66关注三角形的外角Word格式.docx

1、求证：A+B+C=180证明：作BC的延长线CD，过点C作CEBA.则：A=ACE（两直线平行，内错角相等）B=ECD（两直线平行，同位角相等）ACB+ACE+ECD=180（1平角=180）ACB+A+B=180（等量代换）师好，在证明这个定理时，先把ABC的一边BC延长，这时在ABC外得到 ACD，我们把ACD叫做三角形ABC的外角.那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.讲授新课师那什么叫三角形的外角呢？像ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.外角的特征有三条：（1）顶点在三角形的一个顶点上.如：ACD的顶点C是ABC的一个顶点.

2、（2）一条边是三角形的一边.如：ACD的一条边AC正好是ABC的一条边.（3）另一条边是三角形某条边的延长线.如：ACD的边CD是ABC的BC边的延长线.把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.下面大家来想一想、议一议（出示投影片6.6 A）图657如图657，1是ABC的一个外角，1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？生甲1与4组成一个平角.所以1+4=180生乙1=2+3.因为：1与4的和是180,而2、3、4是ABC的三个内角.则2+3+4=180.所以2+3=1804.

3、而1=1804,因此可得： 1=2+3.生丙因为1=2+3，所以由和大于任何一个加数，可得：12,13.师很好.大家能用自己的语言说明你的结论的正确性.你能把你的结论归纳成语言吗？生丁三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角.生戊不对，如图658.（1） （2）图658图658（1）中，ACD是ABC的外角，从图中可知：ACB是钝角三角形.ACBACD.所以ACD不可能等于ABC内的任两个内角的和.图658（2）中的ABC是直角三角形，ACD是它的一个外角，它与ACB相等.由上述可知：丁同学归纳的结论是错误的.应该说：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个

4、外角大于和它不相邻的任一个内角.师噢.原来是这样的，同学们同意他的意见吗？生同意.师是三角形的任一个外角都有此结论吗？生是的.师很好.由此我们得到了三角形的外角的性质（出示投影片6.6 B）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.师这两个结论是由什么推导出来的呢？生通过三角形的内角和定理推出来的.师对.在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）.因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用.注意：应用三角形内角和定理的推论时，

5、一定要理解其意思.即：“和它不相邻”的意义.下面我们来研究三角形内角和定理的推论的应用（出示投影片6.6 C）图659例1已知，如图659，在ABC中，AD平分外角EAC，B=C，求证：ADBC.师生共析要证明ADBC.只需证明“同位角相等”即：需证明：DAE=B.EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=CB=EAC（等式的性质）AD平分EAC（已知）DAE=EAC（角平分线的定义）DAE=B（等量代换）ADBC（同位角相等，两直线平行）师同学们想一想，还有没有其他的证明方法呢？生甲这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.B=C（已知）C=DAC=DAC=C（等

6、量代换）ADBC（内错角相等，两直线平行）生乙还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.B+BAC+C=180（三角形的内角和定理）B+BAC+DAC=180即：B+DAB=180ADBC（同旁内角互补，两直线平行）师同学们叙述得真棒.运用了不同的方法证明了两直线平行.现在大家来想一想：若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？（出示投影片6.6 D）图660例2已知，如图660，在ABC中，1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.2.师生共析一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.1是ABC的一个外角

7、（已知）13（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）3是CDE的一个外角（已知）32（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）2（不等式的性质）师很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论.创新训练：1 如图，已知点A在直线l外，点B,C在直线l上。（1） 点P是ABC内一点，求证：PA;（2） 试判断在ABC外，又和点A在直线l同侧，是否存在一点Q，使BQCA,试证明你的结论。答案：1（1）延长BP交AC于D，则BPCBDC，BDCA故BPCA（2）在直线l同侧，且在ABC外，存在点Q，使得BQCA成立。此时，只需在AB外，靠近AB中点处取点Q，则BQCA。证

8、明略。.课堂练习（一）课本P201随堂练习1图6611.已知，如图661，在ABC中，外角DCA=100,A=45求B和ACB的度数.解：DCA=A+B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）DCA=100（已知）B=DCAA=10045=55（等式的性质）DCA+ACB=180ACB=180DCA（等式的性质）DCA=100ACB=80（二）看课本P199200然后小结一、填空请你填一填（1）如图661，在ABC中，A=70,ABC=60,那么ACB的度数是_；与ACB相邻的一个外角是_，它的度数等于_.（2）如图662，1=35,2=78,3的度数等于_；如果4=16,那么25的度

9、数等于_.图661 图662（3）如图663，已知1=20,2=25,A=35则BDC的度数等于_.（4）如图664，ABCD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分BEF，若1=72,则2=_.图663 图664图665（5）如图665，=125,1=50，则的度数是_.二、数学眼光看世界如图666中的几个图形是五角星和它的变形.（1）图甲是一个五角星，求证：A+B+C+D+E=180（2）图甲中的点A向下移到BE上时（图乙），五个角的和（即CAD+B+C+D+E）有无变化？证明你的结论；（3）把图乙中点C向上移动到BD上时（图丙），五个角的和（即CAD+B+ACE+D+E）有无变化？证

10、明你的结论.图666图667三、已知，如图667，ACE是ABC的外角，ABC与ACE的角平分线BP、CP交于点P.P=A.参 考 答 案一、（1） 50 BCE 130 （2）67 16（3）延长BD交AC于E则BDC=3+2而3=1+ABDC=1+A+2=20+35+25=80（4）54 （5）105图甲二、（1）证明：如图甲，1=C+E（三角形一个外角等于和它不相邻的内角和）同理2=B+D而1+2+A=180（三角形内角和等于180C+E+B+D+A=180图乙（2）无变化如图乙，1=C+E2=B+D（三角形一个外角等于和它不相邻的内角和）又1+3+2=180（平角定义）图丙C+E+B+

11、D+CAD=180（3）无变化如图丙，1=ACE+E2=B+D（三角形一个外角等于和它不相邻的内角和）而1+3+2=180ACE+E+B+D+CAD=180三、证明：1=2+PP=12CP平分ACE1=ACE又BP平分ABC（已知）2=ABCP=ACE =（ACEABC）而ACEABC=A（三角形外角定理）.课时小结本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：推论1：推论2：在计算角的度数、证明两个角相等或角的和差倍分时，常常用到三角形内角和定理及推论1.在几何中证明两角不等的定理只有推论2，所以遇到有证明角不等的题目一定要设法用到它去证明.课后作业（一）课本P201习题6.7 1、2、3（二

12、）1.预习内容：全章内容2.预习提纲用自己的语言梳理本章知识.活动与探究1.如图662，求证：（1）BDC（2）BDC=B+C+A.图662如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？过程通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.图663结果证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图663.1是ABD的一个外角，2是ACD的一个外角.24（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）1+23+4（不等式的性质）BDCBAC.（2）连结AD，并延长AD，如图662.则1是ABD的一个外角，2是ACD的一个外角.1=3+B2=4+C（三角形的一个外角等

13、于和它不相邻的两个内角的和）1+2=3+4+B+C（等式的性质）BDC=B+C+BAC图664证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图664.则BDC是CDE的一个外角.BDCDEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）DEC是ABE的一个外角（已作）DECA（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）A（不等式的性质）（2）延长BD交AC于E，则BDC是DCE的一个外角.BDC=C+DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）DEC=A+B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）BDC=C+A+B（等量代换）图665如果点D在线段BC的

14、另一侧，如图665，则有A+B+C+D=360（可利用三角形的内角和定理来证明，证明略）作业导航理解并掌握三角形的内角和定理及三角形的外角的性质，弄清它们的形成及推理过程，会应用定理进行角的计算或证明.一、选择题1.已知，如图1，ABC中，B=DAC，则BAC和ADC的关系是（ ）图1A.BACADC B.BAC=ADCC.BACADC D.不能确定2.对于ABC，下列命题中是假命题的为（ ）A.若A+B=C，则ABC是直角三角形B.若A+BC，则ABC是锐角三角形C.若A+BC，则ABC是钝角三角形D.若A=B=C，则ABC是斜三角形3.在ABC中，已知A+C=2B，CA=80，则C的度数是

15、（ ）A.60 B.80C.100 D.1204.如图2，A、DOE和BEC的大小关系是（ ）图2A.ADOEBECB.DOEABECC.BECDOEAD.DOEBECA5.如图3，B=C，则ADC与AEB的关系是（ ）图3A.ADCAEB B.ADC=AEBC.ADCAEB D.不能确定二、填空题6.在ABC中，ABC=123，则C=_.7.ABC中，若A=30，B=C，则B=_，C=_.8.ABC中，B=40，C=60，AD是A的平分线，则DAC的度数为_.9.ABC中，C=90，CDAB，B=63，则DCA=_.10.如图4，点D在ABC边BC的延长线上，DEAB于E，交AC于F，B=50，CFD=60，则ACB=_.图4三、解答题11.已知：如图5，ABCD，ADBC，1=50，2=80求：C的度数.图512.已知：如图6，D是ABC的C的外角平分线与BA的延长线的交点.BACB.图613.已知：如图7，在ABC中，BD、CE是B、C的平分线，且相交于点O.BOC=90+图7参考答案一、1.B 2.D 3.C 4.D 5.B二、6.90 7.50 100 8.40 9.63 10.100三、11.50 12.略 13.略