1、如图,以CD为边作等边CDE,连接AE. 由于AC = BC,CD = CE,BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE, 所以BCDACE,BD = AE.又因为.在Rt中,于是DE=,所以CD = DE =4. 4(甲)D解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,均为非负整数. 由题设可得消去x得 (2y7)n= y+4, 2n=.因为为正整数,所以2y7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,7 4(乙)C 解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为,故方程的根为一正一负由二次函数的图象知,当
2、时,即 . 由于都是正整数,所以,1q5;或 ,1q2,此时都有. 于是共有7组符合题意 5(甲)D解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以,因此最大 5(乙)C解:因为,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变 设经过99次操作后黑板上剩下的数为,则,解得 二、填空题 6(甲)7x19 前四次操作的结果分别为 3x2,3(3x2)2 = 9x8,3(9x8)2 = 27x26,3(27x26)2 = 81x80. 由已知得 27x26487, 81x80487. 解得 7x19
3、. 容易验证,当7x19时,487 487,故x的取值范围是7x196(乙)7 解:由已知可得7(甲)8 解:连接DF,记正方形的边长为2. 由题设易知所以 ,由此得在RtABF中,因为.由题设可知ADEBAF,所以 .于是 , . 又. 7(乙) 解:如图,设的中点为,连接因为所以 8(甲)根据题意,关于x的方程有=k240, 由此得 (k3)20 又(k3)20,所以(k3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0,解得x1=x2= 故= 8(乙)1610. 当被5除余数是1或4时,或能被5整除,则能被5整除; 当被5除余数是2或3时,被5除余数是0时, 不能被5整除.所以符合题设
4、要求的所有的个数为9(甲)8解:设平局数为,胜(负)局数为,由题设知,由此得0b43. 又 . 于是 043,87130, 由此得 ,或.当;当,不合题设.故9(乙) 1 解:由题设得 整理得 ,由二次函数的图象及其性质,得.又因为 1,所以1.10(甲)如图,连接AC,BD,OD. 由AB是O的直径知BCA =BDA = 90 依题设BFC = 90,四边形ABCD是O的内接四边形,所以BCF =BAD,所以 RtBCFRtBAD ,因此 因为OD是O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,ODBC, 于是 . 因此.由,知,BA=AD ,故10(乙). 12解:由已知有为偶数,所以同
5、为偶数,于是是4的倍数设,则125()若,可得,与b是正整数矛盾()若至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数对满足若恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个正整数对 ()若是素数,或恰是一个素数的幂,且这个幂指数为2,则有唯一的正整数对因为有唯一正整数对,所以m的可能值为2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,共有12个 三、解答题11(甲)解: 因为当时,恒有,即 (5分),且 ,解得 (10分) 设方程的两个实数根分别为,由一元二次方程根与系数的关系得 因此 (20分) 11(乙)解:因为sinABC=,所以AB = 10由勾股定理,得BO=. 易知AB
6、OACO, 因此 CO = BO= 6. 于是A(0,8),B(6,0),C(6,0). 设点D的坐标为(m,n),由SCOE = SADE,得SCDB = SAOB. 所以 ,解得n=4. 因此D为AB的中点,点D的坐标为(3,4). 因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,点E为ABC的重心,所以点E的坐标为 设经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a(x6)(x+6). 将点E的坐标代入,解得a =故经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为. (20分)12(甲) 证明:连接BD,因为为的直径,所以又因为,所以CBE是等腰三角形 (5分)设与交于点,连接OM,
7、则 (15分)分别是等腰,等腰的顶角,所以 BOC12(乙)证明:(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知所以 CI= CD同理, CI = CB. 故点C是IBD的外心. 连接OA,OC,因为I是AC的中点,且OA = OC, 所以OIAC,即OICI. 故OI是IBD外接圆的切线. (10分) (2) 如图,过点I作IEAD于点E,设OC与BD交于点F. 由,知OCBD. 因为CBF =IAE,BC = CI= AI,所以 RtBCFRtAIE, 所以BF = AE. 又因为I是ABD的内心,所以 AB+ADBD = 2AE= BD.故AB+AD= 2BD (20分) 13(
8、甲)解:设ab = m(m是素数),ab = n2(n是正整数). 因为 (a+b)24ab= (ab)2,所以 (2am)24n2= m2, (2am+2n)(2am2n) = m2. (5分)因为2am+2n与2am2n都是正整数,且2am+2n2am2n (m为素数),所以 2am+2nm2,2am2n1.解得 a. 于是 = am. (10分) 又a2012,即2012.又因为m是素数,解得m89. 此时,a=2025.因此,a的最小值为2025. (20分) 13(乙)解:假设凸边形中有个内角等于,则不等于的内角有个 (1)若,由,得,正十二边形的12个内角都等于 (5分)(2)若1
9、3,由11当时,存在凸边形,其中的11个内角等于,其余个内角都等于 (10分) (3)若当时,设另一个角等于存在凸边形,其中的,另一个内 由可得8可得 (15分)(4)若,且37,由(3)可知边形,其中,另两个内角都等于综上,当的最大值为12;13时,的最大值为11;的最大值为当37时, (20分) 14(甲)解:由于都是正整数,且1,2,2012(10分)时,令,则 .(15分)时,其中,令 综上,满足条件的所有正整数n为14(乙)解:时,把分成如下两个数组: 和 在数组中,由于,所以其中不存在数,使得在数组 所以, 下面证明当时,满足题设条件不妨设2在第一组,若也在第一组,则结论已经成立故不妨设在第二组. 同理可设在第一组,在第二组此时考虑数8如果8在第一组,我们取,此时如果8在第二组,我们取 综上,满足题设条件所以,的最小值为
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