全国初中数学竞赛试题正题参考答案Word格式.docx

1、如图，以CD为边作等边CDE，连接AE. 由于AC = BC，CD = CE，BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE， 所以BCDACE，BD = AE.又因为.在Rt中，于是DE=，所以CD = DE =4. 4（甲）D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得消去x得 （2y7）n= y+4， 2n=.因为为正整数，所以2y7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7 4（乙）C 解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负由二次函数的图象知，当

2、时，即 . 由于都是正整数，所以，1q5；或 ，1q2，此时都有. 于是共有7组符合题意 5（甲）D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大 5（乙）C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变 设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得 二、填空题 6（甲）7x19 前四次操作的结果分别为 3x2，3（3x2）2 = 9x8，3（9x8）2 = 27x26，3（27x26）2 = 81x80. 由已知得 27x26487， 81x80487. 解得 7x19

3、. 容易验证，当7x19时，487 487，故x的取值范围是7x196（乙）7 解：由已知可得7（甲）8 解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知所以 ，由此得在RtABF中，因为.由题设可知ADEBAF，所以 .于是 ， . 又. 7（乙） 解：如图，设的中点为，连接因为所以 8（甲）根据题意，关于x的方程有=k240， 由此得 （k3）20 又（k3）20，所以（k3）2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2= 故= 8（乙）1610. 当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除； 当被5除余数是2或3时，被5除余数是0时， 不能被5整除.所以符合题设

4、要求的所有的个数为9（甲）8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0b43. 又 . 于是 043，87130， 由此得 ，或.当；当，不合题设.故9（乙） 1 解：由题设得 整理得 ，由二次函数的图象及其性质，得.又因为 1，所以1.10（甲）如图，连接AC，BD，OD. 由AB是O的直径知BCA =BDA = 90 依题设BFC = 90，四边形ABCD是O的内接四边形，所以BCF =BAD,所以 RtBCFRtBAD ，因此 因为OD是O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，ODBC， 于是 . 因此.由，知，BA=AD ，故10（乙）. 12解：由已知有为偶数，所以同

5、为偶数，于是是4的倍数设，则125（）若，可得，与b是正整数矛盾（）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对 （）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个 三、解答题11（甲）解： 因为当时，恒有，即 （5分），且 ，解得 （10分） 设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得 因此 （20分） 11（乙）解：因为sinABC=，所以AB = 10由勾股定理，得BO=. 易知AB

6、OACO， 因此 CO = BO= 6. 于是A（0，8），B（6，0），C（6，0）. 设点D的坐标为（m，n），由SCOE = SADE，得SCDB = SAOB. 所以 ，解得n=4. 因此D为AB的中点，点D的坐标为（3，4）. 因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为ABC的重心，所以点E的坐标为 设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为. （20分）12（甲） 证明：连接BD，因为为的直径，所以又因为，所以CBE是等腰三角形 （5分）设与交于点，连接OM，

7、则 （15分）分别是等腰，等腰的顶角，所以 BOC12（乙）证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知所以 CI= CD同理， CI = CB. 故点C是IBD的外心. 连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC， 所以OIAC，即OICI. 故OI是IBD外接圆的切线. （10分） （2） 如图，过点I作IEAD于点E，设OC与BD交于点F. 由，知OCBD. 因为CBF =IAE，BC = CI= AI，所以 RtBCFRtAIE， 所以BF = AE. 又因为I是ABD的内心，所以 AB+ADBD = 2AE= BD.故AB+AD= 2BD （20分） 13（

8、甲）解：设ab = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）. 因为 （a+b）24ab= （ab）2，所以 （2am）24n2= m2， （2am+2n）（2am2n） = m2. （5分）因为2am+2n与2am2n都是正整数，且2am+2n2am2n （m为素数），所以 2am+2nm2，2am2n1.解得 a. 于是 = am. （10分） 又a2012，即2012.又因为m是素数，解得m89. 此时，a=2025.因此，a的最小值为2025. （20分） 13（乙）解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个 （1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于 （5分）（2）若1

9、3，由11当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于 （10分） （3）若当时，设另一个角等于存在凸边形，其中的，另一个内 由可得8可得 （15分）（4）若，且37，由（3）可知边形，其中，另两个内角都等于综上，当的最大值为12；13时，的最大值为11；的最大值为当37时， （20分） 14（甲）解：由于都是正整数，且1，2，2012（10分）时，令，则 .（15分）时，其中，令 综上，满足条件的所有正整数n为14（乙）解：时，把分成如下两个数组： 和 在数组中，由于，所以其中不存在数，使得在数组 所以， 下面证明当时，满足题设条件不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组此时考虑数8如果8在第一组，我们取，此时如果8在第二组，我们取 综上，满足题设条件所以，的最小值为