全国初中数学竞赛试题正题参考答案Word格式.docx

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如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.

由于AC=BC，CD=CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，

所以△BCD≌△ACE，BD=AE.

又因为

.在Rt△

中，

于是DE=

，所以CD=DE=4.

4（甲）．D解：

设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，

均为非负整数.由题设可得

消去x得（2y－7）n=y+4，

2n=

.因为

为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；

x的值分别为14，7，6，7．

4（乙）．C解：

由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为

，故方程的根为一正一负．由二次函数

的图象知，当

时，

，即

.由于

都是正整数，所以

，1≤q≤5；

或

，1≤q≤2，此时都有

.于是共有7组

符合题意．

5（甲）．D解：

掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以

，因此

最大．

5（乙）．C解：

因为

，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．

设经过99次操作后黑板上剩下的数为

，则

，解得

．

二、填空题

6（甲）．7＜x≤19

前四次操作的结果分别为

3x－2，3（3x－2）－2=9x－8，3（9x－8）－2=27x－26，3（27x－26）－2=81x－80.

由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.

解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，

≤487

≤487，故x的取值范围是7＜x≤19．

6（乙）．7解：

由已知可得

7（甲）．8解：

连接DF，记正方形

的边长为2

.由题设易知△

∽△

所以

，由此得

在Rt△ABF中，因为

.由题设可知△ADE≌△BAF，所以

.于是

，

.又

.

7（乙）．

解：

如图，设

的中点为

，连接

．因为

．所以

8（甲）．

根据题意，关于x的方程有

=k2－4

≥0，

由此得（k－3）2≤0．又（k－3）2≥0，所以（k－3）2=0，从而k=3.此时方程为x2+3x+

=0，解得x1=x2=

故

=

8（乙）．1610

.当

被5除余数是1或4时，

或

能被5整除，则

能被5整除；

当

被5除余数是2或3时，

被5除余数是0时，

不能被5整除.所以符合题设要求的所有

的个数为

9（甲）．8解：

设平局数为

，胜（负）局数为

，由题设知

，由此得0≤b≤43.

又

.于是

0≤

≤43，87≤

≤130，

由此得

，或

.当

；

当

，不合题设.故

9（乙）．

≤1解：

由题设得

整理得

，由二次函数

的图象及其性质，得

.又因为

≤1，所以

≤1.

10（甲）．

如图，连接AC，BD，OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA=∠BDA=90°

依题设∠BFC=90°

，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠BCF=∠BAD,所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此

因为OD是⊙O的半径，AD=CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，

于是

.因此

.由△

，知

，BA=

AD，故

10（乙）.12解：

由已知有

为偶数，所以

同为偶数，于是

是4的倍数．设

，则1≤

≤25．（Ⅰ）若

，可得

，与b是正整数矛盾．（Ⅱ）若

至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对

满足

若

恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对

（Ⅲ）若

是素数，或

恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对

．因为有唯一正整数对

，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．

三、解答题11（甲）．解：

因为当

时，恒有

，即

．…………（5分）

≤

，且

，解得

．…………（10分）

设方程

的两个实数根分别为

，由一元二次方程根与系数的关系得

因此

．…………（20分）

11（乙）．解：

因为sin∠ABC=

，所以AB=10．由勾股定理，得BO=

.易知△ABO≌△ACO，因此CO=BO=6.

于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.

设点D的坐标为（m，n），由S△COE=S△ADE，得S△CDB=S△AOB.所以

，解得n=－4.因此D为AB的中点，点D的坐标为（3，－4）.因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为

设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）.将点E的坐标代入，解得a=

故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为

.…………（20分）

12（甲）．证明：

连接BD，因为

为

的直径，所以

．又因为

，所以△CBE是等腰三角形．…………（5分）

设

与

交于点

，连接OM，则

．…………（15分）

分别是等腰△

，等腰△

的顶角，所以

△BOC∽△

12（乙）．证明：

（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

所以CI=CD．同理，CI=CB.

故点C是△IBD的外心.

连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA=OC，

所以OI⊥AC，即OI⊥CI.

故OI是△IBD外接圆的切线.…………（10分）

（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F.

由

，知OC⊥BD.因为∠CBF=∠IAE，BC=CI=AI，所以

Rt△BCF≌Rt△AIE，所以BF=AE.又因为I是△ABD的内心，所以

AB+AD－BD=2AE=BD.

故AB+AD=2BD．…………（20分）

13（甲）．解：

设a－b=m（m是素数），ab=n2（n是正整数）.

因为（a+b）2－4ab=（a－b）2，所以（2a－m）2－4n2=m2，

（2a－m+2n）（2a－m－2n）=m2.…………（5分）

因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n（m为素数），所以

2a－m+2n

m2，2a－m－2n

1.

解得a

.于是

=a－m

.…………（10分）

又a≥2012，即

≥2012.又因为m是素数，解得m≥89.此时，a≥

=2025.

因此，a的最小值为2025.…………（20分）

13（乙）．解：

假设凸

边形中有

个内角等于

，则不等于

的内角有

个．

（1）若

，由

，得

，正十二边形的12个内角都等于

…………（5分）

（2）若

≥13，由

≤11．当

时，存在凸

边形，其中的11个内角等于

，其余

个内角都等于

．…（10分）

（3）若

．当

时，设另一个角等于

．存在凸

边形，其中的

，另一个内

由

可得

≥8可得

．…………（15分）

（4）若

，且3≤

≤7，由（3）可知

边形，其中

，另两个内角都等于

．综上，当

的最大值为12；

≥13时，

的最大值为11；

的最大值为

当3≤

≤7时，

．…（20分）

14（甲）．解：

由于

都是正整数，且

≥1，

≥2，…，

≥2012．

．…………（10分）

时，令

，则

.…………（15分）

时，其中

，令

综上，满足条件的所有正整数n为

14（乙）．解：

时，把

分成如下两个数组：

和

在数组

中，由于

，所以其中不存在数

，使得

．在数组

．所以，

≥

下面证明当

时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若

也在第一组，则结论已经成立．故不妨设

在第二组.同理可设

在第一组，

在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取

，此时

如果8在第二组，我们取

综上，

满足题设条件．所以，

的最小值为