一元一次方程的解放和应用教案Word下载.docx
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b是常数项,习惯上与ax写在方程的左边。
5.列出一元一次方程解应用题的方法:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
【学法指要】
例1下列方程中,一元一次方程的个数有()
(1)
x=5
(2)3x-2y=0(3)5x2-2=0(4)3x2=3(x2-2x)
(5)
=9(6)4x+2=3x-(2-x)
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
指示思路:
根据一元一次方程的概念:
不含分母或者分母中不含未知数的方程经过适当变形后,能化成最简形式ax=b(a≠0),它只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0,这一类方程叫一元一次方程。
由此可知:
(1)、(4)符合条件,故应选(B)。
例2解下列方程,并写出检验过程:
(1)6x-13=-1
(2)10x+1=14x-3
(1)移项,得6x=-1+13
合并同类项,得6x=12
系数化成1,得x=2
检验:
把x=2代入方程,
左边=6×
2-13=-1,右边=-1
∵左边=右边
∴x=2是原方程的根。
(2)移项,得10x-14x=-3-1
合并同类项,得-4x=-4
系数化成1,得x=1
本例也可这样求解:
移项,得1+3=14x-10x
合并同类项,得4=4x
系数化成1,得1=x即x=1
把x=1代入方程
左边=10×
1+1=11右边=14×
1-3=11
∴x=1为原方程的解。
解方程时,移项的根据是等式的性质,它是解方程的基础,要十分重视,且要牢记:
移项要变号,移项时,习惯将含有未知数的项移到方程的左边,不含未知数的项移到方程的右边;
但有时为减少负号的出现,把含未知数的项移到方程的右边,不含未知数的项移到方程的左边,从而避免出错的可能。
注意1=x则x=1不是移项,而是等式的对称性。
要养成检验的好习惯,可避免出错,防患未然。
在以后的解方程过程中,检验不必写出。
例3解方程:
8y-(8-2y)=3y+2(4y+7)
方程中有括号,应设法先去括号求解。
去括号,得8y-8+2y=3y+8y+14
移项,得8y+2y-3y-8y=14+8
合并同类项,得-y=22
系数化成1,得y=-22
去分母去括号时,不要漏掉乘括号中的项,并且要注意括号的符号;
-y=22不是方程的解,必须把y的系数化成1,才能完成解方程的过程,解方程,去括号后可先把左,右两边合并同类项,化简后再移项,再合并同类项,这样较简便,如8y-8+2y=3y+8y+14
合并同类项,得10y-8=11y+14
移项,得10y-11y=14+8
例4解方程:
方程中含有分母,应注意的地方有:
(1)确定分母的最小公倍数是30;
(2)不能漏乘不含分母的项;
(3)方程中的三个分子在去分母后都应加上括号。
去分母,得:
,
即6(x-2)-10(2x-5)=3(x+3)-90
去括号,得6x-12-20x+50=3x+9-90
移项,得6x-20x-3x=9-90+12-50
合并同类项,得-17x=-119
系数化成1,得x=7
去分母时,为防止漏乘,初学时应写上开头的第一步,熟练后可省去。
从上例可以看出,分数线有两层意义,一方面它是除号(包含“除”与“比”的意义),另一方面它又代表着括号,所以在去分母时应将分子用括号括括上。
例5解方程:
提示思路:
方程中的分子,分母均含有小数,直接去分母比较麻烦,可先用分数的基本性质,化成整数,然后再去分母。
原方程可化为:
去分母,得29×
15-12(t+3)=45t-5(4t-28)
去括号,移项及合并同类项,得37t=259
系数化成1,得t=7
例6解方程:
此方程含有繁分式,应用分数的基本性质将繁分式化简后,再确定最佳解法。
即
亦即
去分母,得144-4(2x-1)=18x-(25x-10)
去括号,移项,合并同类项,得x=138
由上观之,解一元一次方程的五个步骤不一定要按照它的程序一定不变,要因题而异,灵活运用。
如本例,先进行繁分式的化简,再去分母等。
对本例也可逐一去掉分母的解法。
都可达到予期的效果。
当达到解一元一次方程十分得心应手时,解方程的步骤便可不写出来。
例7在公式l=Lo(1+at)中,已知L=80.096,Lo=80,α=0.000012,求t
在这个公式中,虽然有L,Lo,α,t四个字母,但L,Lo,α的数值为已知数,只有一个未知数t,因此,解关于t的一元一次方程即可。
把L=80.096,Lo=80,α=0.000012分别代入公式中,得
80.096=80×
(1+0.000012t)
80.096=80+0.00096t
0.00096t=0.096
t=100
用解方程的方法求公式中字母的值,在今后的数学,物理,化学课程的学习中经常用到,因此,应熟练掌握。
例8某人从甲村出发去乙村,在乙村停留1小时后,又绕道丙村,再停留半小时后,返回甲村。
去时的速度是每小时5千米,回来的速度是每小时4千米,来回(包括停留时间在内)一共用6小时30分钟。
如果回来时因绕道关系,路程比去时多2千米,求去时的路程?
路程问题(即行程问题)涉及速度,时间,路程(即距离)三者关系,若设去时的路程为S千米,可列表如下
速度千米/时
时间(小时)
路程(千米)
去
5
S/5
S
回
4
(S+2)/4
S+2
其它已知量
停留(1+
)小时来回共用6
小时
回来时多走2千米
从上表中可以清楚发现这样一个相等关系:
走路的时间+停留时间=总时间
解:
设去时的路程为S千米,依题意,得
解这个方程得S=10
答:
去时的路程为10千米。
例9一个三位数,三个数位上的数字的和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上的数的3倍,求字个三位数。
这道题含有这样一个相等关系:
百位上的数+十位上的数+个位上的数=17
设十位上的数为x,再分析上面相等关系,便可得到下珍:
左边
右边
设十位上的数为x
百位上的数为(x+7)
个位上的数为3x
这个三位数为100(x+7)+10x+3x
三个数位上的数的和是17
设十位上的数为x,依题意,得
(x+7)+x+3x=17
解这个方程,得x=2
个位上的数为6,百位上的数为9。
故所求的三位数为926。
所求的三位数为926。
例10抗洪救災中,甲处有91名解放军战士,乙处有49名解放军战士,现又调来100名战士支援,使甲处的人数是乙处人数的3倍少12人,应往甲,乙两处各调多少名战士?
这个问题里的相等关系是:
分配后甲处战士总数=分配后乙处战士总数×
3-12。
设往甲处调x名解放军战士,再分析关系的左,右两边,可得下表:
甲处原有解放军战士91名,后又调来解放军战士x名
乙处原有解放军战士49名,后又调来解放军战士(100-x)名
甲处现有解放军战士(91+x)名
乙处现有解放军战士(49+100-x)名
设往甲处调x名解放军战士,依题意,得91+x=3(49+100-x)-12
解这个方程,得x=86
∴100-x=14
应往甲处调86名战士,往乙处调14名战士。
在遇到条件较多,关系较复杂的应用题,如行程问题,数字问题,劳动力分配问题等,可以列一表格来分析题意,把已知条件和所求的未知量纳入表格,列出代数式,找出各种量之间的关系,再列出方程,这样便可打开应用题的思路。
列表法既直观,各种数量关系又易暴露,容易找相等关系,是解应用题行之有效的好方法之一。
望同学们熟悉掌握,灵活应用。
例11修筑一条公路,由3个工程队分筑,第一工程队筑全路的
;
第二工程队筑剩下的
第三工程队筑了20千米把全部路筑完,问全路共有多少千米?
从这道问题中,可有这样的相等关系:
第一工程队筑路数+第二工程队筑路数+第三工程队筑路数=全路的总共
设全路总共为S千米,用线的图表示如下:
S(1-
)S
一.二.
(1-
)S三.20千米
设全路是S千米,依题意,得
S+
(1-
)S+20=S
解这个方程,得S=45
全路长为45千米。
画线的图表示应用题中数量关系,并把已知量和未知量标在线的图上,把应用题中的数量关系直观的呈现在我们面前,便可迅速列出方程,打开思路。
如行程问题,工程问题,和,差,倍,商问题都可借助此法。
例12初一
(2)班共有学生42人,在一次考试中,数学得优的有30人,语文得优的有28人,两门功课都没有得优的有2人,问数学,语文都得优的有几人?
AB
30-xx28-x
2人
本例中有如下的相等关系:
语文得优人数+单是数学得优人数+两门都得优人数+2门都没有得优的2人=全班总人数
设语文,数学都得优的有x人,用集合A表示数学得优的人数,用集合B表示语文得优的人数,如上图所法。
设语文,数学都得优的为x人,依题意,得
28-x+30-x+x+2=42
解这个方程,得x=18
答:
语文,数学都得优的有18人。
用集合图形,扇形图形,面积图形等把应用题中的已知量和未知量标在图上,把条件之间不明显的关系,通过图形清晰显示出来。
指示了数量之间的关系,易于找出相等关系,列出方程,达到目的。
这也是指示应用题思路的常用方法,且行之有效,望同学们熟悉此法,应用此法。
例13要把95%的酒精溶液800克稀释成75%的酒精溶液,需要加水多少克?
95%的酒精溶液加上水后,重量变了,浓度变了,但酒精溶液中的纯酒精没有变(如下图)。
也就是说,这道应用题含有这样一个相等关系:
加水前纯酒精重量=加水后纯酒精重量
95%酒精溶液800g75%酒精溶液(800+x)g
设需要加水x克。
依题意,得
95%×
800=(800+x)75%
解这个方程,得:
x=213
需要加水213
克。
画出直观图,把数量关系用图表示,直观,真切,如本课本P214图4-2也有同样的效果。
这种分析应用题思路和方法,使理论与实践相结合,图文并茂,效果好,是值得推祟的一种分析应用题的好方法之一。
【思维体操】
例1解方程:
指示思路一:
此题含有多重括号,常规思路,是先去小括号,再去中括号,最后去大括号,循规套辙而进。
去括号,得
移项,合并同类项,得
-3x=21
系数化成1,得
x=-7
指示思路二:
观察此题,可发现“
”与“
”是倒数关系,采取先去括号可捷足先登。
先去中括号,得
合并大括号的同类项,得
去大括号,得
-3x-16=5
移项,合并同类项,得-3x=21
系数化成1,得x=-7
指示思路三:
我们对本题中的大括号内的数与式看成两项,应用乘法分配律,先去大括号,再去小括号,最后去小括号,反其道而攻之,也可获得成功。
指示思路四:
对本例我们把整个大括号内的数与式看成x,采取系数化成1的解法,也可打开思路,而且解法新颖,灵活。
本例采取四种解法,解法一应用常规解法,稳步前进;
解法二抓住倒数关系,打破运算顺序,先去中括号,简化运算步骤,达到目的。
解法三采取逆向思维,先去大括号,再……,使问题顺利解决。
最后一种解法是灵活运用系数化成1,始终把左边看成一个整体(孕育着换元思想,为学好换元法埋下了伏笔),也找到完美的解法。
可见,解方程时,不一定要按照解一元一次方程的一般步骤去做,在符合运算律的情况下,要冲破其束缚。
认真观察方程的特点,灵活选用最佳解题方法,可培养自己的创新意识,塑造创新人材恰到好处。
对培养各种思维能力,提高数学素养,大有裨益。
例2一轮船从甲地顺流而下8小时到达乙地,原路返回需12小时才能到达甲地,已知水流的速度是每小时3千米,求甲、乙两地的距离。
本题中有两个“不变量”,即甲、乙两地间的距离与轮船在静水中的速度,抓住这两个不变量,以此为突破口,可找到两个相等关系式。
轮船在静水中的速度=轮船在静水中的速度或甲地到乙地的距离=乙地到甲地的距离。
根据这两个相等关系而设出未知数,可迅速打开思路。
(1)设直接未知数:
设甲、乙两地的距离为x千米,列表如下:
船间
距离
时间
速度
从甲地到乙地
x千米
8小时
千米/时
从乙地到甲地
12小时
设甲、乙两地的距离为x千米,依题意,得
解这个方程得:
x=144
甲、乙两地距离是144千米。
(2)设间接未知数:
设轮船在静水中速度为x千米/时,列表如下:
航间
(x+3)千米/时
8(x+3)千米
(x-3)千米/时
12(x-3)千米
又解:
设轮船在静水中的速度为x千米/时,依题意,得
8(x+3)=12(x-3)
解这个方程,得x=15
∴8(x+3)=144
甲、乙两地的距离为144千米。
对于顺水(风)或逆水(风)问题,抓住基本数量关系:
顺水(风)速度=静水(无风)速度+水流速度(风速)
逆水(风)速度=静水(无风)速度-水流速度(风速)
掌握这个数量关系式,问题可迎刃而解。
扩散一:
一架飞机飞行在两个城市之间,风速为24千米/时,顺风飞行需要2小时50分钟,逆风飞行需要3小时,求两个城市之间的距离。
本例与例2分析雷同,请同学们仿例2分析。
设两城市之间的飞行路程为S千米,依题意,得
S=2448
两城市之间的飞行路程为2448千米。
也可这样解:
设飞机无风飞行的速度为x千米/时,据题意,得
……。
扩散二:
轮船顺水航行80千米所需的时间和逆水航行60千米需的时间相同,已知水流的速度为3千米/时,求轮船在静水中的速度。
本题的相等关系是:
顺水航行80km的时间逆水航行60km的时间
根据S1=V1t,S2=V2t可知:
S1:
S2=V1:
V2,借助小学学习的比例性质便可攻破。
设轮船在静水中的速度为x千米,据题意,有
(x+3):
(x-3)=80:
60
∴4(x-3)=3(x+3)
∴x=21
轮船在静水中的速度为21km/时。
扩散三:
轮船从甲地逆流航到乙地,然后从乙地顺流航行回甲地,已知水流的速度是每小时3千米,回来时所需时间等于去时的
,求轮船在静水中中的速度。
本例分析可仿例2,本例的独特之处没有告诉去时所用时间,时间是任意量,抓住这一点,可设轮船从甲地逆流航行至乙地共用一个单位时间,便可减少未知量,提高解题速度。
设轮船在静水中的速度为x千米/时,轮船从甲地逆流航行到乙地共用了1单位时间,据题意,得
(x+3)=1·
(x-3)
解这个方程,得x=21
轮船在静水中的速度为21千米/时。
扩散四:
某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船3小时,已知轮船在静水中的速度为8千米/时,水流的速度为2千米/时,若A、C两地间距离为2千米,求A、B的距离。
本例指示思路与例2相仿,之所以不同之处,逆流而上到C地,而C地的地理位置没有确定,C地在A地下游还是在A地上游呢?
题目没有交待,因之,必须考虑两种情况,不然,会造成失解。
设A、B间的距离为S千米,据题意应分两种情况考虑:
(1)C地在A地的下游,则有
解这个方程,得S=12.5
(2)C地在A地的上游,则有
解这个方程,得S=10
A、B间的距离为12.5千米或10千米。
三、智能显示
【心中有数】
一元一次方程的解法和应用是本单元的重点,也是中考热点内容之一。
掌握一元一次方程的解法不仅仅是为了解一元一次方程,它是解其他整式方程和方程组的基础。
事实上,解各种方程和方程组,通常都要通过降次和消元,最后将它们转化为一元一次方程进行求解。
其重要性显而易见,一定要熟练掌握这部分内容,并要灵活运用。
列一元一次方程解应用题是本单元难点,因之,在学习中,要学会分析法,理论与实践相结合,利用列表法,画线的图法,画图法等帮助分析,找相等关系。
这些关系问题,一定要铭记,才能把列一元一次方程解应用题难点突破,取得进展,反复强化达到熟练。
【动脑动手】
1.解方程:
(1)
(2)
(3)
2.解关于x的方程:
(a≠b)
3.已知
(1)试用x的代数式表示y;
(2)试用y的代数式表示x;
【创新园地】
1.甲、乙两个同时从相距65千米的A、B两地相向而行,甲的速度为17.5千米/时,乙的速度为15千米/时,经过几小时,甲、乙两人相距32.5千米?
2.已知A、B两地相距24.5千米,甲以16.5千米/时的速度从A地出发,乙以9千米/时的速度从B地出发,两人同时同向而行(开始时甲在乙的后面),问经过多少小时,两人相距14千米?
3.甲骑摩托车,每小时行40km。
乙骑脚踏车,每小时行20km,上午七时他们从相距140千米的A、B两地同时出发。
(1)相向而行,在什么时刻他们相距20km?
(2)同向而行,在什么时刻他们相距20km?
【动脑动手】答案
1.
(1)由原方程变形,得:
去分母,得(20x-5)-3(60x-4)=5(12-10x)
去括号,得20x-5-180x+12=60-50x
移项,得20x-180x+50x=60+5-12
合并同类项,得-110x=53
系数化成1,得x=
(2)去括号,得
移项合并同类项,得
(3)由原方程,得
去分母,得x-6=6x-(1-x)-[4x-(2x+3)]
去括号,得x-6=6x-1+x-[4x-2x-3]
x-6=7x-1-2x+3
合并同类项,得x-6=5x+2
移项,合并同类项,得-8=4x
系数化为1,得-2=x
即x=-2
2.移项,得
去分母,得bx-ax=-
-
(b-a)x=-(
+
)
∵a≠b∴b-a≠0
3.
(1)去分母,得3(x-y)-4(x+2y)=-12
去括号,得3x-3y-4x-8y=-12
移项,得3x-4x+12=3y+8y
合并同类项,得12-x=11y
(2)同
(1)可求:
12-x=11y,即12-11y=x
故x=12-11y
【创新园地】答案
1.设经过x小时,甲、乙两人相距32.5km依题意,本例应分两种情况;
相遇前相距32.5km,相遇后相距32.5km,于是有:
(一)相遇前相距32.5km时,则
17.5x+15x=65-32.5
解这个方程,得x=1
(二)相遇后相32.5km时,则
17.5x+15x=65+32.5
解这个方程,得x=3
经过1小时或3小时,甲、乙两人相距32.5km。
2.设经过x小时,两人相距14km,据题意,两人从A、B两地同向而行,因之,应有两种情况;
甲没有追上乙而相距14km;
甲追上乙而超过乙而相距14km,则有
(一)甲没有追上乙而相距