河南专升本高数第一章知识点详细解析Word文件下载.docx
《河南专升本高数第一章知识点详细解析Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河南专升本高数第一章知识点详细解析Word文件下载.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
x1.即它的定义域为
由lgx1得0.1
所以它的定义域为0.1,10•
由lnx0得，x1.即定义域为（1,）.
11
2]环）.
（1）设f（x）的定义域为4,4，求f（x2）的定义域.
（2）设f（x）的定义域为0,1求f（1x）的定义城.
（1）由4x24得，2x2.即定义城为2,2.
（2）由01x1得,
0.即定义域为1,0.
例3f（x）的定义域是0,1,
（x）
f（x
4）
4）的定义域是
A.0,1
C.
定义域D:
例4函数yarcsin（2x
1）
4
5
D：
因此选
A（0,1）
选A.由2x
lnx的定义域是（
B（0,1]
（0,2）
D（0,2]
11及x0,x1解的函数
arcsin（2x
域为（0,1）.
ln（x1）的定义域是（
、x1
A（1,）
B（1,）
1,3）（3,
（1,3）（3,）
选D.由题意：
x30,x10,x10,所以得到函数
y—ln（x1）的定义域为（1,3）（3,）.
x3,x1
例6下列各对函数哪些是同一函数？
（1）x与ix2
（3）2lnx与Inx2
两个函数相同，必须是定义域相同且对应关系一致•只有
（1）中的两
个函数才是相同的，其余各对均不是相同的函数•这是因为：
（1）两个函数的定义域都是R,对应关系也完全相同，即xx2.
（2）定义域不同.yx的定义域为R,y（、x）2■的定义域为0,.
（3）定义域不同.yInx2的定义域为，00,,y=2Inx的定义域为
0,.
x21
（4）定义域不同.yx1的定义域为R,y的定义域为xxR,x1.
x1
例7在区间（0,）内，与函数f（x）In2x相等的函数是（）（200503）.
A.InxB.-Inx2C.InxD.Inx
我们知道处x，因此选D.
II、函数之间的运算和函数性质的题目。
函数之间的运算主要涉及求复合函数或外层函数。
给出一个函数，只要能看出是由哪些初等函数、基本初等函数符合而成的就可以了。
利用常用方法就能解题。
函数的性质：
（1）单调性
设函数f（x）的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点x1,x2，
间I上任意两点x1,x2，当x1x2，恒有f（x1）f（x2），则称f（x）在I上是单调减少，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.（关于函数的单调性问题，
将在“导数的应用”中讨论.）
（2）有界性
如果存在正数M，使得|f（x）|M对任一xX都成立，则称函数f（x）在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f（x）在X上无界；
这就是说，如果对于任何正数M总存在x1X，使f（xjM，那么就称函数f（x）在X上无界.
1有界性与区间I有关，如y-在1,2上有界，但在0,1上无界.
2若函数f（x）在I上有一个界M，则比M大的数都可以作为它的界，即界不唯一.
3在现阶段我们将会学到三个有界函数，在定义域是（，）情况下，分别
是ysinx,ycosx,yarctanx.
4在极限计算中，当有界函数与其他函数相乘时，我们接触到的一般都是“有界函数乘无穷小等于零”.
（3）奇偶性
设函数f（x）的定义域D关于坐标原点对称.如果对任一xD，f（x）f（x）恒成立，则称f（x）为偶函数；
如果对任一xD，f（x）f（x）恒成立，则称f（x）为奇函数.
函数奇偶性判断方法：
1根据奇偶性定义：
如证得f（x）f（x），那么此函数为偶函数，如证得
f（x）f（x），那么此函数为奇函数.
2根据四则运算：
奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇+偶=非奇非偶.
奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.
3指数运算用除法：
丄31,偶，
f（x）1奇
举例：
f（x）运用丄S1,得f（x）为奇函数.
21f（x）
④对数运算用加法：
f（x）f（x）
0,奇
2f（x）偶，
f（x）0，得f（x）为奇函数.
e.g.f（x）In（..x21x）运用f（x）
如yx3,ysinx,yarctanx等是奇函数；
而yx2,ycosx是偶函数.（特
别要说的是，0是既奇又偶的函数）
（4）周期性
设函数f（x）的定义域为D.如果存在一个正数，使得对于任一xD有
（xl）D
且f（xl）f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数.l为f（x）的周期，通常我们说
的周期
函数的周期是指最小正周期.
这里我们总结一个正弦函数的周期公式：
yABsin（wxl）
A表示的是上下移动，B表示的是振幅，l表示的水平移动.，w与二角函数周期
2
有关T一.
w
一般的，对周期函数进行有限次的四则运算仍就是周期函数；
公式中常量变成变量的均不是周期函数.
周期函数在每一个周期上的图形是相同的.
例如：
ysin2x,y
sinx1,ycos4x是周期函数.
ysinx,y
xcosx,yxcosx,ysin不是周期函数.x
（5）反函数
设函数f:
D
f（D）是单射，则它存在映射f_f（D）D，称此映射f1为
例1设yf（sinx）cosx2，求f（x）.
因为
f（sinx）
1sin2x
23
sin2x
，所以
f（x）3x2.
例2
讨论下列函数的奇偶性.
（1）
f（x）
xsinx
X*
./Xln（—
X
〕）
因为f（
x）xsin（
x）
f（x），
所以f（x）为偶函数.
X）X（
x）2
1X
X21
f（x），所以,f（x）为奇函数
X1既不是奇函数也不是偶函数
（可称之为非奇非偶函数）.
f（X）
f（x）In（-
X1
）In（-
ln（）
数.
ln（—
ln（#ln（H0即f（x）f（x），所以f（x）为奇函
例3在区间1,1上,
设函数f（x）是偶函数，那么
f（x）（
是奇函数
是偶函数
既不是奇函数也不是偶函数
不能被判定奇偶性
记g（x）f（x），则在1,1上，有g（x）
f（x）f（x）g（x），
f（x）为偶函数，故选B.
例4设fx在区间（，）内是奇函数，并且在区间
（0,）内严格单调增，那么
函数fx在区间（，）内（）
A严格单调减
C既不严格单调增，也不严格单调减单调减
设任意x1,x20,，且x（
f（xjf（X2），于是再有f（x）是
B严格单调增
D可能严格单调增，也可能严格
X2，则f（x）由在0,内严格单调增得
上的奇函数，得X2X1，且
即f（x）在0,上严格单增，故f（x）在
内严格单调增.
x1x1
题无可选答案.
III、无穷小量阶的比较
（1）定义：
Mo,o，当0
为无穷大，记作limf（x）
xxo
注意“”仅是
算.limf（x）
xXo
②若limf（x）
XXo
、亠、”.
注意吊数
（2）无穷小与无穷大的关系：
若limf（x）
，则称lim
xXof（x）
某个邻域内不为零，
则lim
xof（x）
其绝对值多么小）都不是无穷小.
小的倒数是无穷大，但是要注意上述的
o;
反之，若limf（x）o，且f（x）在xo的
Xxo
（通常说成，无穷大的倒数是无穷小，无穷
limf（x）o,且f（x）在xo的某个邻域
说明：
原题为“f（x）在0,内严格单调增”•如果不将左端点取成闭的，则本
1设函数f（x）在Xo的某一去心邻域内有定义，如果对
xXo时，恒有f（x）M成立，则称XXo时f（x）
个记号，不是通常的“数”，不能像数那样进行运
实质上是limf（x）不存在的特殊情况.
0，则称xxo时f（x）为无穷小.
0”在x的任何趋向下都是无穷小，但除此之外的任何数（无论
内不为零”）
（3）无穷小的运算性质（下列结论均指自变量x的同一趋向下成立）
1有限个无穷小之和仍是无穷小；
2有限个无穷小之积仍是无穷小；
3有界函数与无穷小之积是无穷小
（4）无穷小的比较
设函数（X）和（X），当Xxo时都是无穷小;
②若lim
Xx0
k（k
0），则称当xx0时，（x）和
（x）是同阶无穷小；
特别，若
lim
（x）1
，则称xx0时，（x）和（x）
是等价无穷小，记作
xx
（x）〜（X）.
（5）等价无穷小替换
（常应用于求极限的题目中）
设xX0
时，
（x）与
（x）是等价无穷小，则lim（x）g（x）lim（x）g（x）；
xx0xx0
（当x
X。
时，（x）0）lim（）
limh（x）
xx0（x）g（x）
XX。
（x）g（x）
注：
以上两式中的等号“=”应理解为：
①等号“=”两边的极限同时存在或同时不存在；
②若两边的极限存在则必相等.
等价无穷小量替换见第二部分本章重点和难点中的（3）.
例1下列函数中，当x0是，与ex1等价的无穷小量是（）
AxsinxB3x2Csinx2D
选A.本题考察的是当x0时，ex1与函数x2sinx的比值的极限为1.IV、求各种形式的极限。
（1）两个重要极限：
sinlim-
（第一重要极限）；
X0x
lim（1
」）x
e，lim（1x）xe，特别地lim（1
»
e
（第二重要极限）
x0
xn0
n
例：
lim（12x）3x，会有多种方法求极限，以下列出三种:
丄32
2凑形式，lim（12x）云ej
3零位乘无穷，在该极限题中，2x所在的位置为零位，—所在的位置为无穷大,
3x
lim零位无穷
1e
（2）在下列一般形式的特例中aoO,bo0，m和n为非负整数时，有
mm1m2
a°
xaxa?
x...am
limn百
nboxdxbox...bn
ao
nm
例1Pm芬I
7
7，
3x
（nm）
分子中变化最快的因子是
3x*345;
分母中变化最快的因子是
7x3.
bo
323
..3x4x2..3x3
lim32lim3-
n7x5x3n7x7
例2求下列极限：
（1）lim—
v7x0
（3）lim
xa/（a
xa
（4）limx1x;
（5）l|mo
2.1
xsin—
x；
sinx
・xsinxlim
（1）lim3—1
x0x
xIn3
e1lim
xIn3lim
In3
（这里利用了x
Inxe
1~xln3）；
（2）lim1
（3）括号内分子、分母同除以
x，再用第二重要极限:
a
lim—
✓v
lim——
xxa
e
2ae
（4）本题是“1”型，应用第二重要极限:
limx1x
2e2
lim1（x1）r
lim1（x1）厂
0时，x是无穷小，因此有
2・1
sin—
x.
xsin
100;
（6）因为lim
0，
1，即limsinx
0,
xsinx
101.
1-
2x例3设lim
ax
b
3，则
a,b分别为
（
）.
xx
A1，1
B
1，
C2，1
选D.将D的结果代入极限式左端得
lxmi
x1?
x2
（X1）（X2）
lim（x2）3
故选D.
V、函数连续性的问题。
（1）我们把函数yf（x）在点xo连续的定义用不同的方法来叙述：
1设函数yf（x）在xo的某邻域内有定义，如果limf（x）fXo，贝U称
yf（x）在Xo处连续.
2设函数yf（x）在xo及xo的左侧有定义，如果limf（x）fxo，贝U称
yf（x）在Xo处左连续.
3设函数yf（x）在Xo及Xo的右侧有定义，如果limf（x）fx°
，贝U称
yf（x）在xo处右连续.
4若函数yf（x）在区间I上每点都连续，则称yf（x）在区间I上连续.
规定：
函数在区间端点处的连续性，左端点只要求右连续，右端点只要求左连续.函数f（x）在Xo处连续与它在该点的左右连续性的关系；
f（X）在Xo处连续的
充分必要条件是它在该点既左连续又右连续.
（2）初等函数的连续性
1基本初等函数在定义域内连续.
2在区间I上连续的函数的和、差、积、商（分母不为零），在I上连续.
3由连续函数经过有限次复合而成的复合函数在定义区间上连续.
4在区间I上连续且单调的反函数在对应的定义区间上连续.
5初等函数在定义区间上连续.
⑥若yf（u）在uo处连续，且lim
uo，则limf（x）
X、’
xo
flim（x）f（uo）.
例1当常数a,b取何值时，函数f（x）
a1
x2b
o在R上连续.
o
因为在x0上f（x）sinx连续，在x0上f（x）X2b连续，
所以只要，f（x）在x0处也连续即可.
因limf（x）limSinx1,limf（x）lim（x2b）b，且f（0）a1
x0\'
x0xX0\'
xo\/
由f（x）在x0处连续知，必有b1a1即a2,b1
例2讨论函数f（x）x（1
X1）的连续性.
x（2x）x1
f（x）1x1
，显然f（x）在X1或X1时是连续的.
2”
XX1
又f
（1）f
（1）1f
（1），所以f（x）在R上连续.
VI、函数间断点的类型。
若函数f（x）在X。
处不连续，则称f（x）在X。
处间断.
间断点的分类
第一类：
跳跃型：
左极限右极限limf（x）limf（x）
XX0XX0
可去型：
极限值函数值limf（x）fx
XX0'
，
第二类：
无穷型非第一类（特点是：
极限不存在）无穷型
震汤型
例1设f（x）
X211
1xsin—lgx2，求f（x）的间断点并指出其类别.
X1X
因为f（x）分别在区间（，2,2,0,0,1,1,内是初等函数,
因此是连续的，而分别在x2,0,1处无定义，故在这三点处间断,
又limf（x），所以x2是第二类间断点（无穷间断点）；
X叫f（x）1lg2，所以x0是第一类间断点（可去间断点）;
limf（x）
2sin1lg3limf（x）2sin1lg3,
所以x1是第一类间断点（跳跃间断点）.
例2求f（x）电sin丄的间断点，并指出其类型.
函数yf（x）当X0,1,k-（k0,1,2,...）时是间断的，而limf（x）1sin1,因此x0是第一类问断点（可去间断点）；
limf（x）不存在，
x0x1
因此x1是第二类间断点（振荡间断点）;
limf（x）（k0,1,2,…）故这些
xk—
是第二类间断点（无穷间断点）•
VII、零点定理证明方程根的存在性或者含有的等式。
连续函数在闭区间上的性质
（1）最大值最小值定理：
在闭区间上连续的函数在该区间上必取得最大值和最小值.
（2）有界性定理：
闭区间上连续的函数必在该区间上有界.
（3）零点存在定理：
在闭区间上连续的函数，且两端点的函数值异号，贝尼在该区间内至少有一个零点.
推论：
在闭区间上连续的单调函数，且两端点的函数值异号，贝尼在该区间内有唯一的一个零点.
（4）介值定理：
在闭区间上连续的函数必取得介于两端点的函数值之间的任何
值.
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.
例1证明方程x63x22x1至少有一个正根.
解析：
要证明上述方程至少有一个正根，需作一个辅助函数，并证明它在某个正
的区间上连续且在两端点上的函数值异号.
证令f（x）x63x22x1，则
f（0）10,f
（2）261241550，又f（x）在
0,2上连续.由零点存在定理知，至少有一点（0,2）使得f（）0.即方
程x63x22x1至少有一个正根.
例2证明方程xasinxb（其中a0,b0），在0,ab上至少有一个根.
证明：
令f（x）xasinxb，f（x）显然在0,ab上连续，且
f（0）b0,f（ab）a1sin（ab）0
当f（ab）0时，xab就是满足题意的一个根;
当f（ab）0时，f（0）f（ab）0，由零点存在定理知，至少有一点
（0,ab），使得
f（）0．即原方程在（0,ab）内至少有一个根．
综上所述，xasinxb在0,ab上至少有一个根.
（1）f（x）3x4
0,nm.也即多项式的一型求极限等
nm
于分子分母最高项系数之比。
（3）多项式的o型求极限要首先分解因式，约去零因子再求极限。
（4）分子（母）有理化求极限。
（5）用等价无穷小量求极限。
等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式；
此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
（7）用对数恒等式求limf（x）g（x）极限。
（8）用洛必达法则求极限
（5）注意到sin-1，而x
升级会员 