一元一次方程的解放和应用教案Word下载.docx

1、b是常数项，习惯上与ax写在方程的左边。5.列出一元一次方程解应用题的方法：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； 【学法指要】例1下列方程中，一元一次方程的个数有（ ）（1）x=5 （2）3x2y=0 （3）5x22=0 （4）3x2=3（x22x）（5）=9 （6）4x2=3x（2x） （A） 1个 （B） 2个 （C） 3个 （D） 4个指示思路：根据一元一次方程的概念：不含分母或者分母中不含未知数的方程经过适当变形后，能化成最简形式ax=b（a0），它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这一类方程叫一元一次方程。由此可知：（1）、（4）符合条件，故应选（B

2、）。例2解下列方程，并写出检验过程：（1）6x13=1 （2）10x1=14x3（1）移项，得6x=113 合并同类项，得6x=12 系数化成1，得x=2检验：把x=2代入方程， 左边=6213=1，右边=1 左边=右边 x=2是原方程的根。（2）移项，得10x14x=31 合并同类项，得4x=4 系数化成1，得x=1本例也可这样求解： 移项，得13=14x10x 合并同类项，得4=4x 系数化成1，得1=x 即x=1把x=1代入方程 左边=1011=11 右边=1413=11 x=1为原方程的解。解方程时，移项的根据是等式的性质，它是解方程的基础，要十分重视，且要牢记：移项要变号，移项时，习

3、惯将含有未知数的项移到方程的左边，不含未知数的项移到方程的右边；但有时为减少负号的出现，把含未知数的项移到方程的右边，不含未知数的项移到方程的左边，从而避免出错的可能。注意1=x则x=1不是移项，而是等式的对称性。要养成检验的好习惯，可避免出错，防患未然。在以后的解方程过程中，检验不必写出。例3解方程：8y（82y）=3y2（4y7）方程中有括号，应设法先去括号求解。去括号，得8y82y=3y8y14移项，得8y2y3y8y=148合并同类项，得y=22系数化成1，得y=22去分母去括号时，不要漏掉乘括号中的项，并且要注意括号的符号；y=22不是方程的解，必须把y的系数化成1，才能完成解方程的

4、过程，解方程，去括号后可先把左，右两边合并同类项，化简后再移项，再合并同类项，这样较简便，如 8y82y=3y8y14合并同类项，得10y8=11y14移项，得10y11y=148例4解方程： 方程中含有分母，应注意的地方有：（1）确定分母的最小公倍数是30；（2）不能漏乘不含分母的项；（3）方程中的三个分子在去分母后都应加上括号。去分母，得：，即6（x2）10（2x5）=3（x3）90去括号，得6x1220x50=3x990移项，得6x20x3x=9901250合并同类项，得17x=119系数化成1，得x=7去分母时，为防止漏乘，初学时应写上开头的第一步，熟练后可省去。从上例可以看出，分数线

5、有两层意义，一方面它是除号（包含“除”与“比”的意义），另一方面它又代表着括号，所以在去分母时应将分子用括号括括上。例5解方程：提示思路：方程中的分子，分母均含有小数，直接去分母比较麻烦，可先用分数的基本性质，化成整数，然后再去分母。原方程可化为：去分母，得291512（t3）=45t5（4t28）去括号，移项及合并同类项，得37t=259系数化成1，得t=7例6解方程：此方程含有繁分式，应用分数的基本性质将繁分式化简后，再确定最佳解法。即 亦即去分母，得1444（2x1）=18x（25x10）去括号，移项，合并同类项，得x=138由上观之，解一元一次方程的五个步骤不一定要按照它的程序一定不变

6、，要因题而异，灵活运用。如本例，先进行繁分式的化简，再去分母等。对本例也可逐一去掉分母的解法。都可达到予期的效果。当达到解一元一次方程十分得心应手时，解方程的步骤便可不写出来。例7在公式l=Lo （1at）中，已知L=80.096，Lo=80，=0.000012，求t在这个公式中，虽然有L，Lo，t四个字母，但L，Lo，的数值为已知数，只有一个未知数t，因此，解关于t的一元一次方程即可。把L=80.096，Lo=80，=0.000012分别代入公式中，得80.096=80（10.000012t）80.096=800.00096t0.00096t=0.096t=100用解方程的方法求公式中字母的

7、值，在今后的数学，物理，化学课程的学习中经常用到，因此，应熟练掌握。例8某人从甲村出发去乙村，在乙村停留1小时后，又绕道丙村，再停留半小时后，返回甲村。去时的速度是每小时5千米，回来的速度是每小时4千米，来回（包括停留时间在内）一共用6小时30分钟。如果回来时因绕道关系，路程比去时多2千米，求去时的路程？路程问题（即行程问题）涉及速度，时间，路程（即距离）三者关系，若设去时的路程为S千米，可列表如下速度千米/时时间（小时）路程（千米）去5S/5S回4（S2）/4S2其它已知量停留（1）小时来回共用6小时回来时多走2千米从上表中可以清楚发现这样一个相等关系：走路的时间停留时间=总时间解：设去时的

8、路程为S千米，依题意，得解这个方程得 S=10答：去时的路程为10千米。例9一个三位数，三个数位上的数字的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求字个三位数。这道题含有这样一个相等关系：百位上的数十位上的数个位上的数=17设十位上的数为x，再分析上面相等关系，便可得到下珍：左边右边设十位上的数为x百位上的数为（x7）个位上的数为3x这个三位数为100（x7）10x3x三个数位上的数的和是17设十位上的数为x，依题意，得 （x7）x3x=17解这个方程，得x=2个位上的数为6，百位上的数为9。故所求的三位数为926。所求的三位数为926。例10抗洪救災中，甲处有91

9、名解放军战士，乙处有49名解放军战士，现又调来100名战士支援，使甲处的人数是乙处人数的3倍少12人，应往甲，乙两处各调多少名战士？这个问题里的相等关系是：分配后甲处战士总数=分配后乙处战士总数312。设往甲处调x名解放军战士，再分析关系的左，右两边，可得下表：甲处原有解放军战士91名，后又调来解放军战士x名乙处原有解放军战士49名，后又调来解放军战士（100x）名甲处现有解放军战士（91x）名乙处现有解放军战士（49100x）名设往甲处调x名解放军战士，依题意，得91x=3（49100x）12解这个方程，得x=86100x=14应往甲处调86名战士，往乙处调14名战士。在遇到条件较多，关系较

10、复杂的应用题，如行程问题，数字问题，劳动力分配问题等，可以列一表格来分析题意，把已知条件和所求的未知量纳入表格，列出代数式，找出各种量之间的关系，再列出方程，这样便可打开应用题的思路。列表法既直观，各种数量关系又易暴露，容易找相等关系，是解应用题行之有效的好方法之一。望同学们熟悉掌握，灵活应用。例11修筑一条公路，由3个工程队分筑，第一工程队筑全路的；第二工程队筑剩下的第三工程队筑了20千米把全部路筑完，问全路共有多少千米？从这道问题中，可有这样的相等关系：第一工程队筑路数第二工程队筑路数第三工程队筑路数=全路的总共设全路总共为S千米，用线的图表示如下：S （1）S 一 二 （1）S 三20千

11、米设全路是S千米，依题意，得S（1）S20=S解这个方程，得S=45全路长为45千米。画线的图表示应用题中数量关系，并把已知量和未知量标在线的图上，把应用题中的数量关系直观的呈现在我们面前，便可迅速列出方程，打开思路。如行程问题，工程问题，和，差，倍，商问题都可借助此法。例12初一（2）班共有学生42人，在一次考试中，数学得优的有30人，语文得优的有28人，两门功课都没有得优的有2人，问数学，语文都得优的有几人？ A B 30x x 28x 2人本例中有如下的相等关系：语文得优人数单是数学得优人数两门都得优人数2门都没有得优的2人=全班总人数设语文，数学都得优的有x人，用集合A表示数学得优的人

12、数，用集合B表示语文得优的人数，如上图所法。设语文，数学都得优的为x人，依题意，得 28x30xx2=42解这个方程，得x=18 答：语文，数学都得优的有18人。用集合图形，扇形图形，面积图形等把应用题中的已知量和未知量标在图上，把条件之间不明显的关系，通过图形清晰显示出来。指示了数量之间的关系，易于找出相等关系，列出方程，达到目的。这也是指示应用题思路的常用方法，且行之有效，望同学们熟悉此法，应用此法。例13要把95%的酒精溶液800克稀释成75%的酒精溶液，需要加水多少克？95%的酒精溶液加上水后，重量变了，浓度变了，但酒精溶液中的纯酒精没有变（如下图）。也就是说，这道应用题含有这样一个相

13、等关系：加水前纯酒精重量=加水后纯酒精重量 95%酒精溶液800g 75%酒精溶液（800x）g设需要加水x克。依题意，得 95%800=（800x）75%解这个方程，得：x=213需要加水213克。画出直观图，把数量关系用图表示，直观，真切，如本课本P214图42也有同样的效果。这种分析应用题思路和方法，使理论与实践相结合，图文并茂，效果好，是值得推祟的一种分析应用题的好方法之一。 【思维体操】例1解方程：指示思路一：此题含有多重括号，常规思路，是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，循规套辙而进。去括号，得移项，合并同类项，得 3x=21系数化成1，得 x=7指示思路二：观察此题，可发现“

14、”与“”是倒数关系，采取先去括号可捷足先登。先去中括号，得合并大括号的同类项，得去大括号，得 3x16=5移项，合并同类项，得 3x=21系数化成1，得x=7指示思路三：我们对本题中的大括号内的数与式看成两项，应用乘法分配律，先去大括号，再去小括号，最后去小括号，反其道而攻之，也可获得成功。指示思路四：对本例我们把整个大括号内的数与式看成x，采取系数化成1的解法，也可打开思路，而且解法新颖，灵活。本例采取四种解法，解法一应用常规解法，稳步前进；解法二抓住倒数关系，打破运算顺序，先去中括号，简化运算步骤，达到目的。解法三采取逆向思维，先去大括号，再，使问题顺利解决。最后一种解法是灵活运用系数化成

15、1，始终把左边看成一个整体（孕育着换元思想，为学好换元法埋下了伏笔），也找到完美的解法。可见，解方程时，不一定要按照解一元一次方程的一般步骤去做，在符合运算律的情况下，要冲破其束缚。认真观察方程的特点，灵活选用最佳解题方法，可培养自己的创新意识，塑造创新人材恰到好处。对培养各种思维能力，提高数学素养，大有裨益。例2一轮船从甲地顺流而下8小时到达乙地，原路返回需12小时才能到达甲地，已知水流的速度是每小时3千米，求甲、乙两地的距离。本题中有两个“不变量”，即甲、乙两地间的距离与轮船在静水中的速度，抓住这两个不变量，以此为突破口，可找到两个相等关系式。轮船在静水中的速度=轮船在静水中的速度或甲地到

16、乙地的距离=乙地到甲地的距离。根据这两个相等关系而设出未知数，可迅速打开思路。（1）设直接未知数：设甲、乙两地的距离为x千米，列表如下：船间距离时间速度从甲地到乙地x千米8小时千米/时从乙地到甲地12小时设甲、乙两地的距离为x千米，依题意，得解这个方程得：x=144甲、乙两地距离是144千米。（2）设间接未知数：设轮船在静水中速度为x千米/时，列表如下：航间（x3）千米/时8（x3）千米（x3）千米/时12（x3）千米又解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，依题意，得 8（x3）=12（x3）解这个方程，得 x=15 8（x3）=144甲、乙两地的距离为144千米。对于顺水（风）或逆水（风）问

17、题，抓住基本数量关系：顺水（风）速度=静水（无风）速度水流速度（风速）逆水（风）速度=静水（无风）速度水流速度（风速）掌握这个数量关系式，问题可迎刃而解。扩散一：一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24千米/时，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的距离。本例与例2分析雷同，请同学们仿例2分析。设两城市之间的飞行路程为S千米，依题意，得S=2448两城市之间的飞行路程为2448千米。也可这样解：设飞机无风飞行的速度为x千米/时，据题意，得。扩散二：轮船顺水航行80千米所需的时间和逆水航行60千米需的时间相同，已知水流的速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度。本题的相等关

18、系是：顺水航行80km的时间逆水航行60km的时间根据S1=V1t，S2=V2t可知：S1:S2=V1:V2，借助小学学习的比例性质便可攻破。设轮船在静水中的速度为x千米，据题意，有 （x3）: （x3）=80:60 4（x3）=3（x3） x=21轮船在静水中的速度为21km/时。扩散三：轮船从甲地逆流航到乙地，然后从乙地顺流航行回甲地，已知水流的速度是每小时3千米，回来时所需时间等于去时的，求轮船在静水中中的速度。本例分析可仿例2，本例的独特之处没有告诉去时所用时间，时间是任意量，抓住这一点，可设轮船从甲地逆流航行至乙地共用一个单位时间，便可减少未知量，提高解题速度。设轮船在静水中的速度为

19、x千米/时，轮船从甲地逆流航行到乙地共用了1单位时间，据题意，得（x3）=1（x3）解这个方程，得 x=21轮船在静水中的速度为21千米/时。扩散四：某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船3小时，已知轮船在静水中的速度为8千米/时，水流的速度为2千米/时，若A、C两地间距离为2千米，求A、B的距离。本例指示思路与例2相仿，之所以不同之处，逆流而上到C地，而C地的地理位置没有确定，C地在A地下游还是在A地上游呢？题目没有交待，因之，必须考虑两种情况，不然，会造成失解。设A、B间的距离为S千米，据题意应分两种情况考虑：（1）C地在A地的下游，则有解这个方程，得 S=12.5（2

20、）C地在A地的上游，则有解这个方程，得 S=10A、B间的距离为12.5千米或10千米。三、智能显示 【心中有数】一元一次方程的解法和应用是本单元的重点，也是中考热点内容之一。掌握一元一次方程的解法不仅仅是为了解一元一次方程，它是解其他整式方程和方程组的基础。事实上，解各种方程和方程组，通常都要通过降次和消元，最后将它们转化为一元一次方程进行求解。其重要性显而易见，一定要熟练掌握这部分内容，并要灵活运用。列一元一次方程解应用题是本单元难点，因之，在学习中，要学会分析法，理论与实践相结合，利用列表法，画线的图法，画图法等帮助分析，找相等关系。这些关系问题，一定要铭记，才能把列一元一次方程解应用题

21、难点突破，取得进展，反复强化达到熟练。 【动脑动手】 1.解方程： （1） （2） （3）2.解关于x的方程： （ab）3.已知（1）试用x的代数式表示y；（2）试用y的代数式表示x； 【创新园地】1.甲、乙两个同时从相距65千米的A、B两地相向而行，甲的速度为17.5千米/时，乙的速度为15千米/时，经过几小时，甲、乙两人相距32.5千米？2.已知A、B两地相距24.5千米，甲以16.5千米/时的速度从A地出发，乙以9千米/时的速度从B地出发，两人同时同向而行（开始时甲在乙的后面），问经过多少小时，两人相距14千米？3.甲骑摩托车，每小时行40km。乙骑脚踏车，每小时行20km，上午七时他们

22、从相距140千米的A、B两地同时出发。（1）相向而行，在什么时刻他们相距20km?（2）同向而行，在什么时刻他们相距20km？ 【动脑动手】答案1.（1）由原方程变形，得：去分母，得（20x5）3（60x4）=5（1210x）去括号，得20x5180x12=6050x移项，得20x180x50x=60512合并同类项，得110x=53系数化成1，得x=（2）去括号，得移项合并同类项，得（3）由原方程，得去分母，得x6=6x（1x）4x（2x3）去括号，得x6=6x1x4x2x3 x6=7x12x3合并同类项，得x6=5x2移项，合并同类项，得8=4x系数化为1，得2=x即 x=22.移项，得去

23、分母，得bxax= （ba）x=（） ab ba03.（1）去分母，得3（xy）4（x2y）=12去括号，得3x3y4x8y=12移项，得3x4x12=3y8y合并同类项，得12x=11y（2）同（1）可求：12x=11y，即1211y=x故 x=1211y 【创新园地】答案1.设经过x小时，甲、乙两人相距32.5km依题意，本例应分两种情况；相遇前相距32.5km，相遇后相距32.5km，于是有：（一）相遇前相距32.5km时，则 17.5x15x=6532.5解这个方程，得x=1（二）相遇后相32.5km时，则 17.5x15x=6532.5解这个方程，得x=3经过1小时或3小时，甲、乙两人相距32.5km。2.设经过x小时，两人相距14km，据题意，两人从A、B两地同向而行，因之，应有两种情况；甲没有追上乙而相距14km；甲追上乙而超过乙而相距14km，则有（一）甲没有追上乙而相距