四 数阵文档格式.docx

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因为1+2+…+8=36，所以大正方形的四个顶点数之和应为36÷

3=12，这四个数只能是1，2，3，6，每边上的三数之和为

　　（36+12）÷

4=12。

　　由此可得左下图的填法。

　　14.解：

设角上有a名士兵，由四条边上的士兵相加，得

　　4×

150=360+4a，

　　解得a=60，兵力分配见右上图。

　　15.解：

因为每个角都属于两面，所以四面的武器的威力系数之和，等于所有武器的威力系数之和，再加上四个角的武器威力系数。

推知四个角的武器威力系数应尽量大。

因为1+2+…+10=55，当四个角的威力系数为10，9，8，7时，55+10+9+8+7=89，89不是4倍数，所以四个角只能是10，9，8，6，由此可得每一面的威力系数应是

　　（55+10+9+8+6）÷

4=22。

　　分配如下图。

　　16.

　　17.解：

设中心数为a，各条直线和各个圆周上的三数之和均为k。

因为a属于三条直线公有，其余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到

　　2×

（1+2+…+7）+a=5k，

　　化简为a+56=5k。

因为1≤a≤7，a+56又是5的倍数，所以a=4，k=12。

填数方法见右图。

　　18.

　　19.解：

如果不要求正三角形三个顶点数字之和也相等，则题目退化为3-4辐射图，由第1

（1）题知，中心数有四种填法。

对于每一种填法，适当调整各直线上数字的位置，都可使每个正三角形三个顶点数字之和相等（解不唯一）。

所以本题共有四种中心数不同的解（见下图）。

　　20．解：

每个圆周和每条直线上三数之和应为15，其中有9的只有9＋1＋5和9＋2＋4，分别对应下图的两个解。

　　21．解：

设每个圆内的数字之和为k，则五个圆内的数字之和是5k，它等于1～9的和45，再加上两两重叠处的四个数之和。

而两两重叠处的四个数之和最小是1＋2＋3＋4＝10，最大是6＋7＋8＋9＝30，所以，

　　5k≤45＋30＝75且5k≥45＋10＝55，

　　即11≤k≤15。

　　当k＝11，13，14时可得四种填法（见下图），k＝12，15时无解。

　　22．解：

设每个大圆周上的四个数之和为k（即题中的定数）。

图中有一个○属于三个大圆公有，有三个○各属于两个大圆公有。

设属于三个大圆公有的○内的数为w，属于两个大圆公有的三个○内的数字之和为v。

将三个大圆上的数字和相加，得到

　　3k＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋v＋2w＝28＋v＋2w，

　　因为v＋2w最小为11（w＝1，v＝2＋3＋4），最大为29（w＝7，v＝6＋5＋4），分别代入上式，解得13≤k≤19，即定数可以取13至19之间的整数。

本题是k＝13的情况，此时w＝1，v＝2＋3＋4，其它数的填法见右图。

　　第23～25题的解题方法与第22题相同。

　　26．解：

1～9中有五个奇数，因为I属于四个圆公有，并且是奇数，要使每个圆内的四数之和都等于20，只有A，B，C，D是奇数，所以

　　E＋F＋G＋H

　　＝2＋4＋6＋8＝20。

　　又因为I属于四个圆公有，E，F，G，H各属于两个圆公有，A，B，C，D只属于一个圆公有，于是得到

　　（1＋2＋…＋9）＋（E＋F＋G＋H）＋3I＝80。

　　由上式求得I＝5，于是可得右上图的答案。

　　27．26。

解：

五个正方形四角上的数字之和都等于K，合起来是5K。

另一方面，除中间正方形四角上的数字各属于三个正方形外，其余数字仅属于一个正方形，所以五个正方形四角上所有数字之和又等于1～12的和再加2K，得到方程

　　5K＝（1＋2＋…＋12）＋2K，

　　解得K＝26。

　　28．解：

设中心小三角形内的数为a，在四个大三角形中有三个尖朝上的，由这三个大三角形内的数字之和可得（1＋2＋…＋10）＋2a＝25×

3，解得a＝10，由此可得填数方法如下：

　　29．提示：

每个三角形上的三数之和都等于15。

　　30．解：

设每条边上的五个数之和为k。

左下图中三个阴影三角形只属于一条边，其余三角形各属于两条边，记三个阴影部分的数字之和为s，则有3k＝（1＋2＋…＋9）×

2－s＝90－s，因为s的最小值为1＋2＋3＝6，所以k的最大值为28；

同理k最小值为22。

右下图为k＝28和k＝22的填数方法。

　　31．提示：

因为每个数字都属于两条直线，所以六条直线上的数字之和等于前12个自然数之和的2倍，即156，由此知每条直线上的四个数字之和为26。

　　32．解：

图中的六个圆分为四个小圆、一个中圆和一个大圆。

如果不考虑中圆，那么除中心数属于四个圆公有外，其余各数均属于两个圆公有。

设每个圆周上的四数之和为K，中心数为I，则由这五个圆周上的数字之和得到

　　5K＝（1＋2＋…＋9）×

2＋2I，

　　化简得K＝18＋2I÷

5。

因为K是整数，且1≤I≤9，所以I＝5，由此求得K＝20。

　　因为I＝5同时属于四个小圆，而每个小圆上的四个数字之和为K＝20，所以剩下的四个奇数1，3，7，9必在大圆周上（即每个小圆周上有两个奇数），由此推出四个偶数2，4，6，8在中圆周上。

　　33．本题与第32题形式不同，但实质完全相同。

填数方法见右上图。

　　34．解：

设四个顶点的数字之和为S。

因为每个顶点属于三个面公有，所以由四个面的数字之和得

　　（1＋2＋…＋8）＋2S＝14×

4，

　　解得S＝10，所以四个顶点的数是1，2，3，4。

填法见右图

。

　　35．解：

因为每个顶点属于三个面公有，所以每个面上的数字之和为

　　（1＋2＋…＋8）×

3÷

6＝18，

　　由此得到下图所示的三个解：

　　36．解：

设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为

　　1＋2＋…＋9－a＝45－a。

　　由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为

　　6k＝3×

（45－a），

　　即2k＝45－a。

由此知a必为奇数，再由k不能被a整除推知a＝7，k＝19。

各数的填法见右图。

　　37．2或3（见下图）。

　　38．解：

每个正三角形顶点的三数之和为（1＋2＋…＋9）÷

3＝15，每条直线上的四数之和为20。

将1～9九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15只有如下两种分法：

（1）1，5，9；

2，6，7；

3，4，8；

（2）1，6，8；

2，4，9；

3，5，7。

　　对于

（1），中心小正三角形三个顶点数为1，5，9时，可得左下图的解；

　　对于

（2），中心小三角形三个顶点数为3，5，7时，可得右下图的解。

　　本题本质上只有这两解。

　　39．解：

设左下图中阴影部分的数字之和为S。

因为阴影部分属于两个圆公有，所以由四个圆内的数字之和得到

28＝（1＋2＋…＋12）＋S，

　　解得S＝34。

在剩下的八个数中取四个，只有5，6，11，12或6，7，9，12的和等于34，经试验只有右下图一解。

　　解不唯一。

　　42．证明：

将a，b，c三数按左下图所示填入方格，根据题目条件可得右下图。

在右下图中，根据第二列和第三行都可以求出★处的数，可得方程

　　k－（k－a－b）－c＝k－（k－b－c）－（k－a－c）。

　　注意：

这个命题对九个数没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数，可以相同，也可以不同。

　　43．证明：

设每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于k，中心数为d。

根据题目条件可得下图。

在下图中，根据第一行和第三列都可以求出★处的数，可列方程

　　k－c－（k－d－b）＝k－a－（k－d－c），

这个命题对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；

可以相同，也可以不同。

　　44．

（1）45；

（2）6。

　　x＝（34＋56）÷

2＝45。

（2）中心数为（5＋9）÷

2＝7，第二行第三列的数为7×

3－（8＋7）＝6，y＝7×

3－（9＋6）＝6。

　　45．

（1）7；

（2）12。

　　提示：

由第42题知，中心数为24÷

3＝8。

　　46．

（1）8；

（2）11。

　　解：

（1）由第43题知，右下角的数为（3＋9）÷

2＝6，所以

　　x＝7×

3－（6＋7）＝8。

（2）由第43题知，右下角的数为（3＋7）÷

2＝5，由

　　6＋7＋y＝（y＋5）÷

2×

3，

　　解得y＝11。

　　47．解：

由第42题知中间方格中的数为267÷

3＝89。

由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267－89＝178。

两个质数之和为178的共有六组：

　　5＋173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47＋131＝71＋107，经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。

　　第48，49题与第47题类似。

　　51．解：

（1）由第42题知中间方格的数为7。

再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列以及对角线的和都等于

　　21，如右图所示填上各数（含x）。

因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≥x，由x＋2≤12知x≤10，即4≤x≤10。

考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。

经试验，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；

当x＝4或10时可得两个解（见左下图）。

这两个解实际上一样，只是方向不同而已。

（2）与

（1）类似可解（见右上图）。

　　52．提示：

对于符合题意的某种填法，任意交换两行或两列，仍是符合题意的填法。

所以利用题中给出的填法（以下简称原解）可求解。

比如

（1），已给出4，6，由原解知，与4，6在同一行的是5，可填上5；

再由原解知2，5之间填8；

再由原解与4，8所在行、列相交的是5和7，5已填好，可填7。

其余数类似可填。

　　53．提示：

因为中间两个○分别只与一个○不相邻，只能填1和8，其余数的填法见左下图。

　　54．与第53题本质相同，填法见右上图。

　　55．解：

首先确定这九个连续自然数。

因为六条直线上的所有数之和等于6加了一次，其余数各加了两次，所以这九个数之和等于（23×

6＋6）÷

2＝72。

九个数中间的数是72÷

9＝8，推知这九个数是4～12，填数时注意到两个数的和是23的只有11＋12，可填上11和12（见左下图）。

再注意到A－B＝1，C－D＝1及6的位置，可依次填上9，8；

5，4；

10，7（见右下图）。

　　56．解：

不算中间的小三角形，则每个○都是两个三角形的顶点。

设每个三角形三个顶点数之和为k，则有

　　6k＝（1＋2＋3＋…＋9）×

2，

　　解得k＝15。

如果中间小三角形的三个顶点数都是奇数，则可推出外圈六个数的奇偶性全部相同，不合题意，所以中间小三角形的三个顶点数为一奇两偶（见右图）。

又若图中★处为奇数，则可推出全部九个数中只有三个奇数，不合题意，所以1～9中的四个偶数应填在同一直线的四个○中。

再由全是奇数构成的两个三角形推知中间小三角形中的奇数是5，从而两个偶数是4，6或2，8。

于是得到下图中所示的四解：

　　57．解：

本题中左下角的数属于5条直线共有，对角线上中间的数属于4条直线共有，其余数只属于2条或3条直线，所以左下角的数和对角线上中间的数处于特殊地位，应当首先确定这两个数以及每条直线上三数之和。

　　设每条直线上三数之和为k。

　　由图

（1）中5条实线上所有数字之和，可列方程

　　因为k是整数，所以a只能取1，6或11；

再由图

（2）中四条实线上所有数字之和，可列方程

　　得到a只能取2，6或10。

综合以上讨论知a＝6，k＝18。

　　在图（3）中的5条实线中，只有b属于3条实线共有。

注意到这5条实线上的数字没有6，在剩下的十个数字中，三个数的和等于18的共有以下八组：

　　3＋4＋11；

1＋8＋9；

1＋7＋10；

3＋5＋10；

　　2＋7＋9；

2＋5＋11；

3＋7＋8；

4＋5＋9，

　　其中同时出现在三个算式中的数只有3和9，所以b只可能是3或9，此时c等于9或3。

由同时含有3的三个算式知，若b＝3，c＝9，则d，e只能取4，11或5，10或7，8，由于每条直线上的三个数之和为18，且c＝9，故d，e不能等于10或11，所以d，e只能取7，8。

由此可得左下图中的答案。

　　同理，若b＝9，c＝3，则可得右下图的另一答案。

　　58．解：

因为每个三角形的顶点数之和都相等，所以大三角形的每个顶点必与对边中点的数相等，并由此得到三个顶点数之和为20÷

2＝10只能是2，3和5（见左下图）。

　　59．解：

设每条边上的三个数之积为a，则a3应等于这六个数相乘后，再乘以三个顶点数的乘积。

这六个数的乘积为

　　1×

3×

4×

8×

12＝28×

32。

　　为使28×

32与三个顶点数的乘积是立方数，三个顶点数有四种可能搭配：

　　1，2，3；

2，3，8；

1，4，12；

4，8，12。

　　经试验只有右上图所示的两种填法。

　　60．提示：

三个质数的和仍为质数，最小的是

　　2＋2＋3＝7。

　　填法如右图所示。

　　63．解：

四条边上的数字和为4×

5＝20，而每个角上的数字属于两条边公有，所以当八个数的总和为K时，四个角上的数字之和为（20－K）。

填法如下图所示。

　　64．解：

因为1＋2＋…＋13＝91，从中去掉一个数后应能被3和4整除，即能被12整除，由91÷

12＝7……7知，应该去掉7。

这样每个横行之和应为84÷

3＝28，每个竖列之和应为84÷

4＝21。

进一步分析知道，六个奇数必然有三个在一列，另外三个各在一列。

三个奇数的和为21的只有1＋9＋11和3＋5＋13两组，填好奇数，剩下的数就好填了（见下图）。

　　上面给出了两个答案，因为行与行、列与列可互换，所以共有288种答案，但本质上只有以上两种。

　　66．解：

设每条边上的三数之和为S。

如右图所示，设标有a的三数之和为A，标有b的三数之和为B。

因为标有a的○只属于一条边，没标字母的○属于两条边，标有b的○属于三条边，所以六条边上所有数字之和等于将1～9加两遍，再加B减A，得到

　　6S＝90＋B－A，

　　再由小三角形三边上的数字和，得到

　　3S＝2B＋A。

　　由①②可得S＝10＋B/3，所以B必为3的倍数。

又因为B是1～9中的三数之和，故6≤B≤24。

　　当B＝6时，S＝12，用b表示的三个数只能是1，2，3，可得左下图的解。

　　当B＝24时，S＝18，用b表示的三个数只能是7，8，9，可得右上图的解。

　　当B＝12时，S＝14，只有当用b表示的三个数为1，4，7时，有左下图的解。

　　当B＝18时，S＝16，只有当用b表示的三个数为3，6，9时，有右上图的解。

　　当B＝9，15或21时无解。

　　67．分析：

一般地，对于左下图中的四个数a，b，c，d，如果取任一行、任一列三数之积为abcd，则有左下图的填法，其中s＝1；

如果cd，ab，bd，ac有公约数e，则有右下图的填法，其中s＝e。

记cd，ab，bd，ac的最大公约数为k，如右下图所示，k的每一个不同的约数e对应一个不同的解，所以题目不同答案的数量等于k的约数的个数。

（1）因为（1×

2，4×

3，1×

4，2×

3）＝2，2只有1和2两个约数，由上面的分析可得左下图所示的两个解。

（2）因为（2×

3，4×

5，2×

4，3×

5）＝1，所以只有右上图所示的一个解。

　　（3）因为（2×

3，5×

5，3×

4）＝2，2只有1和2两个约数，所以有下图所示的两个解。

　　68．解：

（1）右下角的数为12×

10÷

15＝8，如左下图所示，由c所在的行与列的三数之积相等，得到12a＝8d，即a∶d＝2∶3；

同理，由a所在的行与列，可得12c＝15b，即b∶c＝4∶5。

于是可得下中图的解。

（2）与

（1）类似可得右上图的解。

　　69．解：

（1）右上角的数为60÷

（5×

6）＝2，右下角的数为5×

6÷

2＝15。

与第67题类似，可得下面两种填法。

（2）与

（1）类似可得下面两种填法。

　　70．解：

圆内三数之和最小为1＋1＋1＝3，最大为2＋2＋2＝6，有三个1的圆和有三个2的圆必在相对的位置，填法如右图。

　　71．解：

同一圆周上的四个数不可能相同，否则另外两个圆周上的四数之和必然相等。

由此知道，同一圆周上的四数之和最小为1＋1＋1＋2＝5，最大为1＋2＋2＋2＝7，即三个圆周上的四数之和分别为5，6，7，填法见下图。

　　72．解：

题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。

经试验有下图所示的三种情况：

　　按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情况得到下图所示的两个解。

因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反幻方。

　　73．解：

如果五个数中有两个相同，则其中三个数的和至多有7个不同值，所以五个数互不相同。

五个互不相同的自然数中，最小的是1，2，3，4，5，但其中三个数之和在6～12之间，只有7个不同值。

我们接着考虑1，2，3，4，6，它们中的三个数之和在6～13之间，有8个不同值，而五个数中任选三个有10种不同组合，说明其中必有两组的和与另外八组中某组的和相同，如果将这两组数分别填在两条对角线上，则另外八组数均构成三角形，且顶点数之和互不相同，这正是我们所要求的。

实际计算知，1，2，6与2，3，4两组的和都等于9；

1，4，6与2，3，6两组的和都等于11。

在和等于9与11的数中各选一组，要求包含1，2，3，4，6五个数，只有一种选法，即选2，3，4与1，4，6，其中4为两组公有，故应将4填在中间○内，得到右图所示的答案。

　　74．

（1）不能。

在外面的四个三角形中，中正方形的四个顶点分别属于两个三角形，大正方形的四个顶点分别只属于一个三角形，所以四个三角形顶点数之和等于3×

（1＋2＋3＋4）＝30，因为30不是4的倍数，所以外面的四个三角形的顶点数之和不可能相等。

同理，里面的四个三角形的顶点数之和也不可能相等。

（2）每个三角形的三个顶点数字不可能全相同，所以三个数之和最小为1＋1＋2＝4，最大为4＋4＋3＝11，可以使八个三角形顶点数字之和各不相同。

右图是一种填法。