电 sin丄 的间断点，并指出其类型.函数y f（x）当X 0,1,k -（k 0, 1, 2,.）时 是间 断的，而 lim f（x） 1 sin1,因此x 0是第一类问断点（可去间断点）；lim f（x）不存在，x 0 x 1因此x 1是第二类间断点（振荡间断点）;lim f（x） （k 0, 1, 2,）故这些x k 是第二类间断点（无穷间断点）VII、零点定理证明方程根的存在性或者含有 的等式。连续函数在

21、闭区间上的性质（1）最大值 最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上必取得最大值和 最小值.（2）有界性定理：闭区间上连续的函数必在该区间上有界.（3）零点存在定理：在闭区间上连续的函数，且两端点的函数值异号，贝尼在 该区间内至少有一个零点.推论：在闭区间上连续的单调函数，且两端点的函数值异号，贝尼在该区 间内有唯一的一个零点.（4）介值定理：在闭区间上连续的函数必取得介于两端点的函数值之间的任何值.在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证明方程x6 3x2 2x 1至少有一个正根.解析：要证明上述方程至少有一个正根， 需作一个辅助函数，并证明它在某个正的区间上连续且

22、在两端点上的函数值异号.证 令 f（x） x6 3x2 2x 1 ， 则f（0） 1 0, f （2） 26 12 4 1 55 0，又 f （x）在0,2上连续.由零点存在定理知，至少有一点 （0,2）使得f（ ） 0 .即方程x6 3x2 2x 1至少有一个正根.例2 证明方程x a sinx b （其中a 0,b 0 ），在0, a b上至少有一个根.证明： 令f （x） x a si nx b， f （x）显然在0,a b上连续，且f （0） b 0, f （a b） a1 sin（a b） 0当f（a b） 0时，x a b就是满足题意的一个根;当 f （a b） 0 时， f （0

23、） f（a b） 0 ，由零点存在定理知，至少有一点（0,a b） ，使得f （ ） 0 即原方程在 （0, a b ）内至少有一个根综上所述，x asinx b在0, a b上至少有一个根.（1） f（x） 3x 40, n m .也即多项式的一型求极限等, n m于分子分母最高项系数之比。（3） 多项式的o型求极限要首先分解因式，约去零因子再求极限。（4） 分子（母）有理化求极限。（5） 用等价无穷小量求极限。等价无穷小量代换，只能代换极限式中的 因式；此方法在各种求极限的方法中 应 作为首选。（7） 用对数恒等式求lim f（x）g（x）极限。（8）用洛必达法则求极限（5）注意到sin - 1，而x