66关注三角形的外角Word格式.docx

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求证：

∠A+∠B+∠C=180°

证明：

作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA.

则：

∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）

∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）

∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°

（1平角=180°

）

∴∠ACB+∠A+∠B=180°

（等量代换）

［师］好，在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形ABC的外角.

那三角形的外角有什么性质呢？

我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.

Ⅱ.讲授新课

［师］那什么叫三角形的外角呢？

像∠ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

外角的特征有三条：

（1）顶点在三角形的一个顶点上.如：

∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点.

（2）一条边是三角形的一边.如：

∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边.

（3）另一条边是三角形某条边的延长线.如：

∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线.

把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：

一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.

下面大家来想一想、议一议（出示投影片§

6.6A）

图6－57

如图6－57，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？

能证明你的结论吗？

［生甲］∠1与∠4组成一个平角.所以∠1+∠4=180°

［生乙］∠1=∠2+∠3.因为：

∠1与∠4的和是180°

而∠2、∠3、∠4是△ABC的三个内角.则∠2+∠3+∠4=180°

.所以∠2+∠3=180°

－∠4.而∠1=180°

－∠4,因此可得：

∠1=∠2+∠3.

［生丙］因为∠1=∠2+∠3，所以由和大于任何一个加数，可得：

∠1>

∠2,∠1>

∠3.

［师］很好.大家能用自己的语言说明你的结论的正确性.你能把你的结论归纳成语言吗？

［生丁］三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角.

［生戊］不对，如图6－58.

（1）

（2）

图6－58

图6－58

（1）中，∠ACD是△ABC的外角，从图中可知：

△ACB是钝角三角形.∠ACB>

∠ACD.所以∠ACD不可能等于△ABC内的任两个内角的和.

图6－58

（2）中的△ABC是直角三角形，∠ACD是它的一个外角，它与∠ACB相等.

由上述可知：

丁同学归纳的结论是错误的.应该说：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角.

［师］噢.原来是这样的，同学们同意他的意见吗？

［生］同意.

［师］是三角形的任一个外角都有此结论吗？

［生］是的.

［师］很好.由此我们得到了三角形的外角的性质（出示投影片§

6.6B）

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

［师］这两个结论是由什么推导出来的呢？

［生］通过三角形的内角和定理推出来的.

［师］对.在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）.

因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用.

注意：

应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：

“和它不相邻”的意义.

下面我们来研究三角形内角和定理的推论的应用（出示投影片§

6.6C）

图6－59

［例1］已知，如图6－59，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证：

AD∥BC.

［师生共析］要证明AD∥BC.只需证明“同位角相等”即：

需证明：

∠DAE=∠B.

∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠B=∠C

∴∠B=

∠EAC（等式的性质）

∵AD平分∠EAC（已知）

∴∠DAE=

∠EAC（角平分线的定义）

∴∠DAE=∠B（等量代换）

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

［师］同学们想一想，还有没有其他的证明方法呢？

［生甲］这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.

∠B=∠C（已知）

∴∠C=

∴∠DAC=

∴∠DAC=∠C（等量代换）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

［生乙］还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.

∵∠B+∠BAC+∠C=180°

（三角形的内角和定理）

∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°

即：

∠B+∠DAB=180°

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

［师］同学们叙述得真棒.运用了不同的方法证明了两直线平行.

现在大家来想一想：

若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？

（出示投影片§

6.6D）

图6－60

［例2］已知，如图6－60，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.

∠2.

［师生共析］一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.

∵∠1是△ABC的一个外角（已知）

∴∠1>

∠3（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∵∠3是△CDE的一个外角（已知）

∴∠3>

∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∠2（不等式的性质）

［师］很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论.

创新训练：

1．如图，已知点A在直线l外，点B,C在直线l上。

（1）点P是△ABC内一点，求证：

∠P>

∠A;

（2）试判断在△ABC外，又和点A在直线l同侧，是否存在一点Q，使∠BQC>

∠A,试证明你的结论。

答案：

1．

（1）延长BP交AC于D，则∠BPC>

∠BDC，∠BDC>

∠A故∠BPC>

∠A

（2）在直线l同侧，且在△ABC外，存在点Q，使得∠BQC>

∠A成立。

此时，只需在AB外，靠近AB中点处取点Q，则∠BQC>

∠A。

证明略。

Ⅲ.课堂练习

（一）课本P201随堂练习1

图6－61

1.已知，如图6－61，在△ABC中，外角∠DCA=100°

∠A=45°

求∠B和∠ACB的度数.

解：

∵∠DCA=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠DCA=100°

（已知）

∴∠B=∠DCA－∠A=100°

－45°

=55°

（等式的性质）

∵∠DCA+∠ACB=180°

∴∠ACB=180°

－∠DCA（等式的性质）

∵∠DCA=100°

∴∠ACB=80°

（二）看课本P199~200然后小结

一、填空

请你填一填

（1）如图6—6—1，在△ABC中，∠A=70°

∠ABC=60°

那么∠ACB的度数是_______；

与∠ACB相邻的一个外角是_______，它的度数等于_______.

（2）如图6—6—2，∠1=35°

∠2=78°

∠3的度数等于_______；

如果∠4=16°

那么∠2－∠5的度数等于_______.

图6—6—1图6—6—2

（3）如图6—6—3，已知∠1=20°

∠2=25°

∠A=35°

则∠BDC的度数等于_______.

（4）如图6—6—4，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72°

则∠2=_______.

图6—6—3图6—6—4

图6—6—5

（5）如图6—6—5，∠α=125°

∠1=50°

，则∠β的度数是_______.

二、

数学眼光看世界

如图6—6—6中的几个图形是五角星和它的变形.

（1）图甲是一个五角星，求证：

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

（2）图甲中的点A向下移到BE上时（图乙），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？

证明你的结论；

（3）把图乙中点C向上移动到BD上时（图丙），五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？

证明你的结论.

图6—6—6

图6—6—7

三、已知，如图6—6—7，∠ACE是△ABC的外角，∠ABC与∠ACE的角平分线BP、CP交于点P.

∠P=

∠A.

参考答案

一、

（1）50°

∠BCE130°

（2）67°

16°

（3）延长BD交AC于E

则∠BDC=∠3+∠2

而∠3=∠1+∠A

∴∠BDC=∠1+∠A+∠2

=20°

+35°

+25°

=80°

（4）54°

（5）105°

图甲

二、

（1）证明：

如图甲，∠1=∠C+∠E（三角形一个外角等于和它不相邻的内角和）

同理∠2=∠B+∠D

而∠1+∠2+∠A=180°

（三角形内角和等于180°

∴∠C+∠E+∠B+∠D+∠A=180°

图乙

（2）无变化

如图乙，∠1=∠C+∠E

∠2=∠B+∠D

（三角形一个外角等于和它不相邻的内角和）

又∵∠1+∠3+∠2=180°

（平角定义）

图丙

∴∠C+∠E+∠B+∠D+∠CAD=180°

（3）无变化

如图丙，∠1=∠ACE+∠E

∠2=∠B+∠D（三角形一个外角等于和它不相邻的内角和）

而∠1+∠3+∠2=180°

∴∠ACE+∠E+∠B+∠D+∠CAD=180°

三、证明：

∵∠1=∠2+∠P

∴∠P=∠1－∠2

∵CP平分∠ACE

∴∠1=

∠ACE

又∵BP平分∠ABC（已知）

∴∠2=

∠ABC

∴∠P=

∠ACE－

=

（∠ACE－∠ABC）

而∠ACE－∠ABC=∠A（三角形外角定理）

Ⅳ.课时小结

本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：

推论1：

推论2：

在计算角的度数、证明两个角相等或角的和差倍分时，常常用到三角形内角和定理及推论1.

在几何中证明两角不等的定理只有推论2，所以遇到有证明角不等的题目一定要设法用到它去证明.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P201习题6.71、2、3

（二）1.预习内容：

全章内容

2.预习提纲

用自己的语言梳理本章知识.

Ⅵ.活动与探究

1.如图6－62，求证：

（1）∠BDC>

（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.

图6－62

如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？

［过程］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.

图6－63

［结果］证法一：

（1）连接AD，并延长AD，如图6－63.

∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.

∠2>

∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∴∠1+∠2>

∠3+∠4（不等式的性质）

∠BDC>

∠BAC.

（2）连结AD，并延长AD，如图6－62.

则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.

∴∠1=∠3+∠B

∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）

∠BDC=∠B+∠C+∠BAC

图6－64

证法二：

（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图6－64.

则∠BDC是△CDE的一个外角.

∴∠BDC>

∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）

∴∠DEC>

∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∠A（不等式的性质）

（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.

∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠BDC=∠C+∠A+∠B（等量代换）

图6－65

如果点D在线段BC的另一侧，如图6－65，则有

∠A+∠B+∠C+∠D=360°

（可利用三角形的内角和定理来证明，证明略）

作业导航

理解并掌握三角形的内角和定理及三角形的外角的性质，弄清它们的形成及推理过程，会应用定理进行角的计算或证明.

一、选择题

1.已知，如图1，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是（）

图1

A.∠BAC＜∠ADCB.∠BAC=∠ADC

C.∠BAC＞∠ADCD.不能确定

2.对于△ABC，下列命题中是假命题的为（）

A.若∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形

B.若∠A+∠B＞∠C，则△ABC是锐角三角形

C.若∠A+∠B＜∠C，则△ABC是钝角三角形

D.若∠A=∠B=∠C，则△ABC是斜三角形

3.在△ABC中，已知∠A+∠C=2∠B，∠C－∠A=80°

，则∠C的度数是（）

A.60°

B.80°

C.100°

D.120°

4.如图2，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是（）

图2

A.∠A＞∠DOE＞∠BEC

B.∠DOE＞∠A＞∠BEC

C.∠BEC＞∠DOE＞∠A

D.∠DOE＞∠BEC＞∠A

5.如图3，∠B=∠C，则∠ADC与∠AEB的关系是（）

图3

A.∠ADC＞∠AEBB.∠ADC=∠AEB

C.∠ADC＜∠AEBD.不能确定

二、填空题

6.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠C=________.

7.△ABC中，若∠A=30°

，∠B=

∠C，则∠B=________，∠C=________.

8.△ABC中，∠B=40°

，∠C=60°

，AD是∠A的平分线，则∠DAC的度数为________.

9.△ABC中，∠C=90°

，CD⊥AB，∠B=63°

，则∠DCA=________.

10.如图4，点D在△ABC边BC的延长线上，DE⊥AB于E，交AC于F，∠B=50°

，∠CFD=60°

，则∠ACB=________.

图4

三、解答题

11.已知：

如图5，AB∥CD，AD∥BC，∠1=50°

，∠2=80°

求：

∠C的度数.

图5

12.已知：

如图6，D是△ABC的∠C的外角平分线与BA的延长线的交点.

∠BAC＞∠B.

图6

13.已知：

如图7，在△ABC中，BD、CE是∠B、∠C的平分线，且相交于点O.

∠BOC=90°

+

图7

参考答案

一、1.B2.D3.C4.D5.B

二、6.90°

7.50°

100°

8.40°

9.63°

10.100°

三、11.50°

12.略13.略