四 数阵文档格式.docx

1、因为1+2+8=36，所以大正方形的四个顶点数之和应为363=12，这四个数只能是1，2，3，6，每边上的三数之和为（36+12）4=12。由此可得左下图的填法。14.解：设角上有a名士兵，由四条边上的士兵相加，得4150=360+4a，解得a=60，兵力分配见右上图。15.解：因为每个角都属于两面，所以四面的武器的威力系数之和，等于所有武器的威力系数之和，再加上四个角的武器威力系数。推知四个角的武器威力系数应尽量大。因为1+2+10=55，当四个角的威力系数为10，9，8，7时，55+10+9+8+7=89，89不是4倍数，所以四个角只能是10，9，8，6，由此可得每一面的威力系数应是（55

2、+10+9+8+6）4=22。分配如下图。16.17.解：设中心数为a，各条直线和各个圆周上的三数之和均为k。因为a属于三条直线公有，其余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到2（1+2+7）+a=5k，化简为a+56=5k。因为1a7，a+56又是5的倍数，所以a=4，k=12。填数方法见右图。18.19.解：如果不要求正三角形三个顶点数字之和也相等，则题目退化为3-4辐射图，由第1（1）题知，中心数有四种填法。对于每一种填法，适当调整各直线上数字的位置，都可使每个正三角形三个顶点数字之和相等（解不唯一）。所以本题共有四种中心数不同的解（见下图）。20解：每个圆周和每条直线上三数之和应为15，

3、其中有9的只有915和924，分别对应下图的两个解。21解：设每个圆内的数字之和为k，则五个圆内的数字之和是5k，它等于19的和45，再加上两两重叠处的四个数之和。而两两重叠处的四个数之和最小是123410，最大是678930，所以，5k453075且5k451055，即11k15。当k11，13，14时可得四种填法（见下图），k12，15时无解。22解：设每个大圆周上的四个数之和为k（即题中的定数）。图中有一个属于三个大圆公有，有三个各属于两个大圆公有。设属于三个大圆公有的内的数为w，属于两个大圆公有的三个内的数字之和为v。将三个大圆上的数字和相加，得到3k1234567v2w28v2w，因

4、为v2w最小为11（w1，v234），最大为29（w7，v654），分别代入上式，解得13k19，即定数可以取13至19之间的整数。本题是k13的情况，此时w1，v234，其它数的填法见右图。第2325题的解题方法与第22题相同。26解：19中有五个奇数，因为I属于四个圆公有，并且是奇数，要使每个圆内的四数之和都等于20，只有A，B，C，D是奇数，所以EFGH246820。又因为I属于四个圆公有，E，F，G，H各属于两个圆公有，A，B，C，D只属于一个圆公有，于是得到（129）（EFGH）3I80。由上式求得I5，于是可得右上图的答案。2726。解：五个正方形四角上的数字之和都等于K，合起来是

5、5K。另一方面，除中间正方形四角上的数字各属于三个正方形外，其余数字仅属于一个正方形，所以五个正方形四角上所有数字之和又等于112的和再加2K，得到方程5K（1212）2K，解得K26。28解：设中心小三角形内的数为a，在四个大三角形中有三个尖朝上的，由这三个大三角形内的数字之和可得（1210）2a253，解得a10，由此可得填数方法如下：29提示：每个三角形上的三数之和都等于15。30解：设每条边上的五个数之和为k。左下图中三个阴影三角形只属于一条边，其余三角形各属于两条边，记三个阴影部分的数字之和为s，则有3k（129）2s90s，因为s的最小值为1236，所以k的最大值为28；同理k最小

6、值为22。右下图为k28和k22的填数方法。31提示：因为每个数字都属于两条直线，所以六条直线上的数字之和等于前12个自然数之和的2倍，即156，由此知每条直线上的四个数字之和为26。32解：图中的六个圆分为四个小圆、一个中圆和一个大圆。如果不考虑中圆，那么除中心数属于四个圆公有外，其余各数均属于两个圆公有。设每个圆周上的四数之和为K，中心数为I，则由这五个圆周上的数字之和得到5K（129）22I，化简得K182I5。因为K是整数，且1I9，所以I5，由此求得K20。因为I5同时属于四个小圆，而每个小圆上的四个数字之和为K20，所以剩下的四个奇数1，3，7，9必在大圆周上（即每个小圆周上有两个

7、奇数），由此推出四个偶数2，4，6，8在中圆周上。33本题与第32题形式不同，但实质完全相同。填数方法见右上图。34解：设四个顶点的数字之和为S。因为每个顶点属于三个面公有，所以由四个面的数字之和得（128）2S144，解得S10，所以四个顶点的数是1，2，3，4。填法见右图。35解：因为每个顶点属于三个面公有，所以每个面上的数字之和为（128）3618，由此得到下图所示的三个解：36解：设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为129a45a。由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为6k3（45a），即2k45a。由此知a必为奇数，再由k不能被a整除推知a7，k19。各数的填

8、法见右图。372或3（见下图）。38解：每个正三角形顶点的三数之和为（129）315，每条直线上的四数之和为20。将19九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15只有如下两种分法：（1）1，5，9；2，6，7；3，4，8；（2）1，6，8；2，4，9；3，5，7。对于（1），中心小正三角形三个顶点数为1，5，9时，可得左下图的解；对于（2），中心小三角形三个顶点数为3，5，7时，可得右下图的解。本题本质上只有这两解。39解：设左下图中阴影部分的数字之和为S。因为阴影部分属于两个圆公有，所以由四个圆内的数字之和得到28（1212）S，解得S34。在剩下的八个数中取四个，只有5，6，11，12或6

9、，7，9，12的和等于34，经试验只有右下图一解。 解不唯一。42证明：将a，b，c三数按左下图所示填入方格，根据题目条件可得右下图。在右下图中，根据第二列和第三行都可以求出处的数，可得方程k（kab）ck（kbc）（kac）。注意：这个命题对九个数没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数，可以相同，也可以不同。43证明：设每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于k，中心数为d。根据题目条件可得下图。在下图中，根据第一行和第三列都可以求出处的数，可列方程kc（kdb）ka（kdc），这个命题对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。44（1）45

10、； （2）6。x（3456）245。（2）中心数为（59）27，第二行第三列的数为73（87）6，y73（96）6。45（1）7； （2）12。提示：由第42题知，中心数为2438。46（1）8； （2）11。解：（1）由第43题知，右下角的数为（39）26，所以x73（67）8。（2）由第43题知，右下角的数为（37）25，由67y（y5）23，解得y11。47解：由第42题知中间方格中的数为267389。由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为26789178。两个质数之和为178的共有六组：51731116729149411374

11、713171107，经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。第48，49题与第47题类似。51解：（1）由第42题知中间方格的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列以及对角线的和都等于21，如右图所示填上各数（含x）。因为九个数都不大于12，由16x12知4x，由x212知x10，即4x10。考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经试验，当x6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x4或10时可得两个解（见左下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。（2）与（1）类似可解（见右上图）。52提示：对于符合题意的某种填法，任意交换两行或两列，仍是符合题意的填法。所

12、以利用题中给出的填法（以下简称原解）可求解。比如（1），已给出4，6，由原解知，与4，6在同一行的是5，可填上5；再由原解知2，5之间填8；再由原解与4，8所在行、列相交的是5和7，5已填好，可填7。其余数类似可填。53提示：因为中间两个分别只与一个不相邻，只能填1和8，其余数的填法见左下图。54与第53题本质相同，填法见右上图。55解：首先确定这九个连续自然数。因为六条直线上的所有数之和等于6加了一次，其余数各加了两次，所以这九个数之和等于（2366）272。九个数中间的数是7298，推知这九个数是412，填数时注意到两个数的和是23的只有1112，可填上11和12（见左下图）。再注意到AB

13、1，CD1及6的位置，可依次填上9，8；5，4；10，7（见右下图）。56解：不算中间的小三角形，则每个都是两个三角形的顶点。设每个三角形三个顶点数之和为k，则有6k（1239）2，解得k15。如果中间小三角形的三个顶点数都是奇数，则可推出外圈六个数的奇偶性全部相同，不合题意，所以中间小三角形的三个顶点数为一奇两偶（见右图）。又若图中处为奇数，则可推出全部九个数中只有三个奇数，不合题意，所以19中的四个偶数应填在同一直线的四个中。再由全是奇数构成的两个三角形推知中间小三角形中的奇数是5，从而两个偶数是4，6或2，8。于是得到下图中所示的四解：57解：本题中左下角的数属于5条直线共有，对角线上中

14、间的数属于4条直线共有，其余数只属于2条或3条直线，所以左下角的数和对角线上中间的数处于特殊地位，应当首先确定这两个数以及每条直线上三数之和。设每条直线上三数之和为k。由图（1）中5条实线上所有数字之和，可列方程因为k是整数，所以a只能取1，6或11；再由图（2）中四条实线上所有数字之和，可列方程得到a只能取2，6或10。综合以上讨论知a6，k18。在图（3）中的5条实线中，只有b属于3条实线共有。注意到这5条实线上的数字没有6，在剩下的十个数字中，三个数的和等于18的共有以下八组：3411；189；1710；3510；279；2511；378；459，其中同时出现在三个算式中的数只有3和9，

15、所以b只可能是3或9，此时c等于9或3。由同时含有3的三个算式知，若b3，c9，则d，e只能取4，11或5，10或7， 8，由于每条直线上的三个数之和为18，且c9，故d，e不能等于10或11，所以d，e只能取7，8。由此可得左下图中的答案。同理，若b9，c3，则可得右下图的另一答案。58解：因为每个三角形的顶点数之和都相等，所以大三角形的每个顶点必与对边中点的数相等，并由此得到三个顶点数之和为20210只能是2，3和5（见左下图）。59解：设每条边上的三个数之积为a，则a3应等于这六个数相乘后，再乘以三个顶点数的乘积。这六个数的乘积为1348122832。为使2832与三个顶点数的乘积是立方

16、数，三个顶点数有四种可能搭配：1，2，3；2，3，8；1，4，12；4，8，12。经试验只有右上图所示的两种填法。60提示：三个质数的和仍为质数，最小的是2237。填法如右图所示。63解：四条边上的数字和为4520，而每个角上的数字属于两条边公有，所以当八个数的总和为K时，四个角上的数字之和为（20K）。填法如下图所示。64解：因为121391，从中去掉一个数后应能被3和4整除，即能被12整除，由911277知，应该去掉7。这样每个横行之和应为84328，每个竖列之和应为84421。进一步分析知道，六个奇数必然有三个在一列，另外三个各在一列。三个奇数的和为21的只有1911和3513两组，填好

17、奇数，剩下的数就好填了（见下图）。上面给出了两个答案，因为行与行、列与列可互换，所以共有288种答案，但本质上只有以上两种。 66解：设每条边上的三数之和为S。如右图所示，设标有a的三数之和为A，标有b的三数之和为B。因为标有a的只属于一条边，没标字母的属于两条边，标有b的属于三条边，所以六条边上所有数字之和等于将19加两遍，再加B减A，得到6S90BA，再由小三角形三边上的数字和，得到3S2BA。由可得 S10B/3，所以B必为3的倍数。又因为B是19中的三数之和，故6B24。当B6时，S12，用b表示的三个数只能是1，2，3，可得左下图的解。当B24时，S18，用b表示的三个数只能是7，8

18、，9，可得右上图的解。当B12时，S14，只有当用b表示的三个数为1，4，7时，有左下图的解。当B18时，S16，只有当用b表示的三个数为3，6，9时，有右上图的解。当B9，15或21时无解。67分析：一般地，对于左下图中的四个数a，b，c，d，如果取任一行、任一列三数之积为abcd，则有左下图的填法，其中s1；如果 cd， ab， bd，ac有公约数e，则有右下图的填法，其中se。记cd，ab，bd，ac的最大公约数为k，如右下图所示，k的每一个不同的约数e对应一个不同的解，所以题目不同答案的数量等于k的约数的个数。（1）因为（12，43，14，23）2，2只有1和2两个约数，由上面的分析可

19、得左下图所示的两个解。（2）因为（23，45，24，35）1，所以只有右上图所示的一个解。（3）因为（23，55，34）2，2只有1和2两个约数，所以有下图所示的两个解。68解：（1）右下角的数为1210158，如左下图所示，由c所在的行与列的三数之积相等，得到12a8d，即ad23；同理，由a所在的行与列，可得12c15b，即bc45。于是可得下中图的解。（2）与（1）类似可得右上图的解。69解：（1）右上角的数为60（56）2，右下角的数为56215。与第67题类似，可得下面两种填法。（2）与（1）类似可得下面两种填法。70解：圆内三数之和最小为1113，最大为2226，有三个1的圆和有三

20、个2的圆必在相对的位置，填法如右图。71解：同一圆周上的四个数不可能相同，否则另外两个圆周上的四数之和必然相等。由此知道，同一圆周上的四数之和最小为11125，最大为12227，即三个圆周上的四数之和分别为5，6，7，填法见下图。72解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情况得到下图所示的两个解。因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反幻方。73解：如果五个数中有两个相同，则其中三个数的和至多有7个不同值，所以五个数互不相同。五个互不相

21、同的自然数中，最小的是1，2，3，4，5，但其中三个数之和在612之间，只有7个不同值。我们接着考虑1，2，3，4，6，它们中的三个数之和在613之间，有8个不同值，而五个数中任选三个有10种不同组合，说明其中必有两组的和与另外八组中某组的和相同，如果将这两组数分别填在两条对角线上，则另外八组数均构成三角形，且顶点数之和互不相同，这正是我们所要求的。实际计算知，1，2，6与2，3，4两组的和都等于9；1，4，6与2，3，6两组的和都等于11。在和等于9与11的数中各选一组，要求包含1，2，3，4，6五个数，只有一种选法，即选2，3，4与1，4，6，其中4为两组公有，故应将4填在中间内，得到右图所示的答案。74（1）不能。在外面的四个三角形中，中正方形的四个顶点分别属于两个三角形，大正方形的四个顶点分别只属于一个三角形，所以四个三角形顶点数之和等于 3（1234）30，因为 30不是 4的倍数，所以外面的四个三角形的顶点数之和不可能相等。同理，里面的四个三角形的顶点数之和也不可能相等。（2）每个三角形的三个顶点数字不可能全相同，所以三个数之和最小为1124，最大为44311，可以使八个三角形顶点数字之和各不相同。右图是一种填法。